欧式空间中线性变换和正交变换的关系

1、欧氏空间中线性变换和正交变换的关系摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论关键词：欧式空间线性变换正交变换线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。本文首先引入线性变换和正交变 换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。为了阅读方便，本文从最基本的概 念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。定义1设V不是空集，P为一个数域，在V中定义加法和数量乘法（简称数乘）， 若对V以,P,勇 V, Vk, l e P，满足：（1）以+ &e V，（关于加法封闭）（2）以+ 0 = 0+以，（交换律）（3）（以 + 0）+丫 =以+（0+丫），（结合律）（4）30

2、 e V,使以+ 0 =以，V以e V，（零元）（5）V以 e V，3（-a）e V，使以+（-以）=0，（负元）（6）k -a e V （关于数乘封闭）（7）1-a =a（8）k（la）=（kl）a（9）（k +1）a = ka + la（10）k（a + 0）= ka + k0则称V为数域P上的线性空间。定义2设V是R上的一个线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记 为（a, 0），它具有以下性质（a, 0，丫 e V,k e R）：（1）（a, 0） = （0 ,a）（2）（ka,0） = k（a,0）（3）（a + 0，丫） = （a,y） + （0，丫）（4）（a,a） 0

3、，当且仅当a = 0 时，（a,a） = 0。定义3定义2中的线性空间V就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。定义4设V是一个线性空间，P为一个数域，对于Va, 0 e V, Vk e P，有（1）A（a + 0） = A（a） + A（0）（2）A（k-a） = kA（a）则称A为V上的线性变换。定义5设A是欧氏空间V的一个变换，如果对于任意的a, 0e V,即保持内积不变，都有:(A(以),A(P)=(以，P)。则称A是正交变换。由上述定义可以得到如下命题：命题1正交变换A保持向量的长度不变。因为欧氏空间V的向量a的长度是|a| = J (a, a)，所以就有|A(a )| = ( A(a),

4、 A(a) =、：(a, a) = |a |。但是，欧氏空间中保持向量长度不变的变换不一定是一个正交变换。例如，在欧氏空间R2中，令向量a在直角坐标系下的表示为a =(气,x2)，有A (a ) = A( x , x ) = (I x 1,1 x I)。 TOC o 1-5 h z 1212显然A是R2的一个变换。且因为I A(x , x ) I=I (I x I,I x I) I= (I x |2 + I x |2，121212I (x , x ) I= k x2 + x2。可知A保持向量的长度不变。但A不是正交变换，因为对于任意的a = (x , x ), P = (y , y )1212

5、则有：x , x 1),(1 y I,|y I) = Ixy 1 + lx y2 1 r 1 r 1 12 2(A(a), A( P)=(a,p) = (x , x ),(y , y ) = xy + x y。12121 12 2二者未必相等。命题2正交变换A保持任意两个向量的夹角不变。因为欧氏空间V的向量a、P的夹角Oe0,k的余弦可以表示为:cos 0 =(a,p)那么A(a )、A(P)的夹角0 的余弦是：cos0 = (A(a),A(P)=冬=cos0，iA(a)|A(p) ai-iPi故 0 = 0。但是，欧氏空间中保持任意两个向量夹角不变的变换不一定是一个正交变换。例如，设A是欧氏

6、空间的一个变换，对于任意的a eV，有A(a) = ka，其中k e R。因为对于任意的以,P e V, A(a )、A(p)的夹角的余弦为:(ka,kP) _ k2(a,p) _ (a,p) 二 二 二 , |ka|kp| k 2 |a|p| |a|p|所以变换A保持了向量夹角。但是A不是正交变换，因为对于任意的a, Pe V,有：A(a, p) - (ka, kP) - k2(a, p)，这未必与(a, p)相等。这样就容易得到一个可以判定正交变换的命题：命题3欧氏空间V的保持向量长度不变和任意两个向量的夹角不变的变换A是 个正交变换。下面我们首先讨论欧氏空间的正交变换和线性变换的关系。命

7、题4欧氏空间V的正交变换A一定是一个线性变换。证明任取a，peV，由于(A(a + p) - A(a) - A( p), A(a + p) - A(a) - A( p)=(A(a + p), A(a + p) - 2( A(a + p), A(a)-2( A( p), A(a + p) + (A(a), A(a)+2( A(a), A( p) + (A( p), A( p)(a + p, a + p) 2(a + p, a) 2( p, a + p)+(a, a) + 2(a, p) + (p, p) - 0故A(a + p) - A(a) - A( p) - 0艮 flA(a + p) -

8、A(a) + A( p)同理可证A(aa) - aA(a) - 0, a e R即A(aa) - aA(a)故A是线性变换。命题5欧氏空间V的保持向量长度不变的线性变换A一定是一个正交变换。证明 任取a，peV，由于A是保持向量长度不变的变换，即有(A(a), A(a) - (a, a),(A(p), A(p) - (p, p),(A(a + p), A(a + p) - (a + p ,a + p)。又因为A是一个线性变换，故有：(A(a + p), A(a + p) - (A(a), A(a) + 2(A(a), A(p) + (A( p), A(p),(a + p),(a + p) -

9、(a, a) + 2(a, p) + (p, p),故所以A 一定是一个正交变换。(A(以),A(P)=(以，P)。例如，在欧氏空间R2中，关于横轴的对称变换是一个正交变换。设任意向量在坐标系下的表示为a = (x1,x2)，A为关于横轴的对称变换，这样就有：A(a) = A(xx2)=(气,-x2)下面证明这是一个线性变换。因为：A(a + p) = A(x , x ) + (y , y ) = A(x + y , x + y ) = (x + y , -x - y )， TOC o 1-5 h z 121211221122A(a) + A(p) = A(x , x ) + A(y , y

10、) = (x , -x ) + (y , -y ) = (x + y , -x - y )，121212121122所以又因为:A(a + P) = A(a) + A(P)。A(ka ) = A(k(x , x ) = A(kx , kx ) = (kx , -kx ), 121212kA(a) = kA(x , x ) = k(x , 一x ) = (kx , -kx ),121212其中k e R。A(ka) = kA(a)。所以故A为线性变换。显然对称变换A又是保持长度的，因此根据命题5,它是一个正交变换。同样，我们常见的欧氏空间R2的旋转变换也是一个正交变换。设任意向量在坐标系下的表示

11、为a = (xi,x2)，A为逆时针方向旋转9的变换，这样就有： TOC o 1-5 h z A (a) = A( x , x ) = (x cos 9 - x sin 9, x cos 9 + x sin 9)。121221显然这是个线性变换。因为：A(a + P) = A(x , x ) + (y , y ) = A(x + y , x + y )12121122=(x + y )cos 9 - (x + y )sin 9,(x + y )cos 9 + (x + y )sin 9)11222211A(a) + A( P) = A(x , x ) + A(y , y ) 1212=(x c

12、os 9 - x sin 9, x cos 9 + x sin 9) 1221+(y cos 9 - y sin 9, y cos 9 + y sin 9) 1221=(x + y )cos 9 - (x + y )sin 9,(x + y )cos 9 + (x + y )sin 9)11222211所以又因为：A(ka) = A(k (x , x ) = A(kx , kx ) = (kx cos 9 - kx sin 9, kx cos 9 + kx sin 9) 12121221=k (x cos 9 - x sin 9, x cos 9 + x sin 9) = kA(a) 1221

13、下面我们证明这个旋转变换是一个保持长度的变换。因为：|A(a)| = |A(x ,x )| = 1(x cos9 -x sin9,x cos9 + x sin9)1121221二 J(x cos9 - x sin9)2 + (x cos9 + x sin9)21221A(a + P) = A(a) + A( P)=：x 2 + x 2 = |（x , x ） | = |所以，欧氏空间R2的旋转变换是一个正交变换。命题6欧氏空间V的保持任意两个向量夹角不变的线性变换A不一定是一个正交 变换。前面我们举的例子：A是欧氏空间的一个变换，对于任意的 eV，有A（以）=k侦， 其中k e R。说明了尽管A保持了任意两个向量夹角不变，但并不