数值分析第9章常微分方程初值问题数值解法讲义.课件

1、2022年7月26日1例如： 时 ，第9章 常微分方程初值问题数值解法9.1 引言微分方程：包含自变量、未知函数和未知函数导数或微分的方程。例如： ，求定解条件：求解微分方程时，所附加的条件定解问题。初始条件：给出积分曲线在初始时刻的值初值问题。例如： 时 ，边界条件：给出积分曲线在首末两端的值边值问题。常微分方程：未知函数为一元函数。偏微分方程：未知函数为多元函数。2022年7月26日2一阶常微分方程的初值问题：求解注意：解函数、积分曲线；微分函数。确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。，2022年7月26日3如果存在实数 ，使得称 关于 满足利普希茨条件， 为 的利普希茨常数。说明：

2、条件可理解为解函数无限接近时，微分函数也无限接近。定理1 设 在区域 上连续，且关于 满足利普希茨条件，则对任意常微分方程初值问题当 时存在唯一的连续可微解 。2022年7月26日4关于方程的解对扰动的敏感性，有结论：定理2 设 在区域 上连续，且关于 满足利普希茨条件，设初值问题 ， ，其解为 ，则说明： 定理表明解对初值的敏感性，即初值不同，解也有差异； 解得敏感性与微分函数 有关：当 的利普希茨常数 较小时，解对初值相对不敏感；当 较大时，初值的扰动会引起解剧烈变化病态问题；2022年7月26日5数值解法：在一系列离散点 上，求解近似值 。“步进式”：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进

3、。步长：常用等步长 ，节点为单步法：计算 时，只用到前一点的值 步法：计算 时，用到前面 点的值2022年7月26日69.2 简单的数值方法9.2.1 欧拉法与后退欧拉法初值问题：解的形式： 是通过点 的一条曲线积分曲线。特点：积分曲线上每一点 的切线斜率为2022年7月26日7尤拉方法： 将解区间 离散化，选择步长 ，得到离散点： ； 由 切线 ，切线与 交点 ： 的近似值 ； 再由 向前推进到 ，得到折线 ，近似 。2022年7月26日8任意折线 ：过点 作直线 ，斜率 ，欧拉方法若初值 已知，由此可逐次算出：2022年7月26日9P281例1 求解初值问题解：欧拉公式为，2022年7月2

4、6日10局部截断误差：设前一步值准确，算下一步出现的误差假设：泰勒展开函数 ：局部截断误差：2022年7月26日11后退的欧拉法：离散化：求解微分方程的关键，消除导数项， 基本方法之一是用差商替代导数项。例如：向前的欧拉公式（显式）2022年7月26日12同理：后退的欧拉公式（隐式）注意： 显式计算方便，隐式稳定性较好； 上式隐含 ，采用迭代法求解。2022年7月26日13欧拉公式的另一种理解：将常微分方程 改写对微分方程从 到 积分由积分左矩形公式得再以 代替 ，以 代替向前的欧拉公式2022年7月26日14对微分方程从 到 积分由积分右矩形公式得再以 代替 ，以 代替后退的欧拉公式同理：2

5、022年7月26日15迭代法求解：后退的 欧拉公式逐步显示 先用尤拉格式，求出初值 ： 再将结果代入微分函数 ： 反复迭代，直到收敛：2022年7月26日16讨论迭代的收敛性：因函数 对 满足利普希茨条件比较欧拉的后退公式和其 次迭代结果两式相减得由此可知：只要 迭代法就收敛到解 。2022年7月26日17可以证明：局部截断误差后退的欧拉公式向前的欧拉公式因此：平均可减少误差梯形格式。（注意：误差不可能消除，两公式 不同。）2022年7月26日189.2.2 梯形方法向前 欧拉方法：后退 欧拉方法：梯形方法：两者平均注意：梯形公式可有效减小误差， 计算结果更接近实际值。（图示表示梯形法计算结果

6、）2022年7月26日19用迭代法求解：梯形法（用向前公式求初值）（即将上次结果代入 ）反复迭代，直到两次迭代结果达到误差要求。问题：每个节点，都需迭代计算，计算量太大。2022年7月26日20分析迭代过程的收敛性：比较梯形公式和其迭代公式，并相减两式由利普希茨条件，有若选取 充分小，使得 ，则 时有2022年7月26日219.2.3 改进欧拉公式 先用向前欧拉公式，求得一个初步的近似值预测： 再用梯形公式，将结果校正一次校正：平均化形式：2022年7月26日22P284例2 用改进的 欧拉方法求解初值问题：解：2022年7月26日239.2.4 单步法的局部截断误差与阶初值问题单步法求解的一

7、般形式为（其中多元函数 与 有关）当 含有 时，方法是隐式的，否则为显式方法。显式单步法可表示为称为增量函数，例如对欧拉法有2022年7月26日24定义1 设 是初值问题的准确解，称为显式单步法的局部截断误差。注意：上述中假设在 前各步没有误差，故误差是局部的。当 时，计算一步，则有局部截断误差：是计算一步的误差，也是公式误差。2022年7月26日25如果将函数 在 处泰勒展开欧拉法的局部截断误差为这里 称为局部截断误差主项。显然2022年7月26日26定义2 设 是初值问题的准确解，若存在最大整数 使显式单步法的局部截断误差满足则称该方法具有 阶精度。若将局部截断误差展开，写成则 称为局部截

8、断误差主项。2022年7月26日27以上定义对隐式单步法也适用。同样将函数 在 处泰勒展开后退欧拉法的局部截断误差为这里 是一阶方法，局部截断误差主项为2022年7月26日28同样对梯形公式局部截断误差为故梯形法是二阶方法，局部截断误差主项为2022年7月26日299.3 龙格-库塔方法9.3.1 显式龙格-库塔法的一般形式对欧拉法欧拉法为 阶，其增量函数为对改进的欧拉法其增量函数为比起欧拉法，增加了计算一个右函数 的值，有 阶精度。2022年7月26日30提高公式阶数 ：增加增量函数 中的 值对于一阶常微分方程，等价的积分形式提高公式阶数：必须提高数值求积精度，需增加求积节点说明： 求积节点

9、 越多，积分精度越高，求解公式阶数越大 增量函数注意： 级数， 阶数，两者不同2022年7月26日31对于二级显式龙格-库塔法：考察区间 内一点 用 、 两点的函数值 、 ：构造增量函数2022年7月26日32对于 可用欧拉公式预测：因此有二级显式龙格-库塔法：2022年7月26日33同理，三级显式龙格-库塔法：注意：需用 、 的线性组合计算2022年7月26日34 级显式龙格-库塔法：R-K 方法这里 均为常数时为欧拉法，阶数2022年7月26日359.3.2 二阶显式 R-K 法 时，R-K 方法计算公式：这里 均为待定常数期望：适当选取系数，使公式阶数 尽量提高2022年7月26日36局

10、部截断误差为这里将函数 在 处泰勒展开注意 是二元函数，其导数应为全导数。2022年7月26日372022年7月26日38将结果代入局部截断误差：2022年7月26日39要使公式具有 阶，必有即非线性方程组的解不是唯一的。可令2022年7月26日40若取 ： ， 改进的欧拉法若取 ： ， ，中点公式：相当于数值积分的中矩形公式2022年7月26日419.3.3 三阶与四阶显式 R-K 方法要得到三阶显式 R-K 方法，必须取 均为待定参数2022年7月26日42公式的局部截断误差为将 按二元函数泰勒展开，使这是8个未知量、6个方程的非线性方程组，解不是唯一的。2022年7月26日43常见的公式

11、之一：库塔三阶方法2022年7月26日44经典公式之一：四阶龙格-库塔方法可以证明：四阶龙格-库塔方法的截断误差为2022年7月26日45P289例3 设取步长 ，从 到 用四阶龙格-库塔方法求解初值问题：解：公式为2022年7月26日46计算结果：注意：这里步长增大为 ， 计算精度比改进的欧拉法要高。2022年7月26日479.3.4 变步长的龙格-库塔方法步长减小，局部截断误差减小，但： 求解范围内的计算步数增加，计算量增大； 步数增加会导致舍入误差的严重积累。选择步长时，需要考虑的两个问题： 怎样衡量和检验计算结果的精度？ 如何依据所获得的精度处理步长？2022年7月26日48考察经典的四阶龙格-库塔公式：从节点 出发，先以 为步长求出一个近似值将步长折半，从 跨两步到 ，再求得近似值比较两者的局部截断误差：步长折半后，误差减小2022年7月26日49因而，可得误差估计式步长折半前后两次计算结果的偏差检查偏差 是否满足给定精度 要求，来选择合适步长： 若 ，反复将步长折半进行计算，直到 为止； 若 ，反复将步长加倍进行计算，直到 为止，这时再将步长折半