巫合贤博弈论

1、 Prof. Ho-Mou Wu巫和懋10/25/2003讯息与策略经济学第1章完全讯息静态赛局 TOC o 1-5 h z 1.1经济理论、讯息与策略分析1-11.2完全讯息静态赛局的表示与求解1-31.2.1常见的几个赛局型态1-3静态赛局的策略式表示法 1 -41.2.3优势策略均衡1-51.2.4纳什均衡1-61.3混合策略均衡与均衡存在性1-61.3.1混合策略的涵义1-6一般的存在性定理1-91.4赛局分析在寡占市场之应用1-91.4.1数量竞争1-91.4.2价格竞争1-131.5实例与应用：大减价模型1-151.6实例与应用：产能与寡占竞争1 -161.7 小结1 -18练习题

2、1 -19参考文献1 -201.1经济理论、讯息与策略分析经济理论就是具体而微的经济模型(Model)对模型本身的要求：内部一致性(Internal Consistency)假设之必要性(Parsimony of Assumption)模型与现实(Reality)之间的关连：我们要 了解模型到底说明了什么？有什么用处？ (Usefulness)在学习经济理论过程中，要了解模型是怎么做出来的，也不要忘了对经济理论这两 点要求。希望培养自己读期刊文献的能力，知道各种理论的优劣(养成判断的能力)，进而发 挥来作自己的模型。这种训练对一个经济学家的养成非常重要，也就是所有经 济领域的基础课程。经济社会

3、内涵众多的消费与生产单位，彼此之间又有紧密的关连。相应于此，经济 理论也有两大分析原则:极大化原则(Optimality):参与者追求效用或利润之极大，由此导出最适策略。均衡原则(Equilibrium):经由互动，参与者之间达到某种均衡状态。又依经济环 境的不同，而有两类均衡观念。完全竞争市场结构下采用瓦拉斯均衡(Walrasian Equilibrium)或称一般均衡(General Equilibrium) o而在寡占或不完全竞争结构下 采用赛局的均衡观念，考虑的多属不合作赛局(Noncooperative games)。赛局依讯息型态来分类讯息结构可分为完全讯息与不完全讯息二种：赛局依

4、其讯息结构与出招互动之过程可以区分为下列四种，均衡观念有：. Nash Equilibrium (NE) : Nash (1951). Subgame Perfect Nash Equilibrium (SPNE) : Selten(1965). Bayesian Nash Equilibrium (BNE) : Harsanyi(1967,68). Perfect Bayesian Nash Equilibrium (PBNE), Sequential Equilibrium (SE)： Selten (1975)、Kreps-Wilson (1982)、Fudenberg-Tirole (

5、1991)完全讯息不完全讯息静态纳什均衡(NE)贝氏纳什均衡(BNE)动态子赛局完美纳什均衡(SPNE)完美贝氏纳什均衡(PBNE)或序列均衡(SE)1.2完全讯息静态赛局(Static games with Complete Information)的表示与求解1.2.1常见的几个赛局型态:Duopoly 双占1 Max n(X , X ) n X受X影警要考虑2的行舄n X亦然，1舆2互勤X1一理性(Rational) n 策略性思考(Think strategically) n 均衡囚犯困境(Prisoners Dilemm同 时出招2不认罪认罪高价 低价一般情况不认罪-1, -1 -8

6、 , 0高价认罪 0 , -8 -5 , -5低价10,102,15c , ca , d15,25,5d , ab , baVb VcVd上面的囚犯困境也适用在某些双占情况两性战争(Battle of Sexes)交通秩序男2飚车族(Games of Chicken)2协调赛局(Coordination Game)2猜拳(5)钱币配对(Matching Pennies)2剪刀0, 0-1, 11, -11 石头1, -10, 0-1, 1布-1, 11, -10, 02剪刀 石头 布(6).沙滩卖冰：在充满泳客的海滩上(以0,1)表示)，有两家冰店进驻，你若是冰店经理，应选在 何处设店？01/

7、41/23/411.2.2静态赛局的策略式表示法以上同时出招的赛局，称为静态赛局。这些赛局也同时具有完全讯息(CompleteInformation),因为参赛者都知道自己与对手的策略及相应报酬。参赛者同时出招， 又知道所有参赛者的策略和报酬的赛局就是完全讯息静态赛局(Static Games with Complete Information)，可用正例程(Normal Form)或策略式(Strategic Form)表示方 法。赛局r =(N, (S), (U)的策略式包含三要素： 参赛者(players)： , e N= 1, 2, 3, (2) 策略(strategies)： s .

8、 e =set of feasible (pure) strategies for player i, i e N 策略组合(strategy profile) s = ( s ,s ) = (s ., s .), s = X S.对手的策略。 dr /1n x f -i -iJ 报酬(payoffs)： U = U. (s.,七)：X S.-沉为报酬或效用函数。JeN策略式表示的完全讯息静态赛局有几点特性：, 同时出招，出招一次。(Determine strategies simultaneously),知道赛局结构与游戏规 (Rules of the game)f共同认识(Common k

9、nowledge) o，不管是否沟通过，无法作出有拘束力之承诺(cant make binding commitment) f 不合作赛局(Non-cooperative games)。,以上只考虑纯粹策略(pure strateg后面会考虑混合策略(mixed strategy)先看些两人赛局(Two-Persons game)的例子：下表方格中数值u1代表参赛者1的报酬，u2代表参赛者2的报酬。21.2.3优势策略均衡(Dominant Strategy Equilibrium, DSE)优势策略(dominant strategy)：不管对于策略为何，该参赛者可找到一最佳策略。It is

10、 a best response against any action the opponent might take。认罪是囚犯的优势策略: 不管对于认或不认，任一囚犯承认均可得到较高的报酬。定义：绝对劣势策略(strictly dominated strategy)： S1是一绝对劣势策略若且唯若存在 另一策略s. e S.使得u.(s., s .) Vu.(s.,s .)对所有s e S .均成立。(但s.未必是优势策略) ii i -i i i -i-i -ii重复优势解法(Iterated Dominance)：逐次删去劣势策略(dominant strategy)，但对两性 战争、

11、飚车族与钱币配对等问题就无法解出。考虑以下二个例子：2, 30, 23, 41, 12, -74, 51Y M RUDU4, 35, 16, 21 M2, 18, 43, 6D3, 09, 62, 82L M R只要存在一个si使S z.成为劣势策略，s .即可删去。共同认识(Common knowledge): 1也知道2不会再采1，以此为基础再往下推论。1.2.4 纳什均衡(Nash Equilibrium)定义：纳什均衡指一策略组合有以下特性：当参赛者采此策略组合后，任一参赛者 均无诱因偏离此一均衡 (Nash Equilibrium is a strategy profile such

12、 that no player can improve his/her payoff by unilaterally deviating from his/her assigned rate in the strategy profile )； s* = (s *,s *,.s *) = (s.*,s.*)是一纳什均衡若且唯若对所有参赛者i而言，12 n i -iu.(s.*,s .*)Mu.(s.,s .*)对所有 s.W S.均成立。另一种等值的意义：当s1*是对 就是两人赛局的纳什均衡。i i -i i i -ii is2*的最适反映，s2*也是对s1*的最适反映时，(s,s2*)回头来

13、看两性战争、飚车族、协调赛局均有均衡解(NE)，但对钱币配对就找不到。 以上考虑的是纯粹策略(pure strategies) s z e Sz。在允许混合策略(mixed strategies) 以后，钱币配对及猜拳赛局才有解。混合策略o = (o”.Q ),o. eZ= 0 TOC o 1-5 h z 1n iiii，i ii iIs eS,策略表示法成为r =(n,(z i)ie N,(Ui) ie N)，当参赛者与策略数目均为有限时，称为有限赛局。1.3混合策略均衡(Mixed strategy Equilibrium)与均衡存在性1.3.1混合策略的涵义考虑钱币配对：Z 1=1。(H

14、),。(T) |o (H) +。(T) = 1,。(H) 0,。(T) 0 H正面；T反面。对a的诠释：(1)队参赛者选的信念，(2)频率。定义：。*二 6，。；)=(。*,。、)是一纳什混合策略均衡若且唯若对所有参赛者i而言，6 *是6二的最适反应，U.(6 * , 6)M Ui(6 ；, 6 *.)对所有6 i e Z .均 成立。采混合策略的前提是在均衡时，两种策略的报酬会相等：61 (H)- 61(T)=- 6 1 (H) + 6 1 而且61 (H) + 61 (T)=1 n 61 (H)= 61 (T)=0.5同理，6 2 (H)= 6 2 (T)=0.5允许混合均衡策略后，在飚车

15、族赛局中也可能找到新的均衡(习题)两性战争(Battle of Sexes)1, 20, 00, 02, 1球赛 q音乐会 1-q男球赛音乐会p1p给定(q, 1q)，男子的报酬是2q或(1-q)若2q=(1q) n q=1/3则两策略的报酬相同。若q V 1/3 2qV(1q)，则p* = 0是最适反应。、 对男子来说、若q 1/3则p* = 1是最适反应。，给定(p, 1p)，女子的报酬是p或2(1p)若p=2(1p) f p=2/3则两策略的报酬相同。r、若 pV2/3 pV2( p)，则 q*=0。对女子来说 2/3 p2(1p)，则q*=1，得到q*(p)是最适反应函数。1.1. A

16、 Q1.2 QI M gp*=p*(q) 最适反应函数q*=q*(p) 三均衡(p*, q*) = (0, 0), (2/3, 1/3), (1, 1)f(p)： 0, 1 f 0, 1,可用Kakutani不动点定理来证明具有不动点(fixed point)。上列 图形可穷尽所有可能均衡。其实，因为f： pf qf p,我们是在找一不动点(fixed point): p*=f(p*)。Mappingf 是一对应(correspondence)r一0 = p2/3 f q= 1 f p= 11.3.2 般的存在性定理KakataniS不动点定理： Let X be a compact conv

17、ex subset of 沉 1 andf： X f X be a set-valued function such thatfor all x e X the set f(x) is nonempty and convex, andthe graph of f is closed(i.e., if xnf x, ynef(xn), ynf y then yef(x).), then there exists x* such that x*e f(x*).Theorem 1.1 ( Nash, 1950, 1951):若允许混合策略均衡，每个有限的策略式赛局都 有纳什均衡存在。1.4赛局分析在

18、寡占市场(oligopoly)之应用1.4.1 数量竞争(Quantity Competition)市场需求P = 30-(Q1 + Q2), MC1 = MC2 = 0，两家公司分别选取Q1与Q2 :需求P = a - bQ，则MR = a - 2bQ 独占厂商给定 Q2,选取 Q1 以求取 n1 =(30-(Q1 + Q2)h 最大，n1 = 30Q1 - Q2 - Q1Q2（1） MR= 30-Q2 -2Q= 0 = MC , P =（30-Q2）-Q1 , MR =（30-Q2）-2Q1n Q1 = 15 - |q2 = f 坎）：Q1 对 Q2 的最适反应函数（best respon

19、se function）给定q1，选取q2以求取n2 = G-Q1+q2)q2最大（2） MR2 = 30 - Q1 - 2Q2 = 0,1 ）v2Q1Jn Q* = Q； = 10n q2 =15-:Q = gQ1 ）： Q2 对Q1 的最适反应函数（best response function） 两个最适反应函数的交点就是纳什均衡（Nash Equilibrium）: Q1 = 15 - 2 15 -总需求为P=M Q独占时 MR=M 2Q=MC = 0 n Q* = |m双占时MR1 = M-Q2 -2Q1 = MC = 0 n Q1 =1（M - Q2 ）= f坎）：1的最适反应MR2

20、 = M - Q1 - 2Q2 = MC = 0 n Q2 =- （M - Q1 ）= g0）： 2的最适反应Cournot-Nash 均衡：Q： = Q2 =与，总产量 Q = |m数量竞争的库诺模型(Cournot Model)MMM32Q21.3 Cournot请注 意Cournot竞争并不适用Theorem 1.1，因为它不是有限赛局(为什么？),但好在我们可引用下列定理:Theorem1.2 (Debreu 1952):若策略形式赛局的策略空间S.是欧式空间的非空、紧致 (compact)的凸集合(convex subsets)，而且报酬函数u.是s的连续(continuous)的函

21、数，是 输的近凹(quasi-concave)函数，则此赛局必然存在一个纯粹策略纳什均衡。数量竞争的 Stackelberg Model (Firm 1 as the leader):其实是一动态赛局(Dynamic Game)R =(M - Q1 - Q2b，take Q2 = g(Q1) as given TOC o 1-5 h z =MQ1 - Q2-qJ M - Q1、 22M MMR = M - 2Q + Q =Q = MC = 02121M M 、一 3n Qs = M，Q2 = M，总产量 Q = ；M122441n2 :先动有优势(First Mover Advantage)S

22、tackelberg 模型H 1.4数量竞争的库诺模型(Cournot Model)总需求为P = M - Q独占时双占时8 c 八* 1 （Collusion Equilibrium） MR = M-2Q = MC = 0nQ = MMR1 = M -Q2 - 2Q1 = MC = 0 n Q1 = 2（M -Q2）= f 坎）MR = M - Q - 2Q = MC = 0 n Q = -（M - Q ）= g（Q ） 2MCournot 均衡：Qj = Q；=数量竞争还是价格竞争才是较佳模型？可参看Kreps and Scheinkman(1983).1.4.2 价格竞争(price c

23、ompetition)同质产品下的价格竞争(Price Competition with Homogeneous Products)(又称为Bertrand Model):伯川模型MC = 6, P=30 QCournot模型以数量竞争：MR1 = 30 -Q2 - 2Q1 = 6 Q1 = 12- 1Q2 = f G2)同理，Q2=12-|q1 = g(Q)所以，Q： = Q2 = 8,P = 14Bertrand模型以价格竞争：q Jallif，Pi PjQi= Qjif P. = Pj ,均衡点在 P1 = P2 = 6,Q = 24 Why?异质产品下的价格竞争(Price Compe

24、tition with Differentiated Products)第一家公司 Q1 = 12 - 2P1 + P2，第二家公司Q2= 12 - 2P2 + P1，两家公司分别选取P1与P2 :给定 P2，选取 P1 以求取 n1 =(12 - 2P1+ P2 h - FC 最大 12-4P+P2=0n P1 = 3 +，P2 = f G2): P1 对 P2 的最适反应函数(best response function)给定 P1，选取 P2 以求取 n 21 =(12 - 2P2 + P*2-FC 最大 12 - 4P2 + P1 = 0n P2 = 3 + 4P1 =gP1)： P2

25、 对 P1 的最适反应函数(best response function)两个最适反应函数的交点就是纳什均衡(Nash Equilibrium):1P =3 + - 3 + P141.7. e u v 1.5实例与应用：大减价模型A.策略思考：1988年三大百货公司Sears, KMart与 Wal-Mart竞争激烈，Sears举行多 次大减价，但成效不佳，至1989年Sears宣布采用新的定价策略：每天都低价 (Everyday Low Prices)。换言之，Sears决定维持稳定价格，价格虽然合理，但比以 前大减价的价格要来得高，请问Sears的决策是否明智？它的对手又应采何种策 略？假

26、设二家相似的百货公司，对同一商品的成本均为450元，稳定价格600元，大减价时 500元。另观察到每月无信息的消费者有100人，不看报纸不查价格，选百货公司 也完全随机，所以二家可各分得一半，另外，有信息的120人是会去二家比较价格 或查报纸减价广告，找到最低价格才购买。放入赛局架构可表示如下：Wal Mart稳定价格大减价Sears 稳定价格大减价7500, 75007500, 85008500, 75005500, 5500上图计算背景：Sears与对于均采稳定价格，二者均可赚(600-450) X50 = 7500。任一家大减价而对于未减价可赚(500-450) X (50 +120)

27、= 8500，未减价的一家公司仍可赚(600-450) X50=7500。两家都大减价：各赚(500-450) X (50+60) = 5500。把这二家对垒的四种情况表示出来就是一个赛局：有参赛者，有策略，有报酬。此时， 从此矩阵可否找到最适策略？B. Sears每天都低价策略存在二个纯粹策略纳许均衡，高价低价并存，但那一个均衡会发生？Sears采稳定价，对于采大减价，对于成长，Sears是否会满意？双方都想找最有利的 结果(8500)，若Sears更动策略，可否达成另一均衡？若Sears长久维持稳定价，待全部人(包含无信息的100人)都知道后，这样的价格 差异是否可以维持下去？如果消费者都

28、去Wal-Mart，利润下降到零，像是第二图的 报酬，成囚犯困境。Wal Mart稳定价格q大减价1-qSears 稳定价格p7500, 75007500, 8500大减价1-p8500, 75005500, 5500Wal Mart稳定价格q 大减价1-qSears 稳定价格7500, 75000, 11000大减价11000, 05500, 5500C. Everyday Low Prices vs. Random Sales考虑混合策略均衡，Sears使对于从二种策略所得报酬相等p X 7500+(1p)X7500=p X 8500+(1p)X 5500p=2/3,同理q=2/3,双方利

29、润均为7500。此纳许均衡中，Sears与Wal-Mart都采1/3机会大减价(1年中有4个月时间在减价)： 随机而且出人意表的大减价比每日都低价来得好和稳定，Sears强调每日都 有稳定价格反而放弃了公司可采混合策略(有时减价)的弹性。Sears 1998年的失败可能是大减价太过频繁，未采用一适当的大减价机率。1989至 1990年中采一稳定价格(减价频率又太低)也未增进业绩，于1990年末重回有时 减价的策略pricing cycles.混合策略均衡利于造成差别取价(price discrimination):不查报纸的消费者永远 不知那家当时是最低价，有12机会到一家不减价的百货公司，他

30、们必须付出高价， 支持了此种混合策略均衡。参见 H.Varian, “A Model of Sales,American Economic Review, 19801.6实例与应用：产能与寡占竞争A.策略思考：1972年美国玉米加工业看到HFCS(High Fructose Corn Syrup)可用来代替糖，但 比糖便宜甚多。预期未来对HFCS需求大增，十一家主要厂商都打算增加产能 (capacity)，在此寡占产业中如何寻找最适产能决策？作决定过程中需要考虑那些因 素？M. Porter and M. Spence(in The Economics of Information and U

31、ncertainty ed. By J. McCall, 1982, NBER)应用赛局理论来分析此产业。随机需求与 糖价个别厂商的产能 决策模型决定价格利润及产能使用率各个产能决策带 来的现金流入B.分析架构(A)产业的产能扩充途径厂商偏好导出整个产业的产能扩选择最适产能(B)充途径当(A) = (B)时才达到均衡上例寡占产业中厂商决策的分析过程：找出需求与糖价的各种变化情况(Scenarios);预期竞争对手的产能决策(对于产能加总即可)情况；找出厂商本身产能选择的几种方案；对以上各种变化情况赋予合理的概率；找出对各种产能方案的报酬，决定本身的最适产能规模；取得各厂商的产能决策，再验证是否

32、与(2)的假设相符合，预期被验证时才达到均衡。C. Porter and Spence 的预测结果19731974197519761976 之后产能总增量实际产能0.61.01.42.249.2(billions of lb.)预测产能0.61.53.53.509.1实际的调节较慢，但产能总增量还蛮接近的。Porter and Spence说明了 Cournot-Model和纳许均衡在实用上也有相当价值。1.7小结策略思考的几点原则：互动时要先在对手的角度思考，再反思自己的最佳策略。(Putting oneself in the rivals position)在时点上要向前展望，再以逆推法寻

33、找今天的最佳策略。(Look forward and reason backward)。如果自己有优势策略，即可采用之。如果对于有优势策略，应即认定对于会采用， 再依之决定自己最佳策略。如果双方均无优势策略，可先寻找劣势策略，删除后再考虑。最后，考虑纳许均衡 策略。如果找不到纯粹策略纳许均衡，就应考虑如何采用混合策略。而且，混合策略有时 是较佳的策略。练习题1.1请找出剪刀、石头、布的猜拳赛局之纳什均衡。1.2请找出沙滩卖冰赛局的均衡，并证明它是一个纳什均衡。如果有三家冰店，是否能 找到均衡？1.3请找出飚车族赛局的所有纳什均衡。请以最适反应函数及不动点映像图形来刻划。1.4在两性战争及飚车族赛局的不动点映像图形中，该映像是否为一函数，是否为一