等边对等角证法探究

1、等边对等角证法探究“等边对等角”的证明方法共有六种，即欧几里得的方法、帕普斯的方法、勒让德的方 法、莱斯利的方法、作高法和实验操作法,而关于等腰三角形判定定理一一“等角对等边”的 证明方法共有七种，即欧几里得的反证法、想象有两个三角形、大边对大角、作顶角角平分 线、作底边的高、做底角的角平分线和实验操作法.早期教科书中的等腰三角形知识，为今日 教学提供了丰富素材。在平面几何中，三角形的“等边对等角” “等角对等边”是对三角形边角关系的定性刻 画，是三角学中边角定量关系的基础.在西方数学史上，几何原本卷一命题5 （等腰三角 形底角相等）是一个著名的几何定理，被称为“驴桥定理”，既因为欧几里得在证

2、明该定理 时所用的图形像一座简单的桁架桥，也因为它阻挡了许多中世纪的学习者进一步学习几何 原本后续命题的脚步。关于等腰三角形的性质和判定，我国现行五种初中数学教材（人教版、北师大版、沪教 版、浙教版及苏教版）的内容安排大同小异.在引入上，五种教材均设计了折纸活动;在“等 边对等角”的证明上，人教版和北师大版教材通过作底边的中线，利用SSS定理加以论证， 而沪教版和浙教版教材通过作顶角的平分线，利用SAS进行说理，而苏教版教材除折纸验证 外，并未给出具体的说理过程.关于“三线合一”性质，浙教版教材设计了以“几何画板”为 工具的探究活动，而另四种教材均通过“等边对等角”加以说理.关于“等角对等边“

3、，北师 大版教材仅仅作辅助线的提示而未给出完整的证明，其余四版教材均通过作顶角平分线，运 用AAS定理进行说理,已有的教学设计大多从教材出发，通过剪纸、折叠引入新课。一、”等边对等角”的证明考察发现，在103种教科书中，有2种只提示学生作辅助线，通过三角形全等进行证明， 但未给出完整的证明过程；101种教科书给出了完整的证明，证明方法大致可分为6类：欧儿 里得的方法、帕普斯的方法、勒让德的方法、莱斯利的方法、作高法、实验操作法。1、欧几里得的方法欧几里得的伟大贡献在于公理化体系的建立，其几何原本从给定的少数公理、公设 及定义出发，用逻辑推论方法推导了四百多个命题2.“等边对等角”作为几何原本第

4、 一卷命题5,其证明过程严格遵循公理化体系，只用到了命题5之前的公设、公理及命题.有 10种教科书沿用了欧几里得的证明.在等腰4ABC中，CA=CB.在两腰CA和CB的延长线上取两 点D, E,使得AD=BE,并连接AE和BD,那么CD=CE,由SAS定理，可证ACAE会ZXCBD,故有N CAE二NCBD;再由SAS定理，可证BAE0ZABD,故有NEAB=NDBA.根据“等量减等量，差相 等”，得NCAB=NCBA。2、帕普斯的方法11种教科书采用了古希腊数学家帕普斯（Pappus,公元3世纪末）的方法：将等腰三角 形ACAB和ACBA看作两个三角形，然后用SAS证明ACAB/4CBA.也

5、许有人会认为，把一个 三角形看作两个三角形，对学生来说较为抽象，于是把另一个三角形“外化”出来了.等 腰ABC, CA=CB,想象AABC被拿起、翻转后放下，记作AA，B，Cf （A，, B , C分别对 应 A, B, C）.那么，AC=A，Cf =BOB Cf ,那么在AABC 和AA，C 中，AC=BZ C , BC=AZC，且NONC7 .根据 SAS 定理有AABC&B A C，那么NA=NB，又因为NB=NB， 等量代换得NA二NB。3、勒让德的方法法国数学家勒让德(A. M. Legendre, 17521833)通过作底边中线的方法来构造全等 三角形，从而得到“等边对等角”.有

6、4种教科书采用他的方法，在等腰AABC中，CA=CB.过 点C作底边AB的中线CD.由SSS定理可证CAD0ZXCBD,那么NA=NB。4、莱斯利的方法苏格兰数学家莱斯利(J. Leslie, 1766-1832)的方法有69种教科书采用.在等腰4 ABC中，CA=CB.过顶点C作NBCA的角平分线，交AB于点D,根据定理SAS可证ACD02XBCD, 故得NA=NB。5、作高法4种教科书采用作高法.给定CA和CB为等腰4ABC中相等的两边，作CDAB交AB于点 D,如图 5.在 RtZXCAD 和 RtZSCBD 中，CA=CB, CD=CD,根据 HL 定理，可证ACAD也CBD,所 以

7、NA = NB。6、实验操作法有5种教科书采用了实验操作(折叠).通过尺规作图构造一个等腰4CAB,小心地将三 角形从纸上剪下.沿底边AB的中线将三角形折叠，并比拟NCAB和NCBA的大小。接着再构造 不同尺寸的等腰三角形，同样比拟两个底角的大小.我们观察到，等腰三角形的底角是相等的。二、结论与启示“等边对等角”在两千多年的历史长河中，涌现了许多优秀的证明方法.这些证明方法相 继出现于本文所考察的103种早期几何教科书中.遗憾的是，我们在今天的教科书中却几乎看 不见它们的踪影.美英早期几何教科书中的证法各有特色，关于“等边对等角”的证明，“莱 斯利的方法”在各教科书中占绝对优势.而关于“等角对

8、等边”的证明，“欧几里得的反证法” 在相当长的时期内都是主流方法，但到了 19世纪80年代以后，“作底边上的高”后来居上， 而欧氏方法逐渐退出了历史舞台.“等边对等角”教学提供了一定的启示。1、营造探究之乐.本节内容可采用探究式学习的模式，设计不同大小等腰三角形的折纸 活动，引导学生归纳出等腰三角形的性质.通过体验性极强的折纸活动，学生能提高学习兴趣, 让数学课堂活起来.接下来，教师那么可以利用几何画板等现代工具对学生的猜测加以检验.在 定理的证明上，先由学生自主探究其证明方法，再由教师进行讲授，使学生充分参与到课堂 中来。2、彰显方法之美.无论是“等边对等角”还是“等角对等边“，早期教科书都

9、呈现了丰 富的证明方法,这些来自不同时空的灵活、多样的方法，能够拓宽学生的视野.教科书上呈现 的一两种推导方法是远远不够的，教师应该对历史上的多种证明方法进行介绍.而且，数学知 识毕业后不用就很快遗忘了，但排除法、反证法等思想对学生来说却是受益终身的.因此，教 学不能仅局限于证明过程本身，更重要的是让学生掌握证明背后蕴含的思想方法.3、实现能力之助.“等边对等角”与“等角对等边”互为逆命题，要判断这两个命题的 真假必须分别对其进行严格的证明，这对于培养学生的逻辑推理能力有着极大的帮助.同时, 课堂上安排折纸的实验操作，也有利于学生直观想象素养的开展。4、达成德育之效.一方面，教学过程中可以讲述“驴桥”的故事，告诉同学们中世纪时 期人们学习几何也同样会遇到挫折，让学生们得到抚慰，使数学变得不那么可怕.另一方面, 通过