概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征

1、第四章 随机变量的数字(shz)特征4.1 数学(shxu)期望4.2 方差4.3 协方差和相关系数共四十一页4.1 数学(shxu)期望例1：甲乙两人进行射击，射击的环数X、Y的分布律如下，问哪个射手水平较高？X8 910Pk0.1 0.70.2Y8 910Pk0.3 0.40.3共四十一页 设X是离散型随机变量，它的分布律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,如果有限,定义X的数学期望定义否则称X的数学期望(qwng)不存在。离散(lsn)型随机变量的数学期望共四十一页例2：某射手连续向一目标射击，直到命中(mngzhng)为止，设他每发命中(mngzhng)的概率是p，求平均射击次

2、数。例1：求0-1分布(fnb)，泊松分布(fnb)的数学期望。共四十一页设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果绝对收敛,则定义X的数学期望为定义否则(fuz)称X的数学期望不存在.连续型随机变量(su j bin lin)的数学期望共四十一页例5. 设XN(,2)，求E(X).例4. XUa,b,求E(X).共四十一页设已知随机变量(su j bin lin)X的分布，如何计算g(X)的期望呢？共四十一页例1：已知离散型随机变量(su j bin lin)X的分布列为求X2的数学(shxu)期望。X-2 -10 12Pk0.10.30.30.20.1共四十一页 设X是一个(y

3、)随机变量，Y=g(X)，则 当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为f(x).注意: 同样需要满足(mnz)绝对收敛!随机变量函数的数学期望共四十一页例1.设随机变量(su j bin lin)XN(0,1),求E(|X|).共四十一页 设(X,Y)是二维随机变量(su j bin lin)，Z=g(X,Y)，则二维随机变量函数的数学(shxu)期望共四十一页例1：设（X,Y）联合(linh)概率分布为：求E(X+Y),E(XY)XY101230.20.20.20.10.20.1共四十一页例2. 设随机变量X，Y相互独立，且均服从N( 0 , 1 )，求。共

4、四十一页 1. 设a,b是常数(chngsh)，则E(aX+b)=aE(X)+b; 2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);数学期望(qwng)的性质共四十一页 3. 设X、Y独立(dl)，则 E(XY)=E(X)E(Y);例1：设XB(n,p),求E(X).例2：设送客汽车载有m位旅客，自始发站开出，旅客有n 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车。设每位旅客在各站下车是等可能(knng)的，求平均停车次数。共四十一页4.2 方差(fn ch)共四十一页 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果(ji gu)X用坐标上的点表示如图： 甲仪器测量

5、结果 乙仪器测量结果共四十一页 为此需要引进另一个数字特征(tzhng),用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字(shz)特征就是我们这一讲要介绍的方差共四十一页采用平方是为了保证(bozhng)一切差值X-E(X)都起正面的作用 方差的算术平方根 称为标准差设X是一个随机变量，若EX-E(X)2，则称D(X)=EX-E(X)2为X的方差.方差(fn ch)的定义共四十一页X为离散(lsn)型，P(X=xk)=pkX为连续型，Xf(x)已知X的概率分布，方差如何(rh)计算？D(X)=E(X2)-E(X)2 共四十一页例1. 设X服从(fcng)参数为p的0-1分布，求D(X)

6、.设YN(,2)，求D(Y).例2. 设XUa,b，求D(X).YP(), 求D(Y)共四十一页常见分布(fnb)的期望和方差共四十一页名称概率分布期望方差两点分布二项分布泊松分布正态分布均匀分布指数分布共四十一页推论(tuln)1：常数的方差等于零，即：D(C)=0推论(tuln)2：设X是一个随机变量，a是常数，则D(aX)=a2D(X) 1. 设a,b是常数，则D(aX+b)=a2D(X);推论3：D(X)=D(-X)方差的性质共四十一页一般(ybn)地：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)2.设X,Y为相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)例3

7、. 设XB(n,p),求D(X).共四十一页推论1：设X,Y为相互(xingh)独立的随机变量， a,b是常数， 则D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)推论(tuln)2：设X,Y为相互独立的随机变量，则 D(X-Y)=D(X)+D(Y)共四十一页X,Y相互独立，则aX+bY,aX-bY服从什么分布？共四十一页切比雪夫不等式 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)|0,定理共四十一页例1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均(pngjn)是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .共四十一页推论(tul

8、n)X以概率(gil)1取常数，即P(X=E(X)=1DX=0共四十一页4.3 协方差和相关系数共四十一页任意X和Y是两个随机变量，若E X-E(X)Y-E(Y) 定义存在，则称其为X和Y的协方差，记为Cov(X,Y)。 Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY) -E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)协方差共四十一页 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)简单(jindn)性质 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数(chngsh) 协方差的大小在

9、一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)共四十一页为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差） 设D(X)0, D(Y)0,称定义相关系数共四十一页相关系数的性质(xngzh)：存在常数a,b(b0），使PY=a+bX=1，即X和Y以概率1有线性相关.3. 若X和Y独立，则X和Y不相关，即 =0，但其逆不真.共四十一页若X与Y独立(dl)， Cov(X,Y)= 0 .Cov(X,Y)=0E(XY)= E(X)E(Y)D(X+Y)= D(X)+D(Y)协方差为零的充要条件和充分条件(chn fn tio jin)?共四

10、十一页共四十一页 随机变量不相关只说明两个随机变量之间没有线性关系，但还可能有某种别的函数关系； 随机变量相互独立说明两个随机变量之间没有任何关系，既无线性关系，也无非线性关系。 所以(suy)相互独立必然不相关，反之不一定成立。相关系数 是刻划了X和Y间线性关系程度的数字特征，越大， X和Y间线性关系越明显。当 时， Y有随着X增加而增大的趋势；当 时， Y有随着X增加而减小的趋势；共四十一页例1.（X,Y）服从(fcng)二维正态分布，其概率密度为 对正态分布而言，X、Y相互独立(dl)与互不相关是等价的。共四十一页例2.设随机变量(su j bin lin)(X,Y)N(1,1,9,16,-0.5)(1)求Z的分布.(2)判断X与Z是否(sh fu)不相关.(3)判断X与Z是否独立.令共四十一页内容摘要第四章 随机变量的数字特征。设X是离散型随机变量，它的分布律是:。设已知随机变量X的分布，如何计算g(X)的期望呢。当X为离散型时,P(X= xk)=pk。当X为连续型时,X的密度函数(hnsh)为f(x).。例1：设（X,Y）联合概率分布为：。差值X-E(X)都起正面的作