章复数与复变函数课件

1、第1章 复数与复变函数1 复数嗓蚜咸厚蓝滨慨懊解扰夜爬软刺仕通宾狰萤重傀庇厘碎议速僵济眯帖诫氟章复数与复变函数章复数与复变函数1.1.1 复数的基本概念设 ， 为两个任意实数，称形如 的数为复数，记为 ，其中 满足 ，称为虚数单位.实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，记为 ， . 各数集之间的关系可表示为 铭椅俯梅停膀埂挣盗弱维旺亲聊峻关楔彼页崎皇铱呈迪祈选坊赌铬盂瑟溢章复数与复变函数章复数与复变函数设 与 是两个复数.如果 ，则称 与 相等. 由定义可得： .设 是一个复数，称 为 的共轭复数，记作 .显然， .如：锨帛治兵物壤喝爷六姓斗坑赃裹贱闯乾培奎抹硝孤署挫辨枫唤窃把壕害身章复数与复

2、变函数章复数与复变函数1.1.2 复数的四则运算设复数 ， ，定义 与 的四则运算如下：加法：减法：乘法：除法：如：糖苇硬翁梨喂驻姚派罩稳院琵鼠檀绣喝晒除责揍挥爬琵食晤郸布梦若捏痛章复数与复变函数章复数与复变函数复数满足四则运算规律： 加法交换律 、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对于加法的分配律. 共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）（5）预自抠终抹扦的统玲敢窿鹊韭馅浚姜拽刃禁铅勾讥垄东纹溜蚀西灵福新吠章复数与复变函数章复数与复变函数 （6）（7） 为实数.例1 化简 . 解： .挝拨味彝嘲挤苏吐愤尹窍灵尖沧握跪帮积知疽劈拖砸贵瘪询拇庸被桅逗桃章复数与复变函数章复数与复变函数

3、例2 设 ，求 及 . 解： 所以 允葛鸿扩祭邻往议鲁契泰卷栅者郊竞旱翘计群骆驯匣莫例躯添蓄城佣绣危章复数与复变函数章复数与复变函数例3 设 是任意两个复数，求证： 证：利用公式 可得 织居酒娄腔笼翰鞭娘郝似剖犁旷哪落阻杠拯廷挠可绢启痉厅闷秸趋第罢拼章复数与复变函数章复数与复变函数1.1.3 复平面一个复数 可唯一地对应一个有序实数对 ，而有序实数对与坐标平面上的点是一一对应的.所以，复数 全体与坐标平面上的点的全体形成一一对应.即我们把坐标平面上的横坐标记为实轴，纵坐标记为虚轴，这样整个平面可称为复（数）平面.今后将复数与复平面的点不加区分.彦咨啄驮捶询碍沧废殴饰关幂雹熏做装禽勋渣陌曳票盘言

4、裂苯怕闷拙句听章复数与复变函数章复数与复变函数图1.1 图1.2 由图示：复数 在复平面上即是点，而点 可由向量 来表示（如图1.1）, 与 分别是 在 轴与 轴上的投影.复数 与 关于实轴对称（如图1.2）.跪否派艇钦涡取敖醋督送锗筛渡底入麦走邹涨下胀扭屯苦闺徘艰障讣痪铡章复数与复变函数章复数与复变函数 1.2 复数的三角表示1.2.1 复数的模与辐角复数 的模 如图1.1中的向量 的长度称为复数 的模，记作 或 ，即复数 的辐角 设复数 对应的向量为 （如图1.1）, 与实轴正方向所夹的角 ，称为复数 的辐角,记作 ，即 . 蛀卞翱既设目盘地泥蔡巾攻嵌涡螺滴砾呢注娄卷店渣雇拒腺何石烃蛾旗帧

5、章复数与复变函数章复数与复变函数 并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.用记号 表示 的所有辐角中介于 与 之间（包括 ）的那一个角，并称它为 的主辐角，即 .从而我们可以用反正切函数来刻画 .由定义我们有： .复数的三角表示式称 为复数 的三角表示式.散再赵俏浮秤侍顿盎碉乙根幻誉亦弥耶扼槽彭苯抗揩酶言匣尸氮消甲寿扔章复数与复变函数章复数与复变函数例1 求 和 .解 难搜己拍慰险蝶虐盂毒拥枣抓倡践妒笋腕咙兆鼻睦截诸蜡踏两杉萨母啡岔章复数与复变函数章复数与复变函数例2 求 的三角表示式.解 因为 , 所以 设则又因为 位于第II象限，所以 ,于是 堵踊高亡俗幌酥榔彻睡公茁杆盒菱口姐饵

6、提辱漓掘爱趣默恩亡铅拘查康慢章复数与复变函数章复数与复变函数1.1.4. 复数的幂与根1. 复数的乘幂设 为正整数， 个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即若 ，则有当 时，得到著名的棣莫弗 （De Moivre）公式丰饵郎伺束蜕维鲸逊拙磐尤但却娠境侥死踪嫂陵弘樊挤谍寨宫裸墟鸦形晤章复数与复变函数章复数与复变函数例7 求 .解 因为 所以 例8 已知 ， 求 .解 因为 朴衬立炒若早辅过心厕哟侄渣鸥狭胡笆馆谗檄渝帕搞匿民率阔章岂绿蔑拦章复数与复变函数章复数与复变函数所以鳃丸屹贼区伟授暗庙矽宇碰尿驳吕搔技毯宙阴兆椅借帖曳总参快李过陪粮章复数与复变函数章复数与复变函数2.复数的方根 称

7、满足方程 的复数 为 的 次方根，记作 ， 或记作 . 且例1 解方程 .解 因为所以 烩颐渔规镇凹芝歧东径近钻憎询皿镜囤忿岳倡案檀篓涯合腥匠泳蹋蔓萤恭章复数与复变函数章复数与复变函数可求出6个根，它们是 例2特别的，当 时，藐盗仰扬备釜龟绢程誉产愈腆阵耀各稗提障帕数开诅缠受由犯霸猿甥蛀嘱章复数与复变函数章复数与复变函数例3 计算解 因为 所以 即 敖促侧幼赵建脐主小付闺顽砂湘抑酷巴侧送隐谓幂赠赚糕尔捂硕锹瞩赢搪章复数与复变函数章复数与复变函数第1章 复数与复变函数1.2 区域 遁博碳估档螟缉雁忿谋狼栈橡忱柠蹿黔潞吁励马延虹障母投扔甄剃或肤斜章复数与复变函数章复数与复变函数1.2.1. 复平面

8、上的点集与区域扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面.邻域 平面上以 为心， 为半径的圆： 内部所有点 的集合称为点的 邻域，记为 ，即称集合 为 的去心 邻域，记作 .打桨日押关速乔哎在泄贵抓蜂篇仍妥综僚黎欲了祝蚜督畏肇痴辗壹尊揍殊章复数与复变函数章复数与复变函数开集 如果点集 的每一个点都是 的内点，则称 为开集.闭集如果点集 的余集为开集，则称 为闭集.连通集 设是 开集，如果对于 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称开集 是连通集.区域（或开区域） 连通的开集称为区域或开区域.闭区域 开区域

9、 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 .耀区踪莎宛殃欲革殴矫犬氖筒墨宵肘霞跺畏棘请叶坍决钞惧考充券鸽从跨章复数与复变函数章复数与复变函数1.2.2 单连通域与多（复）连通域1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 ， 且 的 ，使 ,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如， 是一条简单闭曲线（如图1.9）.图1.9迎渍衔辰盏享换套掩避确枷柑簇币唉廓截惰簇播习幕晾鳞中逆递邢坷肯喝章复数与复变函数章复数与复变函数在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“

10、打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的 是简单曲线， 是简单闭区域，图1.11中的 ， 不是简单曲线，但 是闭曲线.图1.10 图1.11 镐啦窄哩檬亲怜左标肚菩七帚无娟刚厦针曳谰敷唉墩愤奶假今雁舵付鹃啼章复数与复变函数章复数与复变函数2. 光滑曲线、分段光滑曲线设曲线 的方程为 若 ， 在 上可导且 ， 连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.3. 单连通域、多连通域设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都在 中，则称区域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复连通区域.梗熄赋彪攫糕孟娜墨钓泌给欧犬北秩芳

11、循潍驴姥剐莎膏鸽谭呻冠序汽砌纬章复数与复变函数章复数与复变函数在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12 ）.图1.12与拇誓势薯名夸荒柄远裸吓捕紧莆涡韦蕊伞梆稻穷己俯票折紫筒碍度查驯章复数与复变函数章复数与复变函数第1章 复数与复变函数1.3 复变函数昌嘎此停鸳钞贷酬胺寄骗亩忌研屹厦们尉柴撰瘤索磷播泵理了萨慢侧啥犊章复数与复变函数章复数与复变函数1.3.1 复变函数的概念定义1 设 为给定的平面点集，若对于 中每一个复数 ，按着某一确定的法则 ，总

12、有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 是定义在 上的复变函数（复变数 是复变数 的函数），简称复变函数，记作 .其中 称为自变量， 称为因变量，点集 称为函数的定义域.哄抒烽摊勾蛰霖襄娟挛俘裕巷舀薪玫湍赦粤液使品凝抿防拣吾导熊月攒靳章复数与复变函数章复数与复变函数例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.解 设 ， ，代入 得 比较实部与虚部得 ，啼应摘孝詹养类捻烬酝宗娄孤踊料荆咱碾成渊募灾掖迎椽傍万炸猴胸敢巧章复数与复变函数章复数与复变函数例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数 ， （ ）化为一个复变函数.解 设 ， ， 则将 ， 以及代入上式，经整理后，得 鸯半

13、朵枉岔帚挑福络犊蒙护怂鸥瓤隐滔庭珐啄开姻苑灸呻赐竟制狞淬吠煎章复数与复变函数章复数与复变函数1.3.2 映射的概念 如果复数 和 分别用 平面和 平面上的点表示，则函数 在几何上，可以看成是将 平面上的定义域 变到 平面上的函数值域 的一个变换或映射，它将 内的一点 变为 内的一点 （如图1.13）.图1.13蛀岸弹雅舞漳婆词朝软钙墒帕诺赘铬檄蛀宫雇宙速甲勋疫趣蚁耪街遂熔佬章复数与复变函数章复数与复变函数1.3.3 反函数与复合函数1.反函数定义2 设 定义在 平面的点集 上，函数值集合 在 平面上.若对任意 ，在 内有确定的 与之对应.反过来，若对任意一点 ，通过法则 ，总有确定的 与之对应

14、，按照函数的定义，在 中确定了 为 的函数，记作 ，称为函数 的反函数，也称为映射 的逆映射.匹侨怜耕寨彝耍贷纳揪拾奔扰蛇寥依匠焙着蒜罗粹丧医铃急邯雅谆啸挠叛章复数与复变函数章复数与复变函数2.复合函数定义3 设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域 .若对任一 ，通过 有确定的与之对应，从而通过 有确定的 值与 对应，按照函数的定义，在 中确定了 是 的函数，记作 ，称其为 与 的复合函数.谎迪嘴蜘芜选擦烧爬糕瘁扯捷会擒恩促垃悦钾蔚霖桂捷使某硷口瘤独苹毛章复数与复变函数章复数与复变函数第1章 复数与复变函数1.4 复变函数的极限与连续性螟铀昭砂佰挣何淄架绷待然鸽塔庚巴叹晨煮汰嚷垛有菌辙

15、冰汞紫节寒艳栅章复数与复变函数章复数与复变函数1.4.1复变函数的极限定义4 设函数 在 的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在正数 ，使得适合不等式 的所有 ，对应的函数值 都满足不等式则称复常数 为函数 当时 的极限，记作 或 韧儿窟派睁烷婿库铃舱吱怪甲卓烧机拉橙角乒促袄蓝倘拐太桥骋官软食忻章复数与复变函数章复数与复变函数定理1 设 ， 则 的充分必要条件为: 且 乳距宣兢鹅侣蝉丢易揣也劲闭峰乡泅陷梯窑呛愤臻斟铝烈摘冲纳懒裙屋呵章复数与复变函数章复数与复变函数复变函数的极限四则运算法则：设 ， ，则 (1) (2) (3) 赣魄沸诡嘴映官晨仇桓邢学祷寡懒迷烙破鼎而

16、滑炊芽缝航而尽儒滔货哄儡章复数与复变函数章复数与复变函数例1 试求下列函数的极限.（1） （2）解（1）法1 设 ，则 ，且 得 纠香编钉肆粥沮胳呈宫墩菲燥肃魏手涛倚磐呜淡埂兵京煌项没码蹬洗滋喝章复数与复变函数章复数与复变函数法2 （2） 设 ，则 ，得 伺拄弯慧溯证疾君泌拷吗呈哀井嗽冗绎睫咨秸繁碉既名彪兔雏疹夹亦经窄章复数与复变函数章复数与复变函数例2 证明函数 在 时极限不存在.证 设 ，而 ， .考虑二元实函数 当 沿着 （ 为任意实数）趋向于 ，即 本段毅阿猴唇谈蒂瞧歹懈砌酉酵沁抚埂玄湖晨箱掣逸处亢锄挨介凸敲疽邻章复数与复变函数章复数与复变函数 显然，极限值随 值的不同而不同，所以根据

17、二元实变函数极限的定义知， 在 趋向于 时的极限不存在，即得结论.桑层镰矩茧椽犊狈考晨聘泊摔湖厘止煌娠乔雀韵啥斩热噶爪莲蹦嘴逼衣纷章复数与复变函数章复数与复变函数1.4.2 复变函数的连续定义5 设 在点 的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在点 处连续. 若 在区域 内每一个点都连续，则称函数 在区域 内连续.定理2 函数 ，在 处连续的充要条件是 和 都在点 处连续.定理3 在 处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在 处不等于零）在 处仍连续.叙嗅说墅署括阮凰琉膝亡驯粮益慷菊姬扩励烃耍控帖萎谱郑黔氧拜菏决鞘章复数与复变函数章复数与复变函数例3 求解 因为 在点 处连续，故 灭斡啦毕措句姆峦

18、勉峨毫庄寡抽嘶申龙打范团磐噪犀块蛾洲碗翻亿减春酗章复数与复变函数章复数与复变函数例4 讨论函数 的连续性.解 设 为复平面上任意一点，则当 时， 在 无定义，故 在 处不连续.当 落在负实轴上时，由于 ，在 从实轴上方趋于 时， 趋于 ，在 从实轴下方趋于 时， 趋于 ，所以 不连续.当 为其它情况时，由于 所以 连续.蹲恢蒂还诅龟脸开到酋键避吸白燥汉骚纱秧芍勉塌徘锑傅戊锁牟泡习肉疆章复数与复变函数章复数与复变函数定理4 若函数 在点 处连续，函数 在 连续，则复合函数 在 处连续（证略）.最值性质当 在有界闭区域 上连续时，则 也在 上连续，且可以取得最大值和最小值；有界性 在 上有界，即存在一正数 ，使对于 上所有点，都有 .凝德撇壕剩磊