高三数学高考压轴题跟踪演练系列六

1、备战2010高考数学一一压轴题跟踪演练系列六1.(本小题满分14分)如图，设抛物线 C:y = x2的焦点为F,动点P在直线l : x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求4APB的重心 G的轨迹方程.(2)证明/ PFA=Z PFB.解：(1)设切点A、B坐标分别为(x, X2)和(X1 , X； )(x1 * x0 ),，切线AP的方程为：2x0 xyx； =0；切线BP的方程为：Z为xyx； =0;解得 P点的坐标为：xP =xx1, yP =x0 x12xx. x所以 APB的重心G的坐标为 xG = -0一1-=xP ,3y

2、G 二y0 y Vp322x0 x NX一 322(x x)4xp - yp3-3所以Vp =-3yG +4xG ,由点p在直线i上运动，从而得到重心 G的轨迹方程为： HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 19x -(-3y +4x ) -2 =0,即y = - (4x - x + 2).、一 一 .一2 1 一 x x.1 一2 1.(2)万法 1：因为 FA =(x0,x。)，FP=(0 x。),FB=(x,x1).4244由于P点在抛物线外，则|FP|#0.FP FA|FP|FA|x x1/1、/ 21-x0 (x0 x1)(x0 -)24

3、4| FP | x2 画-：)x0 x14 |FP|同理有cos BFP一一 x0 x1. /1 v 2 11匚D CD x1 (x0 x1 )(x1 一) x0 x1FP FB =244 =4| FP | FB |221 2| FP |1| |FP | ,x1(x1 - )|4 ./ AFP=Z PFB.方法2：当x%=0时，由于x1 # x0,不妨设x0 =0,则y0 =0,所以P点坐标为(一,0),则P点到直线AF的距离为：d1|Xi |.1而直线BF的万程:y-4Xix,Xi-2 ii一即(x1 - -)x _x1yx1 二 0.44所以P点到直线BF的距离为：d2“2 1、XiXi1

4、 (xi)14 24(Xi2 -4)2 +(Xi)2(Xi2 追1|Xi |所以di=d2,即得/ AFP之 PFB.当X1XQ #0时，直线AF的方程:1 y-42X0 xo - 0(x0)，即(x2直线BF的方程:1 y-4Xi11(x0)，即(x； )x -Xiy + Xi44所以P点到直线AF的距离为:di211(y(X0Xi2) X0 XiX0 - Xi21)(X04)BF的距离d2Xi211c)x-x0yX0 =0,44=0,(x0 一 14| Xi - X0 |22X0Xo14| X0 fxi |L ,同理可得到P点到直线2,因此由di=d2,可得到/AFP之 PFB.2.(本小

5、题满分i2分)设A、B是椭圆3x2 + y2 =九上的两点，点N (i,3)是线段AB的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆相交于G D两点.(I)确定九的取值范围，并求直线 AB的方程;(n)试判断是否存在这样的 儿，使得A、B、G D四点在同一个圆上？并说明理由(此题不要求在答题卡上画图)本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力=九，整理得(l)解法1：依题意，可设直线AB的方程为y =刈乂一1) + 3,代入3乂2 + y2(k2 +3)x2 -2k(k-3)x+(k-3)2 -九=0. d设A(xi, yi), B(X2, y2),则Xi,

6、 X2是方程的两个不同的根, =4Mk2 +3) -3(k -3)2 0,且x12k(k -3)X2 二k2 3，由N (i, 3)是线段AB的中点，得x_x2 =1,k(k -3) =k2 3.2解得k=1,代入得，九12,即入的取值范围是（12, +8）于是，直线AB的方程为y 3 = (x1)，即x + y 4 = 0.解法 2：设 A(x1，y) B(X2, y2),则有 TOC o 1-5 h z C 22_3x1 + y1 =儿、/,、，/ c22 n (x1 一x2)(x+x2)+(y1 一 y2)(y + y2) =0.3x2 + y2 =，3(x1x2)依包,国，x1二 x2

7、 , kAB = 一.y1 y2N (1,3)是 AB的中点，x1+x2=2,y1+y2=6,从而kAB=1.又由N (1, 3)在椭圆内，九3父12+32 =12,，九的取值范围是（12, +8）.直线 AB的方程为y3= x x1）,即x+y 4=0.（n）解法1:CD垂直平分 AB,.直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,代入椭圆方程，整理得 4x2 4x 4 - =0.又设C(x3,y3), D(x4,y4),CD的中点为C(x, y),则x3,x4是方程的两根,一 1131 3.x3 一1,且x0=2(x3+x4) = 一3y0 = x0 +2 =2，即叱3y于是由弦长公

8、式可得|CD |= J+(1)2 |x3 x4 | = J2(九3)., k将直线AB的方程x+y 4=0,代入椭圆方程得 4x2 8x +16 -儿=0 同理可得| AB | = W +k2 x1 x2 |= V2（Z -12）.当九 12 时，12（九-3） $2（九-12），二 | AB 冈 CD |假设存在 九12,使得A、B C D四点共圆，则 CD必为圆的直径，点 M为圆心. TOC o 1-5 h z 13| - 4 | x Vc - 41| 。|3 .2点M到直线AB的距离为 d =一1 = J2=.任、2、22于是，由、式和勾股定理可得222 AB 2 9 -12 -3 CD

9、 21MA 13 MBi =d |2|=22= 2 =| 2 1 .故当K12时，A B、C、D四点匀在以M为圆心，LCDJ为半径的圆上2 TOC o 1-5 h z （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B C、D共圆y 4ACD为直角三角形，A为直角u |AN| 2=|CN| |DN| ,即（四）2取也.力222由式知，式左边 =-12, 2由和知，式右边 =（2（=3） . 3）（ 2（1 -3） 3.Z）=3 / = -12, 2222222，式成立，即A、B、C D四点共圆.解法2:由（II）解法 1及入12, CD垂直平分AB,直线CD方程为y 3 = x -1 ,代入椭

10、圆方程，整理得一 2 一 一 一4x +4x +4 -九=0.将直线AB的方程x+y 4=0,代入椭圆方程，整理得2 一 一一4x -8x +16 儿=0.解和式可得2 -12-1 二-.3x1,2 =2 x3,4 =2不妨设 A(1 1112,3-1 v12),C(T -3,3 一 SR” 一3,3 -3)222222 CA =(3. -12 - - 3 3-、 -3-、-12DA =(2，2)计算可得CA DA=0,，A在以CD为直径的圆上又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆（注：也可用勾股定理证明 AC! AD 3.（本小题满分14分）一 一1111 .已知不等式一+ +A

11、log 2 n,其中n为大于2的整数，log 2 n表示不超过10g2 n的最大23n2整数.设数列an的各项为正，且满足a1 =b（b0）,an W 问工，n =2,3,4，n 3ni(I)证明 an ：二 2b ,n =3,4,5, 2 blog 2 n(n)猜测数列%是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)an(出)试确定一个正整数 N,使彳导当n N时，对任意b0,者B有本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想(I)证法1:二 an 3时有,a11,log 2 n.2a1 =b,. an11b 0g2n2 blog 2 n2b2ban ：二2 blog 2 n证

12、法2：设f (n)111=_ +_+ _23n,首先利用数学归纳法证不等式an -一b1 f (n)bn =3,4,5,.(i )当n=3时， 由a3 33a23 a23工3 1 a?3 2 a 1 1 f(3)b 2a1知不等式成立.(ii )假设当 n=k (k3)时，不等式成立，即ak ； 1kNk 1(KJ)1ak(k 1)k 11 f(k)b 1(k 1)b(k 1) (k 1)f(k)b bb11 (f(k)k 1)bb1 f (k 1)b 即当n=k+1时，不等式也成立由、(ii )知，an ,n1 f(n)b= 3,4,5, .又由已知不等式得an(n)有极限，且(m)2b，1

13、 r1 2log2 nb2 blog 2 n,n = 3,4,5,lim an = 0.n F：2b 2,令2N时，都有an b 0 ),半焦距为c ,则 a b2MA1 = - - a, A|F1 =a-cc 2a - -a =2 a -c c由题息，得42a =4a2 =b2 +c2a =2, b = 3,c =122故椭圆方程为-=1.43(n)设P(Y,y y。#0设直线PF率k1 =-0,直线PF2的斜率k2 = ,Zzn,0 :二 F1PF2 :二 PF1M =:-,2, NF1PF为锐角。tan/FPF2 =|1 kk2 y02 yy。2 15-2.15 y。1515丫。|=。伺

14、 即丫0=日5时,tanNFFF2取到最大值，此时/FFF2最大,一，一，八.15故.F1PF2的取大值为arctan彳15.已知函数f (x押g (x)的图象关于原点对称，且 f (x )=x2 +2x .(I )求函数g (x)的解析式；(n)解不等式g (x庐f (x)_ x _1 ；(出)若h(x )=g(x(x )+1在_1,1上是增函数，求实数 九的取值范围.本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：(I )设函数y = f (x)的图象上任意一点 Q(x。，y0声于原点的尔点为 P(x,y),

15、则J .02 一0, 口 x0 7,22 即(0y。+y _01y0=-y.、2=，丁点Q(%,y0近函数y = f (x)的图象上y=x22x,即y = x2+2x,故g(x)=x2+2x(n )由 g (x )之 f (x )x1 , 可得 2x2x1 0当x之1时，2x2 -x +1 0,此时不等式无解.21当 x 1 时，2x +x 1 E0,解得-1 x -.2因此，原不等式的解集为-1 1 ._ 12(ni) h x = - 1 一小x2 2 1 -1- 7x 1当九=_1时，h(x)=4x+1在I-1,1 上是增函数， 1-1I、一，1当九7时，对称轴的方程为x = 1-.1i)

16、当人1时，手 E1,解得九1时,至1,解得1 九1时，则h(x) 4,其中等号当x=2时成立若x1时，则h(x) & 0,其中等号当x=0时成立函数 h(x)的值域是(-8,0 1 U4,+ 8)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,则 g(x)=f(x+ a )= sin2(x+a =4nn)+cos2(x+ )=cos2x-sin2x,是 h(x)= f(x) - f(x+ a)=(sin2x+c02sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令 f(x)=1+ 、. 2 sin2x,g(x)=f(x+ a )= 1+ 2 sin2(x+ 兀)=1- J2 sin2x,于是

17、h(x)= f(x) f(x+ a )= (1+ J2sin2x)( 1-2 sin2x)=cos4x.7.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.在直角坐标平面中，已知点Pi(1,2),P2(2,22),一,Pn(n,2 n),其中n是正整数.对平面上任一点Ao,记Ai为Ao关于点Pi的对称点，A 2为Ai关于点P2的对称点，,A n为急-1关于点R的对称点.求向量人0人2的坐标；当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数且当xC(0,3时,f(x)=lgx. 求以曲线C为图象的函数在(1,4上的解析式；对任意偶数n,用n表示向量A0An，的坐标.解(1)设点Ao(x,y), A 。为Pi关于点的对称点 A的坐标为(2-x,4-y),A 1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),A0A2 =2,4. A0A2 =2,4, .f(x)的图象由曲线 C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，曲线 C是函数y=g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数，且当xC(-2,1时,g(x)=lg(x+2)-4.于是，当 xC (1,4 时,g(x)=lg(