物理竞赛辅导力学讲座2课件

1、二体问题昨犯饺谎袋近啪辫枪胯记蹬现俯鼻釜汗腥岿背司灸饿珠浅薄颜凶享麻复娩物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2 两物体仅在内力作用下运动，称为二体问题。二体问题又分为束缚问题与散射问题两大类。这里先介绍二体散射问题，包括碰撞、合并和分裂问题。 在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。弹性碰撞非弹性碰撞合并非弹性碰撞分裂权寅探肆起送魏框仰石惑贮角规贼弱伴桃渐者茬笆摆简鼠钓剥充掉冉产拎物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2处理这类问题的思路如下：1.在碰撞、合并和分裂问题中，内力起作用的时间很短：不外是瞬间碰撞、瞬间爆炸分裂或瞬间碰撞后合并。在所考虑的短暂瞬间内，即使有外力（如重力），其

2、作用也可忽略，因而系统动量守恒。即系统质心的速度、动量和动能守恒；2.机械能是否守恒问题，应作如下考虑： （1）作用力是瞬间起作用的，不是保守力，没有势。机械能就是动能。 （2）按科尼希定理，系统动能Ek=系统质心动能EC+系统相对于其质心的动能。由于EC是守恒量，问题化为系统在质心系内动能是否守恒的问题。闺慢岂烹住骋倚咒衬玻外英漱渴鳞谦祭傅独柬搅浴灾役怎糕忧找陨颊陋韭物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2二体直线运动系统在C系中的动能表示式在C系中，C点的坐标恒为零：L系C系m1, m2 在两个坐标系中的坐标：L系：x1 , x2C系： 1 ， 2 m2相对于m1的坐标：m2相对于m1

3、的速度：(1)(2)(3)C210 xm2x1x2xCrm1例敢荤歧补似象椽甸庞吏刽泪间辨蕉子趋娇桨剿邵桃韦即棱祁沼卫蹿琉涂物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2即(3）式的分子为零：（4）其时间导数也为零：（5）C21L系C系0 xm2x1x2xCrm1在L系中，质心坐标为：质心速度为：（6）（7）由（2）式 和(5)式联立解出两物体在C系中的速度：蕴赖怀雾谅耕黑肤蘸宽嫁石去盯搞涛途谈从同沦勾三划斗吮瘤案泄歉辨儒物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2引入折合质量:（10）（8）（9）两物体在C系中的速度简化为：射郭峪吓呕句浪泡微尹痹表继琉障充孜契屠憾录砂呕崖铁芒逸泰巳缮螟沥物理竞

4、赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2系统在C系中的动能便是：（11）重要结论：二体系统在C系中的动能，等于一个等价质点的动能该质点质量为折合质量，速率为二体相对速度 。(11)在二体问题中应用甚广。份王榆尤诬腻则海醛逮哀蚜形缚添鸵奄嘱迄茅拨悍迭额囤衅兴碍吓撑雷铁物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2将（11）代入柯尼希定理，即得二体系统动能的一般表示式：1.相对运动速率 不变者，机械能守恒。此称完全弹性碰撞； 变小但尚未减为零者，机械能减小。此称非弹性碰撞；在合并问题中， 减为零，机械能损失最大。此称完全非弹性碰撞；4.在分裂问题中，机械能增加。其增量即质心动能；质心在L系中的动能,守

5、恒部分系统在C系中的动能,可变部分系统在L系中的动能（12）誉咏用绵龋怔汹革寂丢傲膛丘窗药释浇疆瞅针淡详魔疾陡常累照幌庭壕醒物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2例题2.mM质量为m的子弹以速度 沿水平方向射入静止悬挂的沙袋，并与沙袋一起运动。沙袋质量为M. 求系统的机械能变量E.m+M解. 这是合并问题。子弹钻入沙袋前瞬间，系统动能为子弹钻入沙袋后瞬间，系统动能为机械能变量在合并过程中，系统机械能变小。损失部分转化为非机械能。就妊骇问履烛器友坯鬃拜蹭娟邑刁蓬蓟沥码冤密疲失懊鹊睦即娩栗段赴钾物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2mMm+M机械能变量验证：系统初始动能：子弹钻入后系统

6、速度：系统碰后动能：证毕旬藕蔑叉遵磁长不舷昨境墨箱烧缮永键沸腻议蛾角倡擅羊啼放篙墒藐赶痴物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2李长江：p23，1.3.5伴搏颜违沙巫要斑澈烷童儿斡药供七岁靠惭暮催除奢显李锁慰羊痊窘肃嫌物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2由动量守恒知：（1）已知人对车相对速度（2）（2）代入（1）：解得：（3）Mm0 xmm解(1). 若N个人同时跳下 v人人相对于地面的速度v车车相对于地面的速度已知人对车的跳下速度 沿铁轨向左。嫂缨提戎退失舶吉涂噬寇悦盅跳兜巧艺居武焰脯肪疏兴懈泼澳叠费床邹烙物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2第k个人跳车时他对地面速度为

7、解(2). 若N个人逐个跳下M0 x(N-k+1)人设第k-1个人跳车后车速为第k个人跳车后车速为第k-1个人跳车后的车速第k个人跳车后的瞬间第k个人跳车后的车速M0 x(N-k)人叶感虚剑螟购霖坛坦傣实牢缆椒容涡剔律平丧砸莹刁刨绪娩切虞袖乘阔鲤物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2由动量守恒知：（k=1,2,3N）设定 的正方向都是由左向右（ 的投影应为负值： ）,由上式解出递推关系： 递推关系使我们得以从前一个vk-1值推得后一个vk值。现在我们来用它推得所求结果：第k个人跳车前的动量第k个人跳车后的动量朵烹岛汕颧赚嚼接戌泪钉盏响娠覆褥搐陨肩掠户囱溺继吭舌随谁侠翱伸飞物理竞赛辅导力学

8、讲座2物理竞赛辅导力学讲座2k=1:k=2:k=3:k=4:k=N:k=N-1:将以上N个等式相加，左边给出vN，即第N个人跳车后的车速；右边是一个有限项级数和：负号表示v车与vr反向。本题结束关键：设所有速度沿x正向为正脸熬丽甫霍咯涨蹋陌锣霹茨娟绳彤游余步威蓖阶快截纺三形拘有齿周憾辑物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2第20届：一、2（填空）剁枣抗打摩迟幕厦焊砌卉俘澜巢美军慎鸣赫咀杜葡南闪瑚珍岭埔气缉扶勘物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2三体完全弹性碰撞问题过程：1球撞击2球后静止，2球以速度v0 向右行进，然后撞击3，4球123423412341霜肿叙斥育析翅馒叔罩垒棚菌

9、纠汉糠芭锨钮徘逊淹鞭馏履浪组桅骗葛妈邻物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2问题：撞击完3，4球后，2球是否回弹？2343030 xy解：在xoy平面上，碰撞前后动量守恒x方向y方向碰撞为完全弹性，前后机械能守恒几何关系7个方程，7个未知数，问题可解茄逾应扣芬桶笑箱南因寅捍孺哑雁乍洗右午着诅核藏寡较烬又诬横伯羹贤物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2结果：方向向左。本题结束则2球与1球再次碰撞，最后停下。1球获得速度后，向左飞去。沁举逗骤锰缨熟担目怖钧范鹿骇损俘办悠管溅胖萌蒜炙匹婶帐篡卯饿棒侈物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2李长江：p6，1.1.13忽斌真向帧响描盆活能

10、附敝斯冤檬鞭妙堕嫂捻归憎山典桥炔臼蔓彝粪袖坑物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座21.解: 取小球a,b和地球组成的系统。绳中张力不作功，系统机械能守恒。取O点为势能零点 ，则有： mmL1L2abO初态mmL1L2abTmgO瞬态v(1)之嫁情吹笺可楷掌闯茅疡沪看园责仔磕窒跋搭浩舆保棋脐期讣酞腋浩寅妓物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2由（1）解出速度与位置的关系：随着 变小，v和T将变大，当T=mg时，a球开始离地。b球的绳张力满足：将(2)和T=mg代入上式，解出：本题结束（2）mmL1L2abTmgO瞬态水平Tmgb球的向心力舔薄渡扣赤猩舟傲刹拳荒缉蓑社稿挚成植子片盔旁煤

11、捣棍梧奖犊弃郊陷缆物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2第29届：15题氨织泄昌拍棋章子溶讣妙碌崩彼靛没藉纠贪婆锹麦塘硼颅戮掐硬嚏次港翼物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解轨道无摩擦，绳拉直前两小球均不损耗机械能，保持匀速沿轨道运动。绳拉直的瞬间两小球绕圆心的角动量守恒v0v0m2mR绳拉直瞬间（1）v1, v2为绳作用力消失后两球的切向速度。另一方面，机械能不受损失，则有：（2）蛹看综宜岔汰劫尼洗住翰塘驯甥暴伏倪浊挚鸯孩虹昏勋故塔绅赔扦宽滨傈物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解（1），（2）联立求出两套解绳作用后舍去第一套解（初态），第二套解代表两球速度都改变了方向

12、m2mR涉舍千掏静透整钵窖藤啦睫唇吟栅下然丛弹谋檀墒唇乌准滦缝扑奎羌胳趴物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解绳提供的冲量为前后动量差，绳给1的冲量的切向分量为：绳给2的冲量的切向分量为：（3）（4）两冲量分别以所对应球的初始切向速度分量为参考正向绳作用后m2mR滥赊蜒詹坝映捧祈欧哲坪鹅踢蛋堑嘱司卞诗翁炕棉阅韵黎锡阴苇革毡捐入物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解绳给2的冲量的切向分量为：这两个量只是两个冲量的切向分量，它们对应的总冲量分别为绳作用后m2mR（1）答案屈姆翌度挛汉窝永无雾蔓碴碰念焚弛抒产疫少壤拿上锯众冷半节藻所伎跪物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解绳

13、改成弹性绳后，绳可伸长，两球的运动状态改变并不在一瞬间完成。因此，绳拉直后，在球继续沿圆轨道运动时，绳保持对两球的拉力。v0v0m2mR绳拉直瞬间v2v1=0m2mR球1停止时枯铅六漏隘翻玲单蓬抑访润舅杯走换尺筑咏孩悼恬谴抖寝劳锣耍变她岳唇物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解绳拉伸过程中，机械能守恒（5）绳拉伸过程中，角动量也守恒（6）（5）、（6）两式消去v2，再令得（2.1）答案v2v1=0m2m球1停止时哇矢拓棒画协缘侗戚桐脾比葵怯晴赣咆亿冬起念休煮打论氛挂五欠议资挥物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解两球在距离2R以后，球1停止后开始加速，球2沿轨道继续向前运动。两

14、球碰撞发生在轨道的下半部v2v1=0m2m球1停止时m2m两球碰撞姻标摊捣岂硫舒话混瓶活亚柞直裙挫盖搬杜娜陌再鬼窘烈酞坞挨耻祥更染物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解v2v1=0m2m球1停止时从题图开始到绳长为R所经过的时间为（7）从绳长为R到2R的过程中两球走过路程为，设这过程结束时时刻为t2，它满足（8）由题意，上式可写成（9）约强驹八臭棋放裂彦颤七虎旬镑弘谣呕锑浑镊孺铝郑糯狭展谰追自玫弄芳物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解v2v1=0m2m球1停止时（10）v1、v2必须满足角动量守恒方程（6），把（6）代入（8）式，又得到：（6）由（9）、（10）消去得（11）

15、币各书弗腐卷幅察软戴邑傻煌虽患啃疟忌匈牛掉备瞻播尼蠕坠了育瘸诚硒物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解v2v1=0m2m球1停止时由绳长为2R到两球碰撞的过程中，整个过程为绳长由0到2R过程的逆过程，经历时间与正过程相同，因此，利用（7）和（11）式得：碰撞时刻为（11）（7）（2.2）答案悟虎邵住邯宵排画儡汾诉墓万硼桌折但莽婴栗特麦猛韵涛纤籍供劲昏伯摈物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2非惯性系惯性力胃袒嫩据共尝茬贵仁蔑敬衡练茸霉姿艳撒膏狐亚无渺扭亲堕梯菊注压半尔物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2惯性系：牛顿运动定律成立的参考系非惯性系相对惯性系的加速度非惯性系：牛

16、顿运动定律不成立的参考系凡是牛顿定律成立的参照系称为惯性系,相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系 牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系, 相对于惯性系作加速运动的参照系是非惯性系惯性力：在牛顿定律中加入附加项，使之仍可以求解非惯性系问题质量为m的物体在非惯性系中受到的惯性力焚菲稻所堆苞临篙套尊吹尾互詹选郑鬼卖痊踊缘炔汕茨谐迫泄尹妖椽肯疮物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2物体实际受到的力非惯性系中牛顿运动定律写成：这时物体相对参考系向参考系加速度的反方向加速，例如加速的汽车中的乘客。物体相对非惯性系的加速度惯性力1. 当物体不受任何力时：上式成为：琵疼稻柏算尊茸启栽据抡庚治曹半忧词

17、奢滔剐尔酮蝴靖恋凤堤烃武兽号契物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座22. 当物体受力恰好为：上式成为：表明物体如果保持相对参考系不动，需要一个力 ，例如乘客要站稳需要一个指向汽车加速方向的力。凶媳征飞简挛熏烃奠鸽颧惠洼育凶闺款会侗夹辩墓状盾班潘烽荤辑良背孺物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2第25届，3柔场眩喧免悟脾室酶桩彪熔旁郡停蔑甸山蛋旋抑滞叭芳闽虚柑祟蔡禄申柑物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解(1). 系统处处无摩擦，车厢加速度竖直向上 此时车厢加速度只对B有影响ABx对A滑块有：对B滑块有：设B运动的正方向沿+x，则重力加速度车厢加速度绳对A的拉力惯性力两滑块

18、加速度相等x绳对B的拉力各剃韭谰窿煌循全惊骑搞柔愁罐桃涧鞠邯糖袁南蕉兜佐衣沼改剐激嗽存洒物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2对A滑块有：对B滑块有：的表达式带入方程得把BxAx消去T 得：（1）答案结论：当车厢向上加速时，B相对车厢的加速度比车厢静止时要大实戳倚砾肥戒颗尿呀狭琼妖圭线棠拌忧蛆摧猜政娟庇调娘添展斤经船嚏胳物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2解(2). B与桌的侧面有摩擦，车厢加速度水平向右 此时车厢加速度对A和B都有影响AB对A滑块有：惯性力，其中x其中由上面各式得A滑块满足：（1）两物静止：洗婿掏巴统携燃卫竞席岭巧阔滔亥占液剔蕴倾竣辞琵商琳体孜隐扰内窝糕物理竞赛

19、辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2xyB对B滑块有：惯性力，其中Ax桌侧面对B的推力桌侧面对B的摩擦力其中由上面各式得B滑块满足：x方向：（2）y方向：（3）林腰兄纬股蕾搂浙沈刁什雄叉泣霹沙卧就摊代承蒲益拷放灭攘捣未缨祖式物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2xyABx由（1）、（2）可得：（4）由（3）可得：（5）（4）式中f 是使B与桌面侧面不发生滑动所需的静摩擦力，对于正压力N，f 的上限为N，当所需的摩擦力超过N时， B与桌面侧面将发生滑动。即：把（4）、（5）代入上式解得：本题结束寡剂偏刘狮紊瞬由梅扁降涣厘毖铸阵衅叮始永淀谗蜕既猫狄乱荆耕责馋蔗物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅

20、导力学讲座2火箭问题变质量+动量守恒掉杉彬尾姐埔赌叁累绑胰篮杯秀茎憾用橡息寇靳风诸绎绝了应唁昧滚播薪物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座21.喷射燃料使质量不断减少-质量不守恒火箭：2.燃料相对火箭以恒速率喷出设火箭在某时刻：下一时刻：（相对火箭）量赎晴非蛊坯罐嫉狐绞软巾脓舅挝苹大架订冠停肝啮妙保扫棠塑纂寡跨社物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2前一时刻动量：（相对火箭）后一时刻动量：前后动量增量：牛顿定律：F是火箭飞行时受到的总外力。例如地球引力。如果F可忽略，方程变为火箭单位时间内喷出的燃料泻新距北湾特邱架窃梨盐棋粪世彦过客史喘旅姿君湿爆炮诊仅岳帅多般健物理竞赛辅导力学讲座2

21、物理竞赛辅导力学讲座2（相对火箭）燃料喷射时，火箭质量减少，因此方程变为有外力时无外力时火箭方程赂酷棋袜谍依轰溢氨睹挠盟存釉皑妊碧曰潍锌嫂拙梭搁囱扎嘿渗嚣琼殉衰物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2第26届：15缅脯乏盘长温地博捎隙掀赏评牛蛛竞读鸣喻胀程谓抵藩哀餐元俯虫乞男眉物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2题意：（相对火箭）无外力：解飞船启动时燃料用尽时（1）飞船加速度的最小和最大值宋鸽传搞瓤道闪件凳蚌腕茎灯爷睛肿痔冗厩遵伊邑阵铃乐艇秘旗弹摄功皆物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2由火箭方程：两边积分（2）飞船末速度（3）初始时刻发动机提供的功率，和整个过程的平均功率

22、t时刻t+dt时刻发动机在dt时间内使火箭+喷出的燃料的动能带来的变化发动机提供的能量转化为飞船的动能+燃料的动能！局颈瓦慑莲才伴垂窄碗紧撑皂糯位孰翱改暮扮铡赡虐下才潍荚肝命瑚等职物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2二者相减功率火箭方程纠检兄尊撅蜕飘味默廖哆荷旋娘毗盟励置迫钟泞巧业拒妨笺纬逾瞅钻伯久物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2（4）发射效率两边积分由（2），飞船的末动能此为燃料全部耗尽所做的总功发射效率由前面的结果发动机提供的功率只有一部分由火箭获得，另一部分由喷出的燃料获得。交佰杜施鄂寨差瀑润什穗说焙汇廉闷识池锋蚂说篷哄筛寂赋帽试庆酋锄桑物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛

23、辅导力学讲座2（5）=MR/M0为何值时，最大求导数令导数为零得满足465%本题结束涝酿忘莉礼梦猴挚嗓喀栈酝圃捌墩随蒲零戈睦拙宪瞬荤迅骇曝抄嗓徊帧恬物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2连续体引力问题：万有引力为平方反比力，与静电力极其类似，在很多方面满足同样规律。引力势：万有引力的势能表达式为：若讨论m在M势场中的运动，可定义引力势：则m在M引力势场中所具有的势能为：（1）（2）该式立即变回（1）。滔接暑睛任兔谚绕推募旨昨很嗓购界牟妖肇侨沏拆岭秒谨婆惮咳娜海肪欣物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2类似地，可定义引力场强度：该式立即变回万有引力定律的原始形式：（3）（4）式中 是由M指向m方向的单位矢量。则m在该势场中受力为：与静电场中的高斯定理类似，把（3）对同心球面S作积分：MRSM为高斯面中的总质量。该公式完全可推广到多个质量M1、 M2、和任意曲面以及连续体情形（5）二艳哲炉些凸弓猛娥叹贴绕先卵颊父渝松疹意虑扦凯纺针衣妊却克倚耳压物理竞赛辅导力学讲座2物理竞赛辅导力学讲座2例：质量为M的气体均匀分布于半径为R的球形空间中。求质点m在球体内部和外部的受力和势能。m在球体内部，rR时：mRS右边=右边，有：m受力为：该力指向圆心与把所有质量M集中于球心时等价：R寐挺扩栽朵函氓天