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文档简介

1、概率统计1、一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1, 2, 3, 4四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为 x1,x2,记巴=(x1-3)2 +(x2-3)2.(1)分别求出 取得最大值和最小值时的概率;(2)求之的分布列及数学期望.解:(1)掷出点数x可能是:1,2, 3,4. TOC o 1-5 h z 2.则x3分别得:-2, 1,0,1.于是(x3)的所有取值分别为:0,1,4.因此之的所有取值为:0, 1, 2, 4, 5, 8.22当x1 =1且& =1时,此时,t =(x1 -3 ) +(x2 -3 )可取得最大值8 ,116,.22当x1 =3且” =3时,之=(

2、x 3) +02 3)可取得最小值0.此时,116(2)由(I )知t的所有取值为:0, 1, 2, 4, 5, 8.P =0 =P =8164当 U=1 时,仪1,x2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3, 2)、(3,4).即P(亡=1 )=;16当上=2 时,(x,x2 )的所有取值为(2, 2)、(4, 4)、(4, 2)、(2, 4).即 P =2 = -4 ;3)、(3 , 1) .即 pQ = 2)=Z;1616当:=4时,(x1,x2 )的所有取值为(1,当工=5时,仅1?2 )的所有取值为(2,41)、(1, 4)、(1, 2)、(4, 1).即 P(/=2) =.16

3、所以E的分布列为:012458P11111116448416_. 一 1.111_1_1 一E=0 1 _2 _4 5 8 二 3164484162、某辆载有5位乘客的公共汽车在到达终点前还有3个停靠点(包括终点站).若车上每位乘客在所剩的每一个停靠点下车的概率均为1 ,用巴表示这5位乘客中在终点站下车的3人数,求:(I)随机变量匕的分布列;(II )随机变量之的数学期望。解:(1)随机变量之的所有可能取值为0,1,2,3,4,5P( =0) =C;(|)532243112 4先)80243八2)七(泻380243P( =3)七(y2)233402434 14 2P(=5(3)310243P(

4、 =5)=C冲5=4所以随机变量-的分布列为01234532808040101P243243243243243243(2)二.随机变量B(5,1)315- E =5 一 = 一333、某甲有一个放有 3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子;某乙也有一个放有 3个红球、2个白毛1个黄球共6个球的箱子.(I)若甲在自己的箱子里任意取球,取后不放回,每次只取一个球,直到取到红球为止,求甲取球次数 之的数学期望;(H)若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色,规定同色时为甲胜,异色时为乙胜,这个游戏规则公平吗?请说明理由解:(I)由题意知甲取球次数 l的取值为1, 2, 3, 43 1.P(川7

5、宝P( =2)=3;203.3 2 3一;p(U=3)=106 5 4P( =4)=3 2 131则甲取球次数2的数学期望为2旦3且4工=102020(H)由题意,两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有C6 C6 =36(种)不同的情形每种情形都是等可能的,记甲获胜为事件A,则c3c3 c2c2 cle; c6c618 2127所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率,这个游戏规则不公平。4、已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均朝上的概率为(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率;(2)抛掷这样的硬币三次后, 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的总次数为E ,求随机变

6、量E的分布列及期望 E E .(1)解:设抛掷一次这样的硬币,正面朝上的概率为P,依题意有:1-1c3.P3=. 可得 p=,.273所以,抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为(2)解:随机变量 七的可能取值为0, 1,2, 3, 4.P( =。)=C;(|)3 2 =27;p(u =i)=c;父(2)3 m 1 +c3 J 父(2)2父1 =10; TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 32332 2711/221c2 /12219P( =2) = C3()C3 ()332332272122131317P(=3)

7、= C3( ) ,C3();3323 2 54P(=4)=C;(1)31 = 1.3254所以E的分布列为01234p4109712727275454 TOC o 1-5 h z 4109713EE =0 x +1X,+2x +3X +4X =- 12272727545425、有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费1.1万元,团委计划在全校开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办“摇奖100奖”活动.凡捐款10元者,享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的结构示意图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇形区域 A,B,C,D,E所对应的圆心角的比值分别为1: 2: 3: 4: 5.相

8、应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指针指向哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域C,可获得价值3元的学习用品).(I)预计全校捐款 10元者将会达到1500人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗?(II )如果学生甲捐款20元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值6元的学习用品的概率.解:(I)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A,B,C,D,E.则其概率分别为 TOC o 1-5 h z 11231451P(A)= 一

9、,P(B)= 一, P(C) = 一= , P(D)= 一, P(E)=一= -1 2 3 4 5 151515 51515 33分设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为。,则的分布列为:12345P1412131551515 TOC o 1-5 h z 一,1八4 八 1.2-17八E0=1M +2M * 3 乂 * 4 父* 5 黑= 6分315515153若捐款10元者达到1500人次,那么购买学习用品的款项为1500EU=3500 (元)除去购买学习用品的款项后,剩余款项为1500M10 -3055 =11500 (元)故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗 8分(II )记事件“学生甲捐款

10、20元获得价值6元的学习用品”为F ,则15x15 15+ 3父3十小2父4 15 1515 15745即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为 12分4511626、甲、乙两人进行射击训练,命中率分别为2与P,且乙射击2次均未命中的概率为3(I)求乙射击的命中率(II )若甲射击2次,乙射击1次,两人共命中的次数记为 E ,求E的分布列和数学期望。解:(I)设“甲射击一次命中”为事件A, “乙射击一次命中”为事件 B TOC o 1-5 h z -oo 1由题意得(1 P(B)2 =(1 P)2 = 4 分165解得P =或P =(舍去),5分43故乙射击的命中率为 一。 6 分42

11、131(II)由题意和(I)知 P(A) = ,P(A)= , P(B)=,P(B)= 。3344W可能的取值为0, 1, 2, 3,故1111P(t =0) =P(A)P(A)P(B)= x x = 7 分3 3 4 36-2 11113P( =1) =2P(A)P(A)P(B) P(A)P(A)P(B) =2: : : :3 3 4 3 3 42 2 3 12P(-= 3) = P(A) P(A)P( B)=一父一父一= 9 分3 3 4 36P( =2) -1 -P( =0) -P( =1) -P( =3) -1 -36 36 3636故E的分布列为0123P17161236363636

12、 TOC o 1-5 h z 由此得七的数学期望E? =0父1 +1父7 +246 +3父12 = 25 12分36363636 127、在一个盒子中,放有标号分别为1,2, 3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回.T2OP7 3610分.地先后抽-y),记得两张卡片的标号分别为 x、y ,设O为坐标原点,点 P的坐标为(x-2,x(i )求随机变量之的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;(n)求随机变量?的分布列和数学期望.解:(i):x、y 可能的取值为 1、2、3, ;x 2W1, y-x 2,二(=(x-2)2 +(x y)2 M5 ,且当 x=1,y = 3 或 x=3,y=1 时,

13、*=5.因此,随机变量t的最大值为5;有放回抽两张卡片的所有情况有3x3=9种,/.P仁=5) = 2 6分9(n) U的所有取值为0,1, 2,5.丁巴=0时,只有X = 2 , y = 2这一种情况.巴=1 时,有 x=1, y=1 或 x=2,y=1 或 x=2, y=3 或 x = 3,y=3 四种情况,2 =2时,有x =1 , y =2或x =3, y =2两种情况. TOC o 1-5 h z 142二 P(=0)= , P(-=1)= , P(-=2)= 8分999则随机变量上的分布列为:01251422P999910分 TOC o 1-5 h z 1422因此,数学期望 E之

14、=0M +1M +2M+ 5M =2 12分99998某出版社准备举行一次高中数学新教材研讨会,以征求对新教材的使用意见 .邀请50名使用不同版本教材的一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示:版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015105(I)从这50名见识中随即选出2名见识发言,求两人所用教材版本相同概率;(II)若从使用人教版奇偶才的教师中选出2名发言,设使用任教A版的教师人数为求随机变量的分布列的数学期望.解;(I )从50名教师随机选出2名的方法为选出?人使用教材版本相同的方法 数喝+C+秣+& = 350.故2人使用版本相同的曝率为F = 需 =?.6分高三理科数学

15、试题答案第I页(共4更)(Fl)/ A 0)隆W.巴9C%(-k 8cl l 一 八 一 LL - _51L?一 C右 一 u 一 1)- Cj5 -119,1(-)119的分布为0P3171260119_38_ 119, 43 v n e 60 y 1 1 389136 g1 9小,*hf-T7X0 + - X 1-x2 = = 12 分9、某车间在两天内,每天生产10件某产品,其中第一天、第二天分别生产了 1件、2件次品,而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取 4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过。(I)求两天全部通过检查的概率;(II )若厂内对该车间生产的产品质量采用奖

16、惩制度,两天全不通过检查罚300元,通过1天,2天分别奖300元、900元。那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元?解:(I)随意抽取4件产品进行检查是随机事件,而第一天有 TOC o 1-5 h z C43第一天通过检查的概率为P(1)4=Cw5 C:1第二天通过检查的概率为P(2) = 8=1C*3因为第一天、第二天检查是否通过是相互独立的,所以两天全部通过检查的概率为P(3) = P1P2(II )记所得奖金为1元,则的取值为-300 , 300, 900 7 分2 24P(; 300)=-=;5 315P1:=300) =3 21 2 = 8; HYPERLINK l book

17、mark36 o Current Document 5 3 3 515.、3 11P 代=900) = m = . 10 分5 35481E。= 400 父一+300K+900M =260 (元)12 分1515510、某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510(I) 从这50名教师中随机选出2名,问这2人使用相同版本教材的概率是多少?(II ) 现从这50名教师中随机选出 2名教师做问卷调查, 若选出3名教师都使用人教版教材,求恰有1人使用人教版A版的概率是多少?(III )若随机选出的2名教师都是用人教版教材,设其中使用人教A版教材的教师人数为1的分布列和数学期望。解:(I) 50名教师中随机选出2名的方法数为C;0=1225选出的2人所使用版本相同的方法数为C;0 C: C; Ca =190 105 10 45=350,一,3502:2人所使用版本相同的概率为p =一1225 71人使用人教A版(n)方法一;设“选出的 3名教师都使用人教版教

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