经典讲义：等比数列及其前n项和

1、实用标准文档(经典)讲义：等比数列及其前 n项和.等比数列的定义如果一个数列从第2_项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比X常用字母q表示.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为ai,公比为q,则它的通项an=a1 qn1.等比中项若G2= a b(abw0),那么G叫做a与b的等比中项.等比数列的常用性质 通项公式的推广：an = amqn-m, (n, mC N+).(2)若an为等比数歹!J,且 k+l =m+ n( k, l , m n C N+),则 ak a = am an.若an , bn(项数相同)是等比数列，则入an

2、(入w 0), v，an, an , bn,仍是等比数列. 公比不为一1的等比数列an的前n项和为S,则S, 5 S, Sn Sn仍成等 比数列，其公比为比.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(qw0),其前n项和为当 q= 1 时，&= na1；当 qw1 时，1 j1 qa anq1 q【注意】.利川错位相减法推导一等比数列的前_n项和二一2n 1& = a1 + aq + aq + + a1q ,同乘_q得：qS= a1q+ a1q2+a1q3+ + aqn,_na1 1 qW式机减1立一 (1 一二q) 5.三包1 二.a1q. ,.：.?=a(q一专 D.q.7.1由一 a

3、n 士工三qanjq芒。并丕能立即断言/an 一为等比数列，-还要验证一 a三Q7,2 一在运川等比数列的前一 n项和公式时，必须注意对一q三工与一q三1一分类讨论，文案大全实用标准文档防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.8.等比数列的判断方法有：、.an+i-an-*定义法：若二=q(q为非零常数)或= q(q为非零常数且n2且nCN), anani则an是等比数列.(2)中项公式法：在数列 an中，anW0且a2+i = an an+2(ne N*),则数列an是等 比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an = c qn(c, q均是不为0的常数，n N),贝代a是等比数

4、列.一、知识梳理.等比数列前n项和公式 ai(1 -qn)ai .qSn = i -q i -q nai(q =1)(q =1)说明：对于等比数列的前 n项和公式：从方程观点看：由等比数列的前n项和公式及通项公式可知，若已 知ai,q,n,an,Sn中的三个即可建立方程组求其余两个 ，即“知三求二”. 在运用等比数列的前 n项和公式时，一定要注意讨论公比 q是否为1. 2.与前n项和有关的等比数列的性质 (1)若等比数列an中，公比为q 1,依次k项和Sk,S2k Sk,S3k S2k,|l|成公比为qk的等比数列.S偶(2)若等比数列 的公比为q,且项数为2n(nW N)则=q .S奇探索导

5、引：求和S = 1 2 4 HI263探索导引：等比数列2中，已 知，S2=20,S4=60,求S6 ,并考虑等式一 一 一一 一 28(S6 9) =(& -S2)是否成立？说明：利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时，要注 意是&,S2k -&,S3k -S2k,|l|成等比数列，而不是Sm,S2m,S3m,成等比 数列.方法(一)等差数列前n项和公式的应用文案大全实用标准文档理解例题1:在等比数列中,(1)已知 ai =3,q=2,求 %与；11.(2)已知 a=-2.7,q = ，an = ，求 n ；390(3)已知 & =一1a4 =64，求 q和 S4 ；(4)已知

6、 a3 =3 ,8 =9求 4,q ； 22分析：在等比数列中有五个重要量a1,an,q,n,Sn,只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中国和q两个最重要的量，通常知识体验：已知等比数列的 五个量a1,an,q,n,Sn中的任 意三个求其他两个时，要用 等比数列的通项公式以其 及前n项和公式.要先求出a1和q.解:(2)(4)，55a6 = aiq =3 2 =96.-S a1(1 一/)3(1 -26)s S3 Io9 .-q 1 -2n 111 nJ.1 an a1q,1=-2.7 m ()= n =690333a4 二网,.64 - -q , . q =-4a1 -a4q-1 -64

7、 (-4)S4 =二二5 1-q 1 _(乂)3a3 =a1q =一 (1)229 一S3 =a(1 +q +q ) =-(2) 2(2) + ( 1)得=3q21j.2q q 1 =0= q =1或 q =一2. 一 31当 q =1 时，a= 一，当 q = -一时，a1 = 6(二)与等差数列前 n项和有关的性质的应用理解例题2：等比数列 an中Sm =12 , 82m =36,求S3m.分析：在有关等比数列的问题中，均可化成有关a1、q的关系 列方程求解.本题中注意下标的关系，可考虑用等差数列前 n项 和的有关性质来简化运算.知识体验：在学习了等比 数列前n项和的有关性质 后，我们用其

8、来求解有关 等差数列的前n项和问题.解法Sm由 Sm=12, S2m =36,可知 q#1 (若 q=1, S2m =2Sm)m、= a1(1-q)=12S2m1 q 9解得 1+qm=32ma41 -q ) Qa=36,1 -qm a.q 2, = T21 -qq(1 -q3m)S3m =-841 -q解法二：Sm,S2m -Sm,S3m S2m成等比数列2 Sm(S3m -S2m) = (S2m - Sm )_2 .S3m -36 =24 - 12 =48方法提炼：求解该类问题一 般有两种方法：可化成有关a1、q的关系 列方程组求解.可利用等比数列中连续 等段和成等比的性质即性 质(1)求

9、解.文案大全实用标准文档83m =84二、例题(一) 题型分类全析本题有关等 比数列前n 项和的基本 运算的考查. 转化为关于 ai,q的方程 组求解.1.等比数列前n项和公式的基本运算例 1 ：在等比数列的an中：a3 -ai =8,% -a4 =216,8n =40,求公比 q, ai 及n.思路直现：由已知两个条件，可建立关于ai,q的方程组，分别解出ai,q的值, 代入8n即可求出n .解：由已知可得Ia3 -ai =ai(q2 -1) =8, lai =1, TOC o 1-5 h z 32a6 -包=a1q (q 1)=216, q =3, nnai(1 -q )1 -3, 8n

10、= - = =40= n =41 -q1 -3本题考查了 等比数列前 n项和公式 的运用和分 类讨论的思 想.因不知q的 值，故对q进 行讨论.总结：在求数列的基本量问题时，把条件转化成基本量解方程是解决数列问 题的基本方法.例2已知数列an是等比数列，其前n项和&,若83+86 = 28g，求该数列的公比q.思路直现：由已知两个条件，可建立关于ai,q的方程组，分别解出ai,q的值, 代入S即可求出n .解：右 q =1，贝U 8n = na1, 8 +8 =3ai +6ai =9ai, 28 =18ai,此时 8 +8 #289.q :1 TOC o 1-5 h z ，,3、，/6、，,9

11、、国(1 -q ).司(1丁 ) =2 .g1Hzl2= 2-q3 .q6 =2(1-q9)1 -q1 -q1-q963. 2q -q -q =0,即 2q6 -q3 -1 =0,即(q3 -1)(2q3 1) =0331 -3 4故 2q 1=0= q - - _q =-.22笔记：在使用等比数列的前 n项和公式时，一定要注意公式的条件.若题目中 不明确，应对q进行讨论.本题考查了 等比数列连 续等段和成 等比的性质. 利用等比数 列分段和成 等比.考虑是否两 解都满足条 件.建议：已知 8n, 83n 求 82n 时，尽量列方 程求解，若用2.利用等差数列的性质求和例3:等比数列an中，8

12、2 =7,86 =91 ,求84?思路直现：注意到，下标的关系，可考虑利用等比数列的性质解决.解：t an是等比数列，782,84 -82,86 84 成等比82(86 -84) =(84 -8)2二7(91 -8) =($ 7)2,故 842 784 588 =0故 84 =28 或 84 = 21注意至U 84 二亘上电二3:包=ai +a2+q2(ai+a2)=1 +q2 0 , 82ai a2ai a2二 84,82 同号，84 =28笔记：遇到类似下标成倍数关系的前n项和问题，一般可考虑用等比数列中依次k项和8k,82k-8k, 83k-3卜,W成等比数列来解决，可简化方t算量.在已

13、知文案大全实用标准文档Sn,S3n ,利用这一性质求S2n时，要考虑是否会出现增根的问题.例4已知一个项数为偶数，首项为1的等比数列，其奇数项的和为 85,偶数 项的和为170，求这个数列的公比及项数.思路：本题涉及到项数为偶数的等比数列，且奇数项和与偶数项和都已知由此利用等比数列的性质即可求出公比，进而求其通项.解：:该数列是一项数为偶数的等比数列S禺170 一.，q =2 ,又；6 =星 +S偶=85 +170=255Sgf85n_n ay-q) 1 (1 -2 ) n Sn =二二2 -1 = 255-q 1 -2故n =8阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低 .

14、性质应考虑 是否会出现 增根.本题考查了 等比数列的 性质.3.某些特殊数列的求和例5: (1)已知数列an的通项公式an =2n +n ,求该数列的前n项和Sn ； (2) 已知数列an的通项公式an =2n +3n，求该数列的前n项和Sn.解:：Sn =a1 , a2 . a3 ，an=(21)(222)(233)川 (2n n)二(22223H|2n)(12 3 H|n)2(1 -2n) (1 n)n一 1 -22= 2n1 .2 2：Sn =a1 a2 a3 an=(23)(22 32) (2333) l| (2n3n)二(22223川-2n)(3 32 33 -W- 3n)2(1 -

15、2n)3(1 -3n)一 1-21 -3=2n1 -2 |(3n -1)_9n1 ,3n17-2-22笔记：分组求和法适用于某些特殊数列的求和，这些特殊数列的通项是可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.例6:已知数列%的通项公式an =n夕，求该数列的前n项和a ;思路：写出数列的前n项和注意其与等比数列形式类似，考虑用推导等比数列求和的方法来求其前n项和.解：=2 2 22 3 23 -，hl n 2n2Sn =22 +2 23 +川 +(n -1) 2n +n 2n+-Sn =2 22 23 l 2n -n 2n 1Sn =n 2n 1 -(2 22 23 ,川 2n)这个性质是 在项数

16、为偶 数这一前提 下成立的.建议：巧用特 例，熟记等差 等比数列奇 偶项的一些 性质.考查数列的 分组求和问 题.等差等比数 列各自分组 求和.不同公比的 等比数列按 公比各自分 组求和 建议：熟记几 种常见的数 列求和类型 及其对应方 法.考查数列的 错位相减法 求和的问题。文案大全建议：错位相 减法是高考 的一个常考 点，平时训练 给予重视.本小题考查 等比数列的 概念、等比数 列的通项公 式及前n项 和公式、不等 式的证明利用递推关 系式证明数 列成等比.利用分组求 和法求和(m)证明：对任意的nwN*,Sn 14- -1 +(n +1)(n +2)32_4 4n 1 , n(n 1)3

17、212=-(3n +n -4) 0.所以不等式Sn+2利用作差比 较法证明不 等式.建议：学会解 题的技巧，有 时候题目的 提示往往在 问题当中. 本小题主要 考查等差数 列、等比数列 等基础知识， 考查基本运 算能力实用标准文档 TOC o 1-5 h z 2n 12(1-2n)一 1-2n 1n1n12-(2-2) =(n 1) 22笔记：错位相减法适用与求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列 的前n项和.(二)重点突破例 7: (2007 天津)在数列an中，a1 =2 , 3n卡=4an -3n+1 , nW N .(I )证明数列an-n 是等比数列；(n)求数列%的前n项和&

18、；(出)证明不等式 Sn,1 4Sn ,对任意nwN*皆成立.思路直现：(1)由递推关系式构造出数列 an-n,并证明其是等比数列.利用分组求和法求出an的前n项和.考虑用作差法证明.(I )证明：由题设an4=4an3n+1 ,得af-(n+1) =4(an-n), nN”.所以数列an-n是首项为1=1,且公比为4的等比数歹U.(n )解：由(I)可知 an -n =4nA, an =4n，+n .Sn =(1 1) (4 2)川(4n，n)二(1 4 42 川 4n 1)(1 2 3 |ll n)4n -1 n(n 1)(I )令Cn =an +bn ,求数列Cn的通项公式；(II )求

19、数列an的通项公式及前 n项和公式Sn.两式相加构 造 an , bn思路：(1)由于要构造Cn,故把已知两式相加，即可得出规律.(2) 由(I)提示，可考虑两式相减.(I )解：由题设可得an +bn =(an工 +bn)+2(n 2),即 Cn =cn+2 ( n 2)易知Cn是首项为a1 +n =3 ,公差为2的等差数列 , Cn =2n +1 .文案大全实用标准文档(II )解：由题设得an-bn=1( 1-bn1)(n 2),令dn=an- bn,则2 一 一两式相减构 造 an - bn,1 . dn =dn 1(n 2).2 .易知dn是首项为4-b1=1 ,公比为1的等比数列2

20、ddn - n 12 一anbn由S han -bn=2n 1,1 解得一 2口工1213155=(2+”4+5)+ 川2n 1列方程组求an11二(2 41135川 2)(2 I III2n)2n 12)分组求和求Sn建议：在学习 中重视整体 思想的训练.二 一 n 122阅题：这是一道创新题，题目较为新颖，遇见题目不要慌乱，其实（1）问已经 提示解答本题的方法，应整体考虑.四、习题一、选择题1.（2008福建）设an是公比为正数的等比数列，若a1=1,a5=16,则数列an前7项的和A.63B.64C.127D.1282.（2008浙江）已知% 是等比数列,3.4.A. 16(1 -4J)

21、嗜(1 -4。(2008海南)设等比数列A. 2B. 4B.D.1 e, a2 =2, a5 =- ,则416(1 -2)32 q丁-2 ) 3aa232a3 川anan .1=（2007陕西）则S4n等于A.80(2006 辽宁)则Sn等于n 1A. 2-2an的公比q=2,前n项和为各项均为正数的等比数列B.30C. 26在等比数列Q 中，a1B.3nC.C.竺D.2Qn 的前n项和为Sn则包=a2172,若 Sn=2,S3n -14D.16=2,前n项和为Sn,若数列an+1也是等比数列，2nD.n )3 -1 1116.数列 1一,2 - ,3 -2481 .,4,，川的刖n项和为（1

22、6人 12111A. (n n 2)B. -n(n 1)1 -n2222入 12111C.-(n -n 2)-宁 D.-n(n 1) 2(1-5文案大全实用标准文档7323431n.一2宕23亍,川,即:A.，22n -1 2n 二、填空题n 1C. 21 一彳D.-22.等比数列为共2n项，其和为-.240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q =. (2007全国I )等比数列七口的前n项和为S ,已知S, 25, 30成等差数列，贝U 4 的公比为.S 31.若等比数列an的前n项和为Sn满足必=3-,则此数列的公比q为S532三、解答题.(2007全国H)设等比数列an的公比q23

23、bn 1 =2an 8b,(D令g =4 +4，求 g的通项公式；(2)求数列an, bn的通项公式；(3)求数列an的前n项和Sn文案大全实用标准文档习题答案1 _27C.分析：由0=1,a5 =16及4是公比为正数得公比q=2,所以&=2=1271 -2C.分析：；an为等比数列，, a5 =a2q3 ,=2，q3= q TOC o 1-5 h z 42设bn =anan + , J.bn是首项为8,公比为1的等比数列.41 n81-(-) 32aia2 +a2a3 +|H+anan + = bi +b2 +IH +bn =4=(1一4工)， HYPERLINK l bookmark30

24、o Current Document 134a1(1 -q4)-： . 一 4c分析：且=1-1 =上-=竺a2a1q-22B 分析：4为等比数列，二 SnSn Snn S2n,S4n Sn 成等比-S2n) =($n -&)2 即 2(14-5) =n -2)=S2n =6 或 S2n =乂7 an各项均为正数，故 S2nSn,故S2n =6, 2,4,8, S4n -S3n 成等比，所以 S的 -S3n =16，: S4n =30D 分析：解：依题意，f(n)为首项为2,公比为23 =8的前n+4项和，根据等比数列的 求和公式可得DC分析：因数列峪为等比，则an=2qn，因数列值+仆也是等

25、比数列，则 (an + )2 =(an +1)(，虫+1)= an；+2an邛=anan也+an +an书=an +an电=2an42=an(1 +q -2q) =0= q =1 ,即4=2 ,所以& =2n ,故选择答案 Q1111.1.11 1.1A 分析：& =1一+2十3十4 十Hl+(n+下)=(1十2十3十|十n)十(_十一十一十III十下) 2481622 4 821(1 -) n(n 1) 2 1 2n121= 2(n n 2)下8.B分析：设S=1+马+与+川+二,则1s2两式相减得1s,42 川 4 -113(1一”)12n产一原式=S- 2=-八，一一S奇,S偶9. -2

26、分析：由题意可知S奇- S禺= -240 = 80,Sw =-80,S禺=-160,因为等比数列共2n项，文案大全实用标准文档q =-2S奇10. 3分析：假设塔每层有an盏，塔尖有4盏，由题意知道数列2为公比为2的等比数列,Sz J2)=127ai =381 , a1 =31 -21.-分析：4S2 =S1 +3S3,即 4(a1 +a2) =a1 +3(a1 +a2 +a3)= a2 =3a3. 3解得an的公比q=曳=La2315 ,.分析二数列an为等比数列，故S5,S0-S5,S15-S10成公比为q5的等比数列,2故有So -S5 31S532d 11-1 二 ， q =-322.

27、分析：=&, a2=& S,二q确定，二等比数列 唯一确定.由 S3 =a1十a2 +a3 = +a2 +a2q，得 q 十1 +1 S3 =0 即 q2 +(1 -3)q +1 =0qqa2a2不能唯一确定q,从而该数列不能唯一确定qn=，n为奇数时，n -1为偶数，q不唯一，而该数列不能唯一确定. a1a1 =1标唯一确定，等比数列an唯一确定 q故满足题意.分析：由条件列出关于a1,q的方程组求解a1,q进而得出结论.解：由题设知 4#031,sn=a1(1qn),-q TOC o 1-5 h z 2aq = 2,则)a1(1 q4) _5qa1(1 q2)-q1 -q由得 1 -q4 =5(1 -q2) , (q2 -4)(q2 -1) =0 , (q-2)(q 2)(q -1)(q 1)=0,因为q 1,解得q = 一1或q = 一2 .当q=_1时，代入得a1=2,通项公式 =2黑(1)；当q=时，代入得a1 =-,通项公式an=M(2)2点拨：等比数列求基本