数值计算方法解析课件

1、第一章 引论数值计算方法华长生制作1第一章 绪论 1.3 误差 1.1 数值计算的研究对象与特点 1.2 数值问题与数值方法华长生制作2 1.1 计算机数值方法的研究对象与特点以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程:总体设计模型的细化详细设计主要为算法设计程序设计计算机数值方法研究的是将数学模型化为数值问题，并研究求解数值问题的数值方法进而设计数值算法华长生制作3数值问题：输入数据与输出数据之间关系即：输入与输出的都是数值的数学问题如求解线性方程组求解二次方程是数值问题一、数值问题 1.2 数值问题与数值算法华长生制作4求解微分方程不是数值问题将其变成数值问题，即将其“离散化”“离

2、散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要方法，这也是计算方法的任务之一华长生制作5二、数值方法数值方法:是指解数值问题的在计算机上可执行的系列计算公式在计算机上可执行的公式是指只含有加减乘除的公式现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt()常见的在计算机上不能直接运行的计算有:开方、极限、超越函数、微分、积分等等要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价或近似等价运算华长生制作6应化为如求根公式应化为公式华长生制作7研究数值方法的主要任务:1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式3.因为可能采

3、用了近似等价运算,故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、矩阵特征值及回归拟合等问题寻找行之有效的数值方法华长生制作8三、数值算法数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.数值算法有四个特点:1.目的明确算法必须有明确的目的,其条件和结论均应有清楚的规定2.定义精确对算法的每一步都必须有精确的定义3.可执行算法中的每一步操作都是可执行的4.步骤有限算法必须在有限步内能够完成解题过程华长生制作9例1. 给出等差数列1,2,3,10000的求和算法解:记数器置零华长生制作10 1.3 误差一、误差的种类及来源模型误差描述误差在建立数学模

4、型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.观测误差参数误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差截断误差方法误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷华长生制作11过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差.截断误差是对参与计算的数学公式做简化可行处理后所产生的误差（用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法），是计算方法关注的内容如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各

5、项都舍弃了,自然产生了误差Taylor展开华长生制作12舍入误差计算误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差过失误差由于模型错误或方法错误引起的误差.这类误差一般可以避免华长生制作13数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人,因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象.二、误差和误差限定义1. 华长生制作14绝对误差限或误差限,显然或且华长生制作15哪个更精

6、确呢?定义2. relativeerror华长生制作16绝对误差限相对误差限往往未知代替相对误差代替相对误差限因此华长生制作17例1.解:华长生制作18例2.解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位华长生制作19; 四则运算误差限的公式: 故三、误差的传播与估计华长生制作20即华长生制作21华长生制作22华长生制作23华长生制作24绝对误差增长因子相对误差增长因子华长生制作25求近似数285.35,196.87,58.43,4.96的和,其中每个数的绝对误差限为0.5*10-2 285.35196.8758.43+) 4.96 545.61和545.61的绝对误差

7、限为: 4*(0.5*10-2)=0.020.5*10-1因此和545.61应舍入为545.6 加减运算华长生制作26例2 求3.150950,15.426463,568.3758, 7684.388的和加减运算0.5*10-3 C=8271.341没有意义按最坏情况 估算误差 3.150950 15.426463 568.3758 +7684.388 8271.341213 0.0000005 0.0000005 0.00005 + 0.0005 0.0005510 华长生制作27例题 求和 3.150950 15.426463 568.3758 +7684.388 3.1510 15.42

8、65 568.3758 +7684.388 8271.3413 作舍入 处理 和的绝对误差限为3*(0.5*10-4)+0.5*10-3=0.000650.5*10-2,可将结果舍入为8271.34华长生制作28加减法运算时需要注意的地方 (1) 大量运算时,有时会很大 例 计算多项式的值 如果将公式改写 (2) 防止大数吃小数的情况a+b+ca+c+b华长生制作29例如计算 采用3位浮点数以截断方式进行运算从左到右的次序计算得y=2.91从右到左的次序计算得y=2.92 误差0.017误差0.007华长生制作30例:方程x2-(109+1)x+109=0其精确解为x1=109, x2=1 字

9、长为8位的计算器求解 华长生制作31当被减数和减数相差很大时，大数的相对误差起主要作用 很小 约为1 华长生制作32两个相近数相减,易失有效位两正数之差 C=x-y的相对误差是因为x和y的前几位有效数字必然相同，相减之后有效数字位会大大减少，使有效数字严重损失。 例如：cos20=0.9994,1- cos20=0.0006避免这种情况,可以使用转换公式;或者增加字长,维持一定有效位,保证精度 华长生制作33乘积运算乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和，其相对误差限等于各乘数相对误差限之和 华长生制作34求c=12.2*73.56的相对误差限和绝对误差限华长生制作35商运算商运算的相对误差

10、限等于除数与被除数的相对误差限之和华长生制作36例 求c=25.7/3.6的相对误差限和绝对误差限华长生制作37注意 (1) 当分母很小时，|dc|可能很大舍入误差 放大了106倍 华长生制作38(2) 当分母为两个相近数相减时,会因有效数字丧失而出现(1)的情况 这里分子的误差被扩大104倍华长生制作39指数运算x的p次幂的相对误差是x本身的相对误差的p倍若令p=1/q，则可得x的q次根的相对误差是x本身相对误差的1/q倍华长生制作40例 求c=(12.2)2的绝对误差限和相对误差限 例 设正方形面积s=12.34,其绝对误差限|s| 0.01,问边长a具有多大的相对误差限和多少位有效数字？

11、华长生制作41有4位有效数字有6位有效数字四、有效数字定义3. 有8位有效数字只有5位有效数字华长生制作42且因此,可根据上述分析对有效数字有如下结果:或华长生制作43五、数值方法的稳定性与算法设计原则例8.计算定积分解:华长生制作44 数值稳定算法 在计算过程中产生的舍入误差能被控制在一定的范围内，且对最后的结果影响不大的算法称为稳定算法。不是数值稳定的算法称为数值不稳定算法。 数值不稳定算法会导致计算结果失真， 对数值不稳定的算法常采用转化成相应的数值稳定的算法来处理 。 华长生制作45误差放大 5千倍!但如果利用递推公式华长生制作46因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则1. 四则运算中的稳定性问题(1) 防止大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算误差会放大误差不会放大华长生制作47而如果将小数放在前面计算在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.华长生制作48(2) 作减法时应避免相近数相减两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失由于在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变计算公式,如使用三角变换、有理化等等华长生制作49例9.解方程解:由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为而如果在字长为8,基底为10的