2022年初中函数知识点及一次函数总结

1、函数知识点总结( 掌握函数的定义、性质和图像) （一）平面直角坐标系：1. 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（ a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“ ，”

2、分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，（a，b）和（ b，a）是两个不同点的坐标。3、不同位置的点的坐标的特征各象限内点的坐标的特征点 P(x,y) 在第一象限x0 y0点 P(x,y) 在第二象限x0 y0点 P(x,y) 在第三象限x0 y0点 P(x,y) 在第四象限x0 y0坐标轴上的点的特征点 P(x,y) 在 x 轴上y0，x 为任意实数P坐标为（ 0，0），y 为任意实数点 P(x,y) 在 y 轴上x0y 轴上x，y 同时为零，即点点 P(x,y) 既在 x 轴上，又在两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y) 在第一、三象限夹角平分线

3、上x 与 y 相等 ;点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同;位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。关于 x 轴、 y 轴或原点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p 关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p 关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p 关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y) 到坐标轴及原点的距离：2 2（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y （2）点 P(x,y) 到 y 轴的距离等于

4、x （3）点 P(x,y) 到原点的距离等于 x y坐标平移：若直角坐标系内一点 P（a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（ah，b），向右平移 h 个单位，坐标变为 P（ah，b）；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（a，bh），向下平移 h 个单位，坐标变为 P（a，bh） . 如：点 A（2， 1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为 A（7， 1）4、 函数平移规律：左加右减、上加下减（二）函数的基本知识：基本概念1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数： 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x

5、 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量， y 是 x 的函数。 * 判断 A 是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应3、定义域： 一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的

6、图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；描出表格中数值对应的各点）；第二步： 描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了

7、，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。跟踪练习一、选择题1. 已知坐标平面内点 A(m,n) 在第四象限 , 那么点 B(n,m) 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 ; C. 第三象限 D. 第四象限2. 在函数 y= 1 中, 自变量 x 的取值范围是 ( ) 3 x 3A.x1 B.x3 C.x 1 D.x 3 3. 在平面直角坐标系中 , 点 P(2,1) 关于原点对称的点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 一天

8、, 亮亮发烧了 , 早晨他烧得厉害 , 吃过药后感觉好多了 , 中午时亮亮的体温基本正常 , 但是下午他的体温又开始上升, 直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了 . 图中能基本上反映出亮亮这一天 (0 时 24 时)体温的变化情况的是 ( ). 5. 小丽的家与学校的距离为d km,她从家到学校先以匀速1v 跑步前进 , 后以匀速v v 2Dv 1)走完余下的路程, 共用0t h . 下列能大致表示小丽距学校的距离y(km) 与离家时间t(h) 之间关系的图象是( ) t 0tyyyyd0d0d0d0OAt 0tOBt 0tOCt 0tO二、填空题1. 已知函数 y=xx1, 那么当 x=2, 则

9、 y=_. 则 M点的坐标是 _. 2. 直角坐标系中 , 第四象限内的点M到 x 轴、 y 轴的距离分别为3,2, 3. 函数 y=135x中自变量 x 的取值范围是 _. x4、已知点 A（m-1,2 ），点 B(2,m) ，且直线 AB y 轴，则 m的值为 . 5. 图表示长沙市 2003 年 6 月份某一天的气温随时间变化的情况 , 请观察此图回答下列问题 : (1) 这天的最高气温是 _度; (2) 这天共有 _个小时的气温在 31 度以上 ; (3) 这天在 _( 时间 ) 范围内温度在上升 ; (4) 请你预测一下 , 次日凌晨 1 点的气温大约是多少度 ? 答:_. 6.若点

10、 M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N（1-x,y-1 ）关于原点的对称点在第_象限。三、解答题1. 小强在劳动技术课中要制作一个周长为 80cm的等腰三角形 , 请你写出底边长 y(cm) 与一腰长为 x(cm) 的函数关系式 , 并求出自变量 x 的取值范围 . 2. 南宁市某中学环保兴趣小组对南湖清除淤泥工程进行调查 , 并从南宁晚报中收集到下列数据 : 根据上表解答下列问题 : (1) 请你按体积 =面积 高来估算 , 南湖的淤泥量大约有多少万立方米 ? (2) 设清除淤泥 x 天后 , 剩余的淤泥量为 y( 万米 3), 求 y 与 x 的函数关系 .( 不要求写出 x 的取

11、值范围 . (3) 为了使南湖的生物链不遭破坏, 仍需保留一定量的淤泥. 若需保留的淤泥量约为22 万米3, 求清涂淤泥所需天数. 3. 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售, 为了方便 , 他带了一些零钱备用, 按市场价售出一些后, 又降价出售 , 售出土豆千克数与他手中持有的钱线( 含备用零钱 ) 的关系如图所示, 结合图象回答下列问题: . (1) 农民自带的零钱是多少?(2) 降价前他每千克土豆出售的价格是多少? (3) 降价后他按每千克0.4 元将剩余土豆售完, 这时他手中的钱( 含备用零钱 ) 是 26 元, 问他一共带了多少千克土豆4. 两个物体 A、B 所受压强分别为PA (P

12、 a) 与 PB(P a)(P A、PB 为常数 ), 它们所受压力F(N) 与受力面积S(m 2) 的函数关系图象分别是射线 LA、LB, 如图所示 , 则( ) A.PAPB D.P APB （三）正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx(k 是常数， k 0) 的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平

13、移；当b0 ，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0 直线从左向右是向上的 k0 直线与 y 轴的正半轴相交 b0 ，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0，b0 2、k0，b0 3、k0，b0 4、k0 4、直线 y=kx b(k 0) 与坐标轴的交点(1) 直线 y=kx 与 x 轴、 y 轴的交点都是 (0 ， 0) ；(2) 直线 y=kx b 与 x 轴交点坐标为与 y 轴交点坐标为 (0 ，b) 5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将 x、y 的几对值或图

14、象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 .6、两条直线交点坐标的求法：方法：联立方程组求 x、 y 例题：已知两直线 yx+6 与 y2x-4 交于点 P，求 P 点的坐标？7、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2 且 b1b2 . 特别地，轴记作直线（2）两直线相交：k 1k 2（3）两直线重合：k1=k2 且 b1=b2 平行于轴（或重合）的直线记作8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx b 的图象是一

15、条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移 |b| 个单位长度而得到（当b0 时，向上平移；当 b0 或 ax+b0（ a，b 为常数， a 0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0 时，求自变量的取值范围. 11、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=y=a 1axc的图象相同 . c 2的图象交点 . bb（2）二元一次方程组a 1xb 1yc 1的解可以看作是两个一次函数xc 1和 y=a2xa2xb 2yc 2b 1b 1b 2b 212、函数应用问题（理论应用实际应用）（1）利用图象解题通过函数图象获

16、取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题. . 建立一次函数模型（2）经营决策问题函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题 . 【典型例题】例 1（ 1）已知 y ( m 3 ) x m 2 2 m 2 是正比例函数 , 则 m= . （2）当 m= 时，函数：y ( m 3 ) x 2m 1 4 x 5 ( x 0 ) 是一个一次函数 . a 2 a 1【同类题】（1）若函数 y（ a1）x 为正比例函数 , 则 a 的值为（） A-1 B.0 C.1 D.

17、-1 或 0 （2）在一次函数 y ( m 3 ) x m 1 x ,3 若 x 0 , 则 m 的取值为 . 例 2 （1）若 abc ,0 且 y b x c 的图象不过第四象限 , 则点 ( a b , c ) 所在象限为（）a a A一 B. 二 C. 三 D. 四（2）关于 x 的一次函数 y ( 3 a 7 ) x a 2 图象与 y 轴的交点在 x 轴 的上方，且 y 随着 x 的增大而减小，则 a 的取值范围是 . 【同类题】 已知一次函数 y ( 6 3 m ) x ( n 4 ). 求 : 1( ) m 为何值时 , y 随 x 的增大而减小 (; 2 ) m , n 满足

18、什么条件时，函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方；（ 3）m, n 分别取何值时，函数图象经过原点；（4）m, n 满足什么条件时，函数图象不经过第二象限 . 例 3 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 A ,3 2 及点 B 6,1 . （1）求此一次函数的解析式，并画出图象；（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积 . 【同类题】 1已知一次函数 y 3 x m 和 y 1 x n 的图象经过点2 2 ABC的面积是（）A 2 B. 3 C. 4 D. 6 A（-2 ，0），且与 y 轴分别交 B，C两点，那么 2如图，温度计上表示了摄氏温度与华氏温度的刻度，能否用函数解析式

19、表示摄氏温度与华氏温度的关系？如果 F 212 90 32 今天的气温是32，那么华氏是多少度？ C 100 50 0 -20 -4 例 4 已知，如图，在 y轴上有一点 A（0，6），在 x 轴上有两点 B（6，0），C（5，0）. （1）求过 A，B 两点一次函数的解析式，及过 A，C两点的一次函数的解析式 . （2）有一正比例函数 y kx k 0 与直线 AB交于点 E，与直线 AC交于点 F，若 AEF的面积是四边形 EFCB面积的一半，求正比例函数 y kx 的解析式，并求 E，F 的两点的坐标 . y A E F 【同类题】 1已知，如图，直线PA是一次函数yxnn0的图象，直线

20、PB是一次函数yO 2 xC B x mmn的图象 . （ 1）用m,n表示出 A，B，P 点的坐标；（2）若点 Q是 PA与 y 轴的交点，且四边形PQOB的面积是5 ，AB=2，试 6y 求 P 点的坐标，并写出直线PA与 PB的解析式 . Q A O x 2 已知点 A的坐标为（ 2，0），动点 P 在直线y1 x 23上，求使PAO为直角三角形的点P 的坐标 . 例 5 一次时装表演会预算中票价定为每张100 元，容纳观众人数不超过2000 人，毛利润y （百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000 人时，表演会组织者需向保险公5000 元（不列入成费用

21、）. 司缴纳定额平安保险费请解答下列问题：（1）求当观众人数不超过1000 人时，毛利润 y 关于观众人数x 的函数解析式和成本费用S（百元） 关于观众人数x的函数解析式；（2）若要使这次表演会获得36000 元的毛利润，那么需售出多少张门票？需支付成本费多少元？y/百元850 400 350 O 10 20 x / 百人-100 【同类题】 1同学们知道，一次函数 y kx b k 0 的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图（1）中， x 代表时间，y 代表路程，那么从图象上可以看出，某人出发时 x 0 离某地（原点）2km，出发 1h 后，由x ,1 得 y 5，即某人离某地

22、5km，他走了 3km，在图（ 2）中， OA，OB分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题：y s/km 如果用 t 表示时间， s 表示路程，那么甲、乙两人各自 20 5 的路程与时间的函数关系是：甲，乙；4 15 乙甲的运动速度是 km/h；10 B 两人同时出发，相遇时，甲比乙多走 km. -1 2 5 甲O 1 2 x O 1 2 3 4 5 6 t/h （1）(2) 2某公路的同一侧有 A、B、C三个村庄，要在公路边建一货栈 D，向 A、B、C三个村庄送农用物资，路线是：DABCD或 DCBA D. （1）试问在公路边是否存在一点 D，使送货路程最短？（把公路边近似看作

23、公路上）（2）将 A、B、C三点放在平面直角坐标系中，把 x轴建立在公路上，坐标如图所示：请画出 D点所在位置，并写出画法；（3）求出 D点在该坐标系下的坐标. （要求有运算过程）yB（2，4）O A（1，2）C（4，1）x例 6 画出函数 y 2x 1 的图象，利用图象求：（1）方程 2 x 1 0 的根 (; 2 ) 不等式 2 x 1 0 的解集 (; 3 ) 当 y 3 时 , 求 x 的取值范围 ;（4）当 3 y 3 时，求 x 的取值范围；（ 5）求图象与坐标轴的两个交点间的距离；（6）求图象与坐标轴围成的三角形的面积例 7. 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0. 7 元

24、，销售价是每份1 元，卖不掉的报纸还可以以0.2 元的价格退回报社 . 在一个月内（以 30 天计算），有 20 天每天可卖出 100 份，其余 10 天只能卖出 60 份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量 x，每月所获得的利润为函数 y.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【同类题】 1.A 市和 B 市分别有库存某种机器12 台和 6 台，现决定支援C市 10 台、 D市 8 台，已知从A市调运一台机器到 C市、 D市的运费分别为

25、300 元和 500 元，从 B 市调运一台机器到C市、 D市的运费分别为400 元和 800 元 , 若要平均每生产一件产品求总运费不超过9000 元，问共有几种调运方案？并求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？2. 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50 元，其成本价为25 元. 因为在生产过程中，有 0.5m 3 污水排出 . 所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施. 方案 1：工厂污水先净化处理后再排出 . 每处理 1m 3污水所用原料费为 2 元，并且每月设备损耗费为 30000 元. 方案 2：工厂将污水排到污水厂统一处理 . 每处理 1m 3 污水需

26、付 14 元的排污费 . 问：（1）设工厂每月生产 x 件产品， 每月利润为 y 元，分别求出依方案 1 和 2 处理污水时， y 与 x函数关系式（利润=总收入 - 总支出） . （2）当工厂每月生产量为 6000 件产品时，你若作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选用哪种处理污水方案？请通过计算加以说明 . 例 8. 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现如果月初出售，可获利 15%，并可用本和利再投资其商品，到月末可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700 元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？【同类题】 1某饮料厂生产一种饮料，经测算

27、，用1t 水生产的饮料所获利润y（元）是1t 水的价格 x（元）的一次函数 .（ 1）根据下表提供的数据，求y 与 x 的函数关系式；当水价为每吨10 元时， 1t 水生产出的饮料所获得的利润是多少？1t 水的价格 x（元）4 6 用 1t 水生产的饮料所获利润 y（元）200 198 （2）为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过 20t ，水价为每吨 4 元；日用量超过 20t ，超过部分按每吨 40 元收费 . 已知该厂日用水量不少于 20t ，设该厂日用量为 t t, 当日所获利润为 W元，求 W与 t 的函数关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用量是不超过 25t ，但仍不少于 20t ，求该厂的日利润的取值范围 . 例 9. 随着教学手段不断更新，要求计算器进入课堂 . 某电子厂家经过市场调查，发现某种计算器的供应量 1y （万个）与价格 x （万元）之间的关系如图中供应线所示，面需要求 y （万个）与价格 x （万元）之间的关系如图需求线所示. 如果你是这个电子厂的厂长，应计划生产这种计算器多少个，每个售价多少