向量组的线性相关性s课件

1、 第四章 线性方程组的理论第三节 向量组的线性相关性本节要点： 掌握n维向量组的线性组合 掌握向量组线性相关、线性无关的定义 及判别定理一、向量组的线性组合（线性表示） P901、概念若称 可由 线性表示引例：对同维数向量定义 : 由同维数的向量所构成的集合 称为向量组再如即称 可由 线性表示 定义1 对于给定的向量组 P90 若存在一组数 ，使得 则称向量 可由向量组 线性表示。 或向量 是向量组 的线性组合。【例1】零向量是任意向量组的线性组合 因为：对任意向量组 都有即取k1= k2= km=0,则有成立故零向量是任意向量组 的线性组合P91【例2】证明任一个n维向量 都可由n维向量组

2、线性表示。要证：存在一组数k1, k2, ,kn,使证明：所以，取k1=a1, k2=a2, , kn=an,则有 成立即向量 可由向量组 线性表示n维单位向量组P91【例3】线性方程组 有解的充要条件是 可由 线性表示 取则线性方程组（*）与向量方程是一一对应的对（*）分析：证明：存在一组数 可由 线性表示线性方程组 有解使方程组成立成立即若该方程组有解，可得一个线性方程组。 则 可由向量组 线性表示若该方程组无解， 则 不能由向量组 线性表示若已知的分量，把分量代入2、已知分量的向量组的线性组合判别法：向量 可由向量组 线性表示向量方程有解定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是

3、矩阵 的秩等于矩阵的秩P91问 能否由 线性表示。 【例5】设解：设即由行变换解得k1=1 k2=1 k3= -1即有所以 能由 线性表示问 取何值时，(1) 可由 线性表示，且表达式唯一(2) 可由 线性表示，但表达式不唯一(3) 不能由 线性表示解：设【例5】设有三维向量P116:4即且（1）当 且 时，方程组有唯一解即唯一存在一组数 ，使成立此时 可由 线性表示，且表达式唯一（2）当 时，原方程组为：即存在无穷多组 ，使成立此时 可由 线性表示，但表达式不唯一原方程组有无穷多解。原方程组无解。（3）当 时，原方程组为：且行变换即不存在一组数 ，使成立此时 不可由 线性表示即仅当 时，(1

4、)式成立将齐次线性方程组AmnX=O 写成向量形式 二、线性相关、线性无关 P92 是系数矩阵A 的n个m 维列向量 若方程组只有零解，若方程组有非零解，即存在一组不全为零的数使1、概念 定义2 对于向量组 ，若存在一组 不全为零的数 ，使得（2）则称向量组 线性相关。P92若（2）当且仅当 时成立,则称向量组 线性无关【例7】证明：n维单位向量组 线性无关 证明：设有一组数 ，使得成立因为仅有零解即方程要证：方程仅有零解即n维单位向量组 线性无关 P92【例8】 证明：由一个向量 构成的向量组线性相 关的充要条件是证明：向量组 线性相关存在一组不全为零的数k，即k0，使成立即 成立故向量 构

5、成的向量组线性相关的充要条件是 由此得：由一个向量 构成的向量组线性无关的充 要条件是P93【例9】证明：由两个向量 构成的向量组 线性相关的充要条件是 成比例。（即 或 ）P93例：向量组线性相关向量组线性无关2、已知向量组 的分量，判断 的线性关系重要题型判断线性关系的步骤：a) 设存在一组数k1， k2， ,km，使成立解该方程组, 若方程组有非零解，则线性相关; 若方程组仅有零解，则线性无关。b) 代入 各分量，得一齐次 线性方程组【例10】判断向量组 的线性关系解：设存在一组数k1， k2， k3，使即由有非零解即存在不全为零的数k1， k2， k3，使成立故向量组 线性相关。 定理

6、2 向量组 线性相关的充P93 要条件是 中至少有一个向量 可由其余m-1个向量线性表示。证明：设向量组 线性相关则有一组不全为零的数 ，使得成立不妨设k10,则有即向量 可由其余向量 线性表示。故 中至少有一个向量可由其余向量线性表示3、重要定理 设向量组 中至少有一个向量可 由其余向量线性表示不妨设向量 可由其余向量 线性表示则有即成立取k1=-1,则k1 ，k2， km不全为零，使成立故向量组 线性相关【例12】 设 是任一个n维向量，证明 向量组 线性相关证明：即 可由 线性表示 由定理2知，向量组 线性相关 向量组 线性无关的充要 条件是 中任一个向量都不能 由其余向量线性表示。推论

7、2.1推论2.2 含有零向量的向量组必然线性相关。 矩阵A的秩小于向量个数m定理3 设向量组A ： 构成矩阵则向量组 A线性相关的充要条件是即向量组线性无关的充要条件是 P94 ).,(21mAaaaL=其中即AX0有非零解。证明A02211mmxxxaaaL=+线性相关就是齐次线性方程组向量组有非零解。【例13】【例14】线性相关方程有非零解有非零解线性相关的充要条件是推论31 n个n维向量P94推论3.2n个n维向量线性无关的充要条件是P94证明：所以 线性无关 例如：证明：n维单位向量组 前例8 线性无关【例15】设向量组已知 线性相关，且 求解：05：数3问k取何值时： （1） 线性相

8、关 （2） 线性无关【例16】设向量组三个三维向量解：则当k=0或k=-3时：当k0且k-3时：故由定理3，必线性相关。例：m4，n3，线性相关。推论3.3 m个n 维列向量组成的向量组，当 时一定线性相关 P94 定理4(1) 若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 可由 线性表示，且表示法唯一。P95证明：所以 R(A)=m因为向量组A线性无关,显然R(A) R(B)所以 R(B)m+1因为向量组B线性相关,从而 m R(B) m+1,即 R(B)=m由 R(A)= R(B)=m知AX=有唯一解即可由向量组A线性表示且表示法唯一例如：任一向量 可由向量组 线性表示，且表示法唯一证明：设

9、向量组 中有r 个向量 线性相关,成立因此存在一组不全为零的数 不妨设 线性相关，则存在不全为零的数 ，使得定理4(2) 若向量组中有一部分向量（部分组） 线性相关，则整个向量组也线性相关。P95使成立即线性相关推论 若向量组线性无关，则其任意一个部 P95 分组线性无关。部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关例如：任一含零向量的向量组必线性相关再如：向量组 的任一部分组线性无关定理4(3) 若n维向量组线性相关，则在每个向量上去掉相同的n-r个分量所得到r维向量组也线性相关P95证明：记 Anm=(1 , 2, m) Brm=(1 , 2, m)由已知 R(B) R(A)所以 R(A)m

10、又向量组A线性相关,从而 R(B) m,向量组1 , 2, m线性相关例如：对向量组 由于1 , 2线性相关，线性相关 推论 若r维向量组 P95 线性无关，则在每个向量上再添加n-r 个分量所得到的 n维向量组 也线性无关。例如：对向量组 ,由于二维单位向量组 线性无关，所以 线性无关长相关则短相关，短无关则长无关。【例17】向量组 线性相关，求t。解：由定理4（3）知，同时删去第4行得到的向量组仍然线性相关（保留参数行），故97：数2【例18】判别下列向量组的线性相关性（1）P961 , 2, 3 线性无关 因为线性无关，由定理4(3)知解（2） 因为 3 =51 , 故1 , 3 线性相

11、关，从而由定理4(2)可知1 , 2, 3线性相关.（3） 由推论2知4个3维向量一定线性相关，故1 , 2, 3 , 4线性相关【例19】设向量组 线性相关，向量 组 线性无关，证明 证 (1) 因为 线性无关，由定理4（2） 知 必线性无关。由定理4（1）知： 能由 线性表示，且表示式唯一. 由已知 线性相关，,43232432线性相关，与已知矛盾。即线性表示，可由线性表示，所以，aaaaaaaa),1(,13214能由线性表示，由能由假设aaaaa(2) 反证【例20】设A是n阶矩阵，k为正整数， 是 AkX=0的一个解，使Ak-1 0。证明 线性无关。证明：（用定义证）要证用Ak-1左

12、乘（1）式，注意到当mk时， 因此而设（1）98：数1所以（1）变为用Ak-2左乘上式，得c20如此类推下去，得所以 线性无关。本节主要定理：矩阵 的秩等于矩阵定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是的秩定理2 向量组 线性相关的充 要条件是 中至少有一个向量 可由其余向量线性表示。 向量组 线性无关的充要 条件是 中任一个向量都不能 由其余向量线性表示。推论矩阵A的秩小于向量个数m定理3 设向量组A ： 构成矩阵则向量组 A线性相关的充要条件是即向量组线性无关的充要条件是 P94推论31 n个n维向量线性相关的充要条件是推论3.2 n个n维向量 线性无关的充要条件是推论3.3 n阶

13、方阵 向量线性无关的充要条件是的n 个行（列）推论3.4 m个n 维列向量组成的向量组，当 时一定线性相关 定理4 (1) 若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 可由 线性表示，且表示法唯一。定理4 (2) 若向量组中有一部分向量（部分组） 线性相关，则整个向量组也线性相关。推论 若向量组线性无关，则其任意一个部 分组线性无关。部分相关则全体相关，全体无关则任一部分无关推论 若r维向量组 线性无关， 则在每个向量上再添加n-r个分量所得 到的n维向量组 也线性无关。定理4 (3) 若n维向量组 线性相关，则在每个向量上都去掉相同的n-r个分量所得到的r维向量组 也线性相关。长相关则短相关，短无关则长无关。1、n维单位向量组 线性无关 简单结论：中任意几个向量构成的向量组线性无关3、由两个向量 构成的向量组线性相关的 充要条件是 成比例，线性无关的充要 条件是 不成比例。2、