行星运动的能量分析

1、行星运动的能量分析本文以行星绕太阳为例，求解轨道能量，验证位力定理，并给出开普勒积分的计算方法。我们知道：各大行星都是绕太阳做椭圆运动的。对任一行星（例如地球而言），它所受到的力主要是太阳对它的引力作用。在有心力的作用下，质点始终在一固定平面内运动。设行星质量为 m,公转周期为?在计算时认为太阳是固定不动的。行星绕太阳运动，只受到太阳对其的万有引力，故满足机械能守恒。以无穷远点处作为势能零点，设行星与太阳构成的系统机 械能为E,行星动能为T,行星与太阳间的引力势能为 V,则有E=T+V。将各个物理量具体化，则有 ?= 1?, ?=- 要式中，v表示行星的运动速度，？是一个与行星无关而只和太阳有

2、关的量,叫做太阳的高斯常数，为行星和太阳之间的距离。图一行星绕太阳运动示意图设日心（如图一所示）位于椭圆的右焦点上，行星运动的轨迹方程为? + ?=1(?)这是一个椭圆的标准方程，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。对于平面光滑曲线， 可以求 出其上任意可导点处的曲率半径“ 13(2)(1 + ? )2?= I? I利用该公式，可以求出椭圆上任意可导点（?, ?）处的曲率半径?=3(?/?+ ?)2?|?|3Q?由于该曲线在点（a,0）处不可导，于是计算在（0,b）处的曲率半径，该点的曲率半径为?,由于两点具有定的等效性，所以可以类比得到点（a,0）处的曲率半径为?=?=小?(4)当行星运

3、行至近日点时，到日心的距离为 （a-c）（c为椭圆的半焦距，满足 ？=?+ ?）o根据牛顿第二定律，有动能的表达式为势能为得到机械能的表达式?(? ?2 ?= ?(?+ ?) 2?(? ?)?=?- ?= ?+ ?=- 2?(6)(8)可以发现，行星运动的轨道能量只与其质量和轨迹的半长轴有关。我们可以类比到双曲线轨道和抛物线轨道，同样可以求出其轨道能量。对于双曲线轨道，其轨道能量为 ?而抛物线轨道能量为0。在理论力学课上，对于不同的轨道，课本上只给出了定性的表述。在本文中，对轨道能量 进行了量化。接下来从轨道能量出发来验证位力定理。位力定理的表达式为?=- 2?=1本文中以“ ”来表示一个物理

4、量的平均值。根据？= ?+ ?可得?= +=?2?= ?-= ?+? ?1/ -d? 0 ?(10)于是问题转化为求解积分不；?d?令？?= /；?d?以日心为极点，x轴正向为极轴，可以写出椭圆的极坐标方程?=1 + ?式中，p表示椭圆的焦准距，e（0e?I I I I I令？?= ?d?= ?铮?看?d?用欧拉公式可以得到2?d?d?=o 1 + ?/cos ? ?!?=i ? + 彳? i(14)1令函数？?？= ?=,求函数？?？的奇点及其留数，令其分母为零，得 ? 11 11 -?=-?+ 鬲1 -?，?？ = - ? ?1 - ?这就是函数？?的两个单极点。单极点 ？?的模1?1 =

5、1 - V1- ?1 - V(1 + ?)(1 - ?)=?所以？?在单位圆外。计算在极点 ？?处的留数Res? =)？?) ?=-= 2V1- ?所以积分值?= ?-? 2?2? ? 2- ?(15)根据开普勒第二定律,2?= ?= ?上式中A表示矢径扫过的面积（如图 2所示），所以有2?(16)2?3将？=?,?= ?,?图2开普勒第二定律口入(15)式中，可以得到?2? ?万，二?动能的平均值为?=?+2? ?F?7? 2?然后计算?汇?r? ?=?=1?=? ?1?2?/ - d?=？2? 0 ?2?2?(17)(18)(19)于是验证了?从以上的推导中,我们还可以得出在附录中展示如何

6、用牛顿2?=? ?=1?=? 2? ? ?= -2d?2 0 0 1 + ? Vi-莱布尼兹公式求解(21)式。=,0 ? 1 ?(21)式所示积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以导出开普勒积分12?d?1? = / q12 兀 0 (1 + ?f?f?1V(1- ?)3,0 ? ?)得12?d?1/ .=二2 兀 0 ?+ ? V ? ?(23)式两边对a求导，得12?(-1)d?2, (?+ ?1，(?- ?)312?d?1一 = =2 兀 (1 + ?登？阚，(1- ?)3另外，本文对课本中圆锥曲线的极坐标方程做了一个修正。课本中，圆锥曲线的极坐标方程为?= 一 1 + ?与本文中的

7、圆锥曲线方程相差一个常数因子e。实际上，我们通常以p表示圆锥曲线的焦准距， 而课本中的p表示的是圆锥曲线正焦弦长度的一半。对抛物线而言二者相等，但对椭圆和双曲线并不成 立。所以，作此修正，更符合人们的习惯，也使得方程中参数的意义更加明确。本文中运用了比较多的数学推导，对课本中定性的描述进行了定量的推导，并给出了具体的结论公式。最后，谈一谈我对理论力学课的感受。从力学到理论力学，主要是在数学层面上进行了提高，但大多数数学的应用也都还是在 高等数学和线性代数的范畴内，求解的方程 也是常系数的线性方程。 内容虽多，却也不算很困难。 真正体现理论力学精髓的，还是在分析力 学这一章节。虚功原理，达朗贝尔原理，拉格朗日方程等在理论分析和工程计算中都有很多的应用。对于分析系统，构建力学模型，具有指导意义。附录利用牛顿-莱布尼兹公式求解式(21)中的积分12?d?1=,0 ?r)r)tvy)?1 ?+ ?2?2?+ ?(? ?1 + ?+ ?(1- ?)d?d?1 + ? 1 - ? 1 + ? O2 广刁?+ ?Vl- ?d 1 - ?欠尹)+?当?0 一 2?; ?(0 一 +8)&(- 8 - 0)所以原积分式转化为广