菱形的性质定理

1、第二十二章 四边形22.5 菱形第1课时 菱形及其性质 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行四边形矩形 ；这堂课还要研究另一种特殊的平行四边形菱形.两组对边分别平行平行四边形矩形菱形有一个角是直角有一组邻边相等1知识点菱形及其对称性1. 在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变 边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中， 哪些关系没变？哪些关系变了？知1讲 平行四边形 邻边相等菱形如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？归

2、纳知1讲定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.AB=BC平行四边形ABCD四边形ABCD是菱形知1讲1. 如图，将一个菱形纸片ABCD按图示方法折叠后， 再展开：(1)说明两条折痕的交点O恰为菱形的中心.(2)菱形ABCD是轴对称图形吗？如果它是轴对称图形， 那么它有几条对称轴，都是那些直线？归 纳知1讲菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形.（来自教材）知1讲例1 已知：如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，DEAC交BC于点E，DFBC交AC于点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？（来自点拨）因为DEFC，DFEC，所以四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形

3、是菱形求证即可导引：知1讲（来自点拨）四边形DECF是菱形理由如下：DEFC，DFEC，四边形DECF为平行四边形 由ACDE，知23.CD平分ACB，12，13，DEEC，平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平 行四边形是菱形)解：总 结知1讲（来自点拨） 本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法知1练（来自典中点）如图，若要使ABCD成为菱形，则需要添加的条件是()AABCD BADAC CABBC DACBD1C知1练2如图，在ABC中，ABAC，D是BC上一点，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是()AADBC B

4、BADCADCBDDC DADBDB2知识点菱形边的性质知2导 菱形具有平行四边形的所有性质此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?观察图所示，根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?归 纳知2导菱形的四条边都相等.知2讲例2 如图所示，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为( )A B C D3 在菱形ABCD中，因为B60，连接AC，则ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE ，所以AEF的周长为 ，故选B.分析：B总 结知2讲 在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃

5、而解.3知识点菱形对角线的性质知3导 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?归 纳知3导 对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以下性质： 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.知3导问 题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.知3讲例3 如图，菱形ABCD的周长为16 cm，ABC= 12

6、0.求对角线BD和AC的长.（来自教材）AB+BC+CD+AD= 16 cm，AB=BC=CD=AD= =4(cm).BD平分ABC，ABC= 120，ABD=60.ABD是等边三角形.BD=AB=4 cm.在RtAOB中，OB=2 cm，解：总 结知3讲 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算如图，在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，BAC=50.求菱形ABCD各内角的度数.知3练1在菱形ABCD中，BAC50，BAD2BAC100.ADBC，BADABC180，ABC80.ADC80，BCD10

7、0.解：在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6.求菱形的周长.知3练2解：由题意易知菱形的边长为 5，所以周长为4520.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=6 cm，BD=8 cm，AEBC，垂足为E.求AE的长.知3练3知3练（来自教材）如图，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别为 (0，4)，(-3，0).求点 D，C的坐标.4A(0，4)，B(3，0)，OA4，OB3，AB 5.ADBCAB5.D点的坐标为(0，1)， C点的坐标为(3，5)解：知3讲如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，ABC=60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD. 求两条小

8、路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4 花坛ABCD的形状是菱形，ACBD，ABO = ABC = 60= 30. 在RtOAB中，AO = AB = 20=10，花坛的两条小路长AC = 2AO =20 (m)， BD = 2BO=20 34. 64 (m). 花坛的面积S四边形ABCD=4SOAB = ACBD=200 346. 4 (m2).知3讲解：总 结知3讲菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应 用(3)这种方法时不要忽视“一半”已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm.求这个菱形的面积.知3练1（来自教材）解：由题意易知菱形的另一条对角线的长为 cm，所以该菱形的面积为 (cm2)1知识小结菱形的 两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等边对角线角菱形的四条边相等菱形的两