自动控制原理典型环节的

1、第11讲红典型环节的极坐标图1 第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-responseysis 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。频域分析法频率特性及其表示法典型环节的频率特性稳定和判据频率特性指标2 特点 （1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元系统来说，具有重要的实际意义。或由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形 对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。3频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率

2、正弦输入信号的响应特性。2541.53120.5线 性 系 统100-1-0.5-2-1-3-1.5-4-20-500 511.522.530 511.522.53输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化4频率特性及其表示法频率特性的基本概念红输入，蓝全响应，黑稳态响应 6u(t) 2 cos(5t 30)42幅值 0Sinresponse2order.m-2-4红输入，蓝全响应，黑稳态响应 -6-801.5123t/s4510.5幅值 u(t) 2cos(20t 30)0-0.5Sinresponse2orderb.m-1-1.55-20123t/s456yss(t

3、)u(t)y(t)2yss(t)y(t)u(t)C(s) G(s) U (s)设系统的传递函数为R(s)V (s)其拉氏变换R(s) A已知输入r( 2s 2A为常量，则系统输出为A U (s) AC(s) G(s)R(s) U (s)(s p1)(s p2 )(s pn ) 2s2 2V (s) s 2 (5-1) p , p , pG(s)的极点12nnbias jas ji1C(s) (5-2) s pi6对稳定系统n bi a a)( (5-2) i1ia, a和bi ( 1,2,)待定系数n i1ae jtie)(a (5-4) it趋向于零(s) A (s j ) A () A(s

4、 )( j)s 2 j (5-5) (s) A (s j) A (s Aj)s (s)(j)2 jG j (5-6) 由于是一个复数向量，因而可表示为 A e j (5-7) 7 a( jb) j G jGc( jd)jj sin 2 jA( G幅频特性j) (5-11) )(相频特性A A eA aett()ae2 j2 j ) A()in(说明线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为(j)输出与输入的相位差)(8 j a( jb) j G jG jec( jd)下面以R-C电路为例，说明频率特性的物理意义。图5-3所示电路的传递函数为Us1o )(1 RCs

5、i设输入电压ui (t由复阻抗的概念求得 1 1ojGje (5-15) 1 RCj1 Tji 1 )( arctgTT RC式中1 T 9RuiC uo图5-3 R-C电路G j称为电路的频率特性。它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。G j是的幅值它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。G j)(是的相角它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。都是输入信号频率 的函数)(由于和故它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。所示频率特性的物理意义是：当一频率为的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。10电路的输

6、出与输入的幅值之比(a) 幅频特性11输出与输入的相位之差(b)相频特性12Uo (s) G(s) 1Uo ( j) G( j) 11 RCj11 Tj比较Ui ( j)1 RCsUi (s)G( j) G(s)s j频率特性与传递函数具有十分相的形式13微 分方 程p ddt传 递频 率函 数特 性s j系 统对数坐标图极坐标图 (3)对数幅相图(Bode diagram or logarithmic plot)(Polar plot)(Log-magnitude versus phaseplot)20 log G( j)L()对数幅频特性dB对数频率特性曲线()G( j)()相频特性纵坐标

7、均按线性分度按lg 横坐标是角速率分度10，用dec145.1.2 频率特性的表示法极坐标图(Polar plot)，=幅相频率特性曲线，=幅相曲线()G( j)和相角G( j)可用幅值的向量表示。 0 G( j)当输入信号的频率变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。(N.Nyquist)在1932年基于奈极坐标图阐述了反馈系统稳定性奈曲线，简称奈氏图15 5.2典型环节频率特性曲线的绘制5.2.1 增益KL() 20 log K () 0幅频特性和相频特性曲线 请看下页1620 log( K 10) 20 log( K ) 20数值-分贝转换直线

8、17Phase (deg)Magnitude (dB)Bode Diagram of G(jw )=K=102120.52019.51910.50-0.5-1012101010Frequency (rad/sec)图5-7 数值与分贝转换直线18数数(dB)20log(K)20100-10-20-30-40-2-10110101010数数j 15.2.2 积分与微分因子() 90相差一个符号G( j) j () 90() 90 n 类推() 90 n ( j)n0dB, 119这些幅频特性曲线将通过点L() 20 log ( j)n 20n log (dB)(1/ j)nL() 20 log

9、1 20n log (dB)( j)nL() 20 log j 20 log (dB)G( j) 1jL( ) 20 log 20 log (dB)1jBode Diagram of G(jw)=1/(jw)20100-10-20-30-40-89-89.5-90-90.5-91-101210101010Frequency (rad/sec)20图5-8 积分环节的对数频率特性曲线Phase (deg)Magnitude (dB)-20dB/decBode Diagram of G(jw )=jw403020100-10-209190.59089.589-101210101010Frequen

10、cy (rad/sec)图5-9 微分环节的对数频率特性曲线21Phase (deg)Magnitude (dB)20dB/decBode Diagram60 340-20dB/dec-40dB/dec200 2 1-20-60dB/dec-40-6018013590450-45-90-101101010Frequency (rad/sec)1( j)的对数频率特性曲线图5-1022Phase (deg)Magnitude (dB)对数幅频特性 (1 jT )1 5.2.3 一阶因子11 jTL() 20 log1 (T )2 (dB) 20 log一阶因子(1 jT )1() arctg(T

11、 ) 低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线 相频特性1T1TT 1, L() 20 log1 (T )2 20 log1 0(dB)在低频时，即L() 20 log1 (T )2 20 log T (dB)T 1, 在高频时，即 高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十的直线 图5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。请看下页23AsymptoteCorner frequencyBode Diagram of G(jw ) 1/(jw T+1) T=0.1Asymptote0渐近线-5-10Exact curve精确曲线-

12、15-20-250-45-90012101010Frequency (rad/sec)24图5-11惯性环节的对数频率特性渐近线精确曲线Phase (deg)Magnitude (dB)act curve精确曲线Ex渐近线0-0.5-1-1.5-2-2.5-3-10110101025图5-12 一阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差Bode Diagram of G(jw)=jwT+1) T=0.125201510 0(dB) 5 20 log T (dB) 090450012101010Frequency (rad/sec)图5-13 一阶因子的对数频率特性曲线1 (T )2

13、 20 log T (dB)L() 20 log26Phase (deg)Magnitude (dB)() arctg(T ) 1 5.2.4 二阶因子 1 2 ( j / n ) ( j / n )2 11 2 ( j ) ( j 2)nn21L() 20 log) (2 )22 20 log(121 2 ( j ) ( j )2nnnn 低频渐近线为一条0分贝的水平线 -20log1=0dB n在低频时，即当 2 20 log 40 logdB在高频时，即当n2nn 高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-40分贝/十的直线 40 log 40 log1 0dB由于在所以高频渐近线与低频渐近

14、线在27时nn n处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。20100幅频特性与-10关系-20-30-40-10110101028dB .0120100幅频特性与-10关系-20-30-40-10110101029dB .01 020100幅频特性与-10关系-20-30-40-10110101030dB .0 01 020 .0110 00幅频特性与-10关系-20-30-40-10110101031dB 0 020 .0110 00幅频特性与 0-10关系-20-30-40-10110101032dB 0 020 .0110 00幅频特性与 0-10 .10关系-20-30-40-10

15、1101010图5-13二阶因子的对数幅频特性曲线33dB 0 0Phase of 2-order factor0-20-40-60相频特性与-80关系-100-120-140-160-180-10110101034deg .01Phase of 2-order factor0-20-40-60相频特性与-80关系-100-120-140-160-180-10110101035deg .01 0Phase of 2-order factor0-20-40-60相频特性与-80关系-100-120-140-160-180-10110101036deg .01 0 0Phase of 2-orde

16、r factor0 .01-20 0-40 0-60相频特性与-80关系-100-120-140-160-180-10110101037deg 0Phase of 2-order factor0 .01-20 0-40 0 0-60相频特性与-80关系-100-120-140-160-180-10110101038deg 0Phase of 2-order factor0 .01-20 0-40 0 0-60 .10相频特性与-80关系-100-120-140-160-180-101101010图5-13二阶因子的对数相频特性曲线39deg 01412108幅值误差与64关系20-2-4-6-

17、11001011040dB .011412108幅值误差与64关系20-2-4-6-11001011041dB .01 01412108幅值误差与64关系20-2-4-6-11001011042dB .01 0 0 .01141210 08幅值误差与64关系20-2-4-6-11001011043dB 0 0 .01141210 08幅值误差与64关系20 0-2-4-6-11001011044dB 0 0 .01141210 08幅值误差与64关系20 0-2-4-6-110010110图5-14 二阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差45dB .10 0 01 谐振频率谐振

18、峰值 2(222()2nn令)2 2 d 1 22(1 0gdt()(2)2)g() (1(2)22n2n2nnnn 2 (5-23) 2(1g n 2 (242nr221 谐振频率n (5-25) 120 M r 0 702122当 .0707时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振Mr 与46请看关系曲线谐振峰值(5-22)图5-15 Mr关系曲线47与1510Mr /dB500.10.20.30.40.50.60.70.8开环系统的步骤如下写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上绘制开环对数幅频曲线的渐近线。20dB / dec 20 lg K低频段的斜率为渐近线由若干条分 1L 在处，每遇到一个转折频率，就改变一次分线的斜率 1 T11 1因子的转折频率，当1 时，T11分线斜率的变化量为 20dB / dec 线所组成 1 因子的转折频率1 1 ，当时，2T2T248 20dB / dec 分线斜率的变化量为高频渐近线，其斜率为 20(n m)dB / decn为极点数，m为零点数作出以分线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分线进行修正作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线49 10(1 0.1s)G(s)H (s) 已知一