统计学第八章概要课件

1、第八章 假设检验7/28/20221章节目录8.1 假设检验的基本问题 8.2 一个总体参数的检验8.3 两个总体参数的检验8.4 检验问题的进一步说明28.1 假设检验的基本问题8.1.1 假设问题的提出8.1.2 假设的表达式8.1.3 两类错误8.1.4 假设检验的流程8.1.5 利用P值进行决策8.1.6 单侧检验38.1.1 假设问题的提出：引例由统计资料得知，1989年某地新生儿的平均体重为3190克。现从1990年的新生儿中随机抽取100个，测得其平均体重为3210克。问1990年的新生儿与1989年相比，体重有无显著差异？48.1.2 假设的表达式1、原假设(null hypo

2、thesis)：是待检验的假设，又称“零假设”。统计的语言是用一个等式或不等式表示问题的原假设。表示为 H0。2、备择假设(alternative hypothesis)：与原假设互斥的假设，又称“替换假设”。表示为H1。3、肯定原假设，意味着放弃备择假设；否定原假设，意味着接受备择假设。58.1.2 假设的表达式假设检验背后的哲学： 如果一个人说他从来没做过坏事，他能够证明吗？ 从这个例子中我们发现，要肯定某个事物往往是很难的，而否定某个事物则相对容易得多，这就是假设检验背后的哲学。 假设检验的思想，可以用当代著名的科学哲学家波普尔的“否证”思想作出解释。这种思想认为科学研究的目的不是实证一

3、个理论，而是竭力去否证一种猜想。 68.1.2 假设的表达式 在假设检验中，一般要先设立一个假设（比如从来没做过坏事），然后从现实世界的数据中找出假设与现实的矛盾，从而否定该假设。所以，在多数统计教材当中，假设检验都是以否定事先设定的那个假设为目标的。 如果搜集到的数据分析结构不能否定该假设，只能说明我们掌握的现实不足以否定该假设，但不能说明该假设一定成立。这是假设检验做结论的时候尤其要注意的一点。比如一个人在数次的观察中都没有干坏事，但并不说明他从来都没干过坏事。 78.1.2 假设的表达式 从假设检验的原理来看，检验的结论是建立在概率的基础上的。不能拒绝原假设并不一定保证原假设为真。不拒绝

4、原假设只是意味着我们所构造的与原假设相矛盾的小概率事件在我们所设定的显著性水平下没有发生，但是随着显著性水平的变化，我们没有办法证明所有的这些小概率事件都不会发生。 因此，我们把假设检验中出现接受原假设的结果解释为“没有发现充足的证据反对原假设”，或更严格的解释为“在某显著性水平下没有发现充足的证据反对原假设”，而不用“接受原假设”这样的说法，因为我们无法证明原假设绝对是真的。88.1.2 假设的表达式 假设检验在整个思想的逻辑上，我们采用的是反证法，要想证明它成立，首先假设它不成立，然后找出一个矛盾，来否定我们的这个假设。所以，统计上依据的是一个小概率的原理。 什么是小概率呢？就是在一次实验

5、中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率。统计学上，我们通常认为，在一次实验中，小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设。所谓一次实验，在统计上其实就是一次抽样，你在这一次抽样当中，如果出现了小概率事件，那么我们就有理由去拒绝原来的那个假设。所以，我们在做假设检验之前，首先要设定小概率事件。著名的英国统计学家费希尔把小概率的标准定位0.05，即把0.05或比0.05更小的概率看成小概率。98.1.2 假设的表达式 根据假设检验的思想逻辑在一次实验中，小概率事件是不容易发生的（或几乎不可能发生）。通俗的说，在一次实验中，假定某一事件发生的概率很大，这一事件发生了，人们认为这是正常的；反过来，某一

6、事件发生的概率很小，这一事件发生了，人们认为这就不正常了。10 一般来说，在研究问题的过程中，我们想要予以反对的那个结论，我们就把它作为原假设。 比如，一家研究机构估计，某城市当中家庭拥有汽车的比例超过30%。为了验证这种估计是否正确，该研究机构随机的抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设和备择假设。 解：研究者想要收集证据予以支持的假设是：“该城市中家庭拥有汽车的比例超过30%”。因此，原假设是总体比例小于等于30%，备择假设是总体比例大于30%。可见，通常我们应该先确定备择假设，再确定原假设。 8.1.2 假设的表达式118.1.2 假设的表达式例1：某厂生产的化纤纤度服从正态分布

7、，纤维的纤度的标准均值为1.4。某天测得25根纤维的纤度的均值为1.39，检验与原来设计的标准均值相比是否有所变化，要求的显著水平为=0.05。试陈述用于检验的原假设和备择假设。解：对于参数假设检验问题，原假设一定是“等于”、“大于等于”、“小于等于”某值这三种情况。因此，H0 :=1.4； H1 :1.4。128.1.2 假设的表达式例2：某一贫困地区估计营养不良人数高达20%，然而有人认为这个比例实际上还要高，要检验该说法是否正确，试陈述用于检验的原假设和备择假设。解：“有人认为这个比例实际上还要高”，因此这个就是想要证明的观点，把它放在备择假设的位置上。因此，H0 :20%； H1 :2

8、0%。138.1.2 假设的表达式例3：一个零件的标准长度为5厘米，要检验某天生产的零件是否符合标准要求，试陈述用于检验的原假设和备择假设。解：对于参数假设检验问题，原假设一定是“等于”、“大于等于”、“小于等于”某值这三种情况。因此，H0 :=5； H1 :5。148.1.2 假设的表达式例4：一项研究表明，中学生中吸烟的比例高达30%，为检验这一说法是否属实，试陈述用于检验的原假设和备择假设。解：对于参数假设检验问题，原假设一定是“等于”、“大于等于”、“小于等于”某值这三种情况。因此，H0 : =30%； H1 : 30%。158.1.2 假设的表达式例5：一项研究表明，司机驾车时因接打

9、手机而发生事故的比例超过20%，试陈述用于检验的原假设和备择假设。解：通常我们看到“一项研究表明”这样的论述，论述当中的观点都是研究者想要证明的观点，所以放在备择假设的位置上。因此： H0 :20%； H1 :20%。168.1.2 假设的表达式例6：某企业每月发生事故的平均次数为5次，企业准备制定一项新的安全生产计划，希望新计划能减少事故次数。用来检验这一计划有效性的原假设和备择假设是？解：企业希望证明的是新计划的有效性，即新计划能减少事故次数。所以把它放在备择假设上。因此，H0 :5； H1 :5。178.1.2 假设的表达式 因研究目的的不同，对同一个问题可能提出不同的假设（也可能得出不

10、同的结论）。188.1.3 两类错误1.第一类错误（弃真错误或 error）原假设为真时拒绝原假设弃真错误发生的概率为被称为显著性水平（significant level）2.第二类错误（取伪错误或 error ）原假设为伪时接受原假设第二类错误的概率为19项目没有拒绝H0拒绝H0H0为真1-（正确）（弃真错误）H0为假（取伪错误）1-（正确）8.1.3 两类错误假设检验中各种可能结果的概率208.1.3 两类错误和的关系：1、 和的关系就像跷跷板， 小就大， 大就小。因为，要减少弃真错误，就要扩大接受域。而扩大接受域，就必然导致取伪错误的可能性增加。因此，不能同时做到犯两种错误的概率都很小。

11、要使和同时变小，唯一的办法就是增大样本量。 和两者的关系就像是区间估计当中可靠性和精确性的关系一样。2、在假设检验中，大家都在执行这样一个原则，即首先控制犯错误原则。218.1.4 假设检验的流程提出原假设和备择假设确定适当的检验统计量规定显著性水平计算检验统计量的值（z值检验）作出统计决策：接受 or 拒绝228.1.4 假设检验的流程1、检验统计量：是用于假设检验决策的统计量。选择统计量的方法与参数估计相同，需考虑是大样本还是小样本；总体方差已知还是未知。238.1.4 假设检验的流程2、计算检验统计量值的方式，类似我们前面讲过的相对位置度量当中的标准分数计算。 引例中，假设新生儿体重的标

12、准差为80克，则有=3190，=80，n=100。根据抽样分布的原理，当=0.05时的置信区间为（3174.32,3205.68）。3210落在这个区间之外，所以拒绝原假设。 假设检验中我们采用类似标准分数的转化方式，将3210转化为标准分数，也就是求3210对应的Z值，看它是否落在（-1.96，+1.96）的接受域范围内。我们可以求得Z值为2.5，落在接受域之外，所以拒绝原假设。24 统计量检验是我们事先给出的一个显著性水平，以此为标准进行决策，无法知道实际的显著性水平究竟是多少。比如，根据统计量进行检验时，只要统计量的值落在拒绝域，我们拒绝原假设得出的结论都是一样的，即结果显著。但实际上，

13、统计量落在拒绝域不同的地方，实际的显著性是不同的。比如，统计量落在临界值附近与落在远离临界值的地方，实际的显著性就有较大差异。8.1.5 利用P值进行决策258.1.5 利用P值进行决策 为了精确地反映决策的风险度，可以利用P值(P-Value)进行决策。 例如：引例中，如果我们想要了解随机抽取出的100个样本，其均值大于3210的概率有多大？我们把这个概率称为P值，所以P值就是原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率。 P值的手工计算非常复杂，根据引例，我们可以通过计算机求出P值为0.01242，这就是说，如果原假设成立，样本均值大于等于3210的概率只有0.01242，这是很

14、小的，由此我们可以拒绝原假设。268.1.5 利用P值进行决策 如果P值很小，说明这种情况发生的概率很小，而如果出现了，根据小概率原理，我们就有理由拒绝原假设。P值越小，我们拒绝原假设的理由就越充分。 P值的长处在于它反映了观察到的实际数据与原假设之间不一致的概率值，与传统的拒绝域范围相比，P是一个具体的值，这样就提供了更多的信息。27传统的显著性水平，如1%、5%、10%等等，已经被人们普遍接受为“拒绝原假设足够证据”的标准，我们大概可以说：10%代表有“一些证据”不利于原假设；5%代表有“适度证据”不利于原假设；1%代表有“很强证据”不利于原假设。有了P值，我们并不需要用5%或1%这类传统

15、的显著性水平。P值提供了更多的信息，它让我们可以选择任意水平来评估结果是否具有统计上的显著性，从而可根据我们的需要来决定是否要拒绝原假设。只要你认为这么大的P值就算是显著了，你就可以在这样的P值水平上拒绝原假设。8.1.5 利用P值进行决策28 要证明原假设不正确，P值要多小，才能令人信服呢？原假设的可信度又多高？如果H0所代表的假设是人们多年来一直相信的，就需要很强的证据(小的P值)才能说服他们拒绝的结论是什么？如果拒绝H0而肯定H1 ，你就需要有很强的证据显示要支持H1。比如，H1代表要花很多钱把产品包装改换成另一种包装，你就要有很强的证据显示新包装一定会增加销售量(因为拒绝H0要花很高的

16、成本)8.1.5 利用P值进行决策298.1.6 单侧检验假设研究的问题双侧检验左侧检验右侧检验H0m = m0m m0m m0H1m m0m m030抽样分布H0值临界值临界值a/2 a/2 样本统计量拒绝域拒绝域接受域1 - 置信水平双侧检验有两个拒绝域，两个临界值，每个拒绝域的面积为/2。318.1.6 单侧检验H0值临界值a样本统计量拒绝域抽样分布1 - 置信水平左单侧检验，所考察的数值越大越好，如灯泡的使用寿命，轮胎的行驶里程数等。328.1.6 单侧检验H0值a1 - 置信水平拒绝域接受域抽样分布临界值样本统计量右单侧检验，所考察的数值越小越好，如废品率、生产成本等。338.2 一

17、个总体参数的检验8.2.1 检验统计量的确定8.2.2 总体均值的检验8.2.3 总体比例的检验8.2.4 总体方差的检验348.2.1 检验统计量的确定 在一个总体参数的检验中，用到的检验统计量主要有三个：z统计量，t统计量，2统计量。其中z统计量和t统计量常用于均值和比例的检验， 2统计量则用于方差的检验。选择什么统计量进行检验主要考虑两方面的因素：样本量的大小，总体的标准差是否已知。358.2.1 检验统计量的确定1、在大样本的情况下，无论总体方差是否已知，都可以把样本分布视为正态分布。这时可以使用z统计量(Z分布）。当总体标准差未知时，则用样本标准差来代替。2、在小样本的情况下，如果总

18、体标准差已知，样本统计量将服从正态分布，可采用Z统计量；如果总体标准差未知，则使用样本标准差，样本统计量服从t分布，应该采用t统计量。3、当n较小时，t分布和z分布的差异明显，随着n的扩大，t分布向z分布逼近，它们之间的差异逐渐缩小，当样本量大于30时，两者非常接近，具备了用z分布替代t分布的理由。368.2.1 检验统计量的确定样本量总体标准差t统计量z统计量Z统计量大小已知未知378.2.2 总体均值的检验总体 是否已知？用样本标准差S代替 t 检验小样本量n否是z 检验 z 检验大nSXZ0m-=nXZsm0-=nSXt0m-=38 【例1大样本，双侧检验】某机床厂加工一种零件，根据经验

19、知道，该厂加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为0.081mm，总体标准差为0.025 。今换一种新机床进行加工，抽取200个零件进行检验，得到的椭圆度为0.076mm。试问新机床加工零件的椭圆度的均值与以前有无显著差异？（0.05）8.2.2 总体均值的检验39H0: = 0.081H1: 0.081 = 0.05n = 200临界值(s):检验统计量:Z01.96-1.96.025拒绝 H0拒绝 H0.025决策:结论: 在 = 0.05的水平上拒绝H0有证据表明新机床加工的零件的椭圆度与以前有显著差异8.2.2 总体均值的检验40第1步：进入Excel表格界面，选择“插入”下拉菜

20、单第2步：选择“函数”点击第3步：在函数分类中点击“统计”，在函数名的菜 单下选择字符“NORMSDIST”然后确定第4步：将Z的绝对值2.83录入，得到的函数值为 0.997672537 P值=2(10.997672537)=0.004654 P值远远小于，故拒绝H08.2.2 总体均值的检验利用P值进行决策418.2.2 总体均值的检验利用P值进行决策 如果事先确定了显著性水平，则在双侧检验中，P值的计算为：P=2(1函数值）。P /2 不能拒绝原假设，反之，P 不能拒绝原假设， P 则拒绝原假设。42【例2大样本，单侧检验】某批发商欲从生产厂家购进一批灯泡，根据合同规定，灯泡的使用寿命平

21、均不能低于1000小时。已知灯泡使用寿命服从正态分布，标准差为200小时。在总体中随机抽取100只灯泡，测得样本均值为960小时。批发商是否应该购买这批灯泡？ (0.05)8.2.2 总体均值的检验43H0: 1000H1: 1000 = 0.05n = 100临界值(s):检验统计量: 在 = 0.05的水平上拒绝H0有证据表明这批灯泡的使用寿命低于1000小时，批发商不应购买。决策:结论:-1.645Z0拒绝域210020010009600-=-=-=nxzsm8.2.2 总体均值的检验Z0.05 =1.645Z0.025 =1.96Z0.005 =2.5844第1步：进入Excel表格界

22、面，选择“插入”下拉菜单第2步：选择“函数”点击第3步：在函数分类中点击“统计”，在函数名的菜 单下选择字符“NORMSDIST”然后确定第4步：将Z的绝对值2录入，得到的函数值为 0.97725 P值=10.97725=0.02275 P值远远小于，故拒绝H08.2.2 总体均值的检验利用P值进行决策45【例2比较】某批发商欲从生产厂家购进一批灯泡，根据合同规定，灯泡的使用寿命平均不能低于1000小时。已知灯泡使用寿命服从正态分布，标准差为100小时。在总体中随机抽取81只灯泡，测得样本均值为990小时。批发商是否应该购买这批灯泡？ (0.05)8.2.2 总体均值的检验46H0: 1000

23、H1: 1200 = 0.05n = 20临界值(s):检验统计量: 在 = 0.05的水平上不拒绝H0不能认为该厂生产的元件寿命显著地高于1200小时。决策:结论:Z0拒绝域0.051.6451.3420150120012450=-=-=nxzsm8.2.2 总体均值的检验538.2.2 总体均值的检验第1步：进入Excel表格界面，选择“插入”下拉菜单第2步：选择“函数”点击第3步：在函数分类中点击“统计”，在函数名的菜 单下选择字符“NORMSDIST”然后确定第4步：将Z的绝对值1.34录入，得到的函数值为 0.9099 P值=10.9099=0.0901 P值大于，故不能拒绝H0利用

24、P值进行决策normal distribution 548.2.2 总体均值的检验 【例4小样本，未知，双侧检验】某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试以0.05的显著性水平检验机器性能良好的假设。55H0: = 5H1: 5 = 0.05n = 10临界值(s):检验统计量: 在 = 0.05的水平上拒绝H0机器性能不好。决策:结论:3.16100.355.30=-=-=nxtms8.2.2 总体均值的检验=t/2(9)2.2622568.2.2 总体均值的检验第1步：进入Excel表格界面，选择“

25、插入”下拉菜单第2步：选择“函数”点击第3步：在函数分类中点击“统计”，在函数名的菜 单下选择字符“TDIST”然后确定第4步：在弹出的X栏中将计算出的t值3.16录入，在Deg-freedom自由度栏中，输入自由度9，在Tails栏中输入2，表明是双侧检验。EXCEL计算出的P值结果为0.01155。 P值远远小于，故拒绝H0利用P值进行决策t-distribution578.2.3 总体比例的检验 一般而言，在有关比例的问题的调查中往往使用大样本，而小样本的结果是极不稳定的。而在大样本条件下，若np5，nq5，则可以把二项分布问题变换为正态分布问题近似的去求解。这就是说，在总体比例的检验中

26、，通常采用Z统计量。其中，p为样本比例，0为假设的总体比例。588.2.3 总体比例的检验【例】一项统计结果声称，某市老年人口（年龄在65岁以上）的比重为14.7%，该市老年人口研究会为了检验该项统计是否可靠，随机抽选了400名居民，发现其中有57人年龄在65岁以上。调查结果是否支持该市老年人口比重为14.7%的看法？(= 0.05)59H0: = 14.7%H1: 14.7% = 0.05n = 400临界值(s):检验统计量:在 = 0.05的水平上不拒绝H0该市老年人口比重为14.7%决策:结论:Z01.96-1.96.025拒绝 H0拒绝 H0.0258.2.3 总体比例的检验608.

27、3 两个总体参数的检验8.3.1 检验统计量的确定8.3.2 两个总体均值之差的检验8.3.3 两个总体比例之差的检验8.3.4 两个总体方差比的检验8.3.5 检验中的匹配样本61两个正态总体参数的检验均值之差检验样本量大Z统计量总体标准差未知，小样本T统计量比例之差检验Z统计量方差比检验F统计量8.3.1 检验统计量的确定628.3.2 两个总体均值之差的检验情况一： 12、 22 已知1.假定条件两个样本是独立的随机样本两个总体都是正态分布若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和 n230)检验统计量为63假设研究的问题没有差异有差异均值1 均值2均值1 均值2H0H1 0 =

28、 0 0 0 08.3.2 两个总体均值之差的检验64【例1大样本】有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产出的产品其抗拉强度的标准差为8公斤，第二种方法的标准差为10公斤。从两种方法生产的产品中各抽取一个随机样本，样本量分别为n1=32，n2=40，测得x1= 50公斤，x2= 44公斤。问这两种方法生产的产品平均抗拉强度是否有显著差别？ (= 0.05)8.3.2 两个总体均值之差的检验658.3.2 两个总体均值之差的检验H0: 1- 2 = 0H1: 1- 2 0 = 0.05n1 = 32，n2 = 40临界值(s):检验统计量:决策:结

29、论: 在 = 0.05的水平上拒绝H0有证据表明两种方法生产的产品其抗拉强度有显著差异Z01.96-1.96.025拒绝 H0拒绝 H0.02566第1步：进入Excel表格界面，选择“插入”下拉菜单第2步：选择“函数”点击第3步：在函数分类中点击“统计”，在函数名的菜 单下选择字符“NORMSDIST”然后确定第4步：将Z的绝对值2.83录入，得到的函数值为 0.997673 P值=2（10.997673）=0.004654 P值远远小于 ，故拒绝H0利用P值进行决策8.3.2 两个总体均值之差的检验678.3.2 两个总体均值之差的检验情况二： 12、 22 未知，但知道12= 22 1.

30、假定条件两个样本是独立的随机样本两个总体都是正态分布小样本2. 检验统计量为其中：688.3.2 两个总体均值之差的检验情况三： 12、 22 未知，且没有理由判定12= 22 1.假定条件两个样本是独立的随机样本两个总体都是正态分布小样本2. 检验统计量为df =69 【例2小样本，方差未知，且没有理由证明两者方差相等】 “多吃谷物，将有助于减肥。”为了验证这个假设，随机抽取了35人，询问他们早餐和午餐的通常食谱，根据他们的食谱，将其分为二类，一类为经常的谷类食用者(总体1)，一类为非经常谷类食用者(总体2)。然后测度每人午餐的大卡摄取量。经过一段时间的实验，得到如下结果： （课本229页）

31、试以= 0.05的显著性水平检验。8.3.2 两个总体均值之差的检验708.3.2 两个总体均值之差的检验H0: 1- 2 0H1: 1- 2 0 = 0.05n1 = 15，n2 = 20临界值(s):检验统计量:决策:结论: 在 = 0.05的水平上拒绝H0没有证据表明多吃谷物将有助于减肥-1.694t0拒绝域.054869.220461.367515429.243125.629583-=+-=tt0.05 (32)=1.69471第1步：选择“工具”下拉菜单，并选择“数据分析”选项第2步：选择“t检验，双样本异方差假设”第3步：当出现对话框后 在“变量1的区域”方框内键入数据区域 在“变

32、量2的区域”方框内键入数据区域 在“假设平均差”的方框内键入0 在“(A)”框内键入0.05 在“输出选项”中选择输出区域 选择“确定”8.3.2 两个总体均值之差的检验通过EXCEL实现两个总体均值之差的检验72t-检验: 双样本异方差假设变量 1变量 2平均583629.25方差2431.43675.5观测值1520假设平均差0df33t Stat-2.487P(T=t) 单尾0.0091t 单尾临界1.6924P(T=t) 双尾0.0181t 双尾临界2.0345738.3.3 两个总体比例之差的检验（略）假设研究的问题没有差异有差异比例1 比例2比例1 比例2H0P1P2 = 0P1P

33、20P1P20H1P1P20P1P20748.4 检验问题的进一步说明8.4.1 关于检验结果的解释8.4.2 单侧检验中假设的建立75 正如一个法庭宣告某一判决为“无罪”而不为“清白”，统计检验的结论也应为“不拒绝”而不为“接受”。 Jan Kmenta 8.4.1 关于检测结果的解释76假设检验的目的主要是收集证据拒绝原假设，而支持你所倾向的备择假设假设检验只提供不利于原假设的证据。因此，当拒绝原假设时，表明样本提供的证据证明它是错误的，当没有拒绝原假设时，我们也没法证明它是正确的，因为假设检验的程序没有提供它正确的证据这与法庭上对被告的定罪类似：先假定被告是无罪的，直到你有足够的证据证明他是有罪的，否则法庭就不能认定被告有罪。当证据不足时，法庭的裁决是“被告无罪”，但这里也没有证明被告就是清白的8.4.1 关于检测