(完整版)机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

1、约束条件第一、填空题1组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数2.函数f(x,x)=x2+x2一4xx+5在X二1212120点处的梯度为一120海赛矩阵2一4一42目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，,同时必须是设计变量的可计算函数。建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。5约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。6随机方向法所用的步长一般按法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。7最速下降法以一负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较

2、。二元函数在某点处取得极值的充分条件是Vf(X)=0必要条件是该点处的海赛矩阵正0定9拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题，这种方法又被称为升维法。10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，另外应当尽量减少不必要的约束。目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来，为了在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。数学规划法的迭代公式是Xk+i=Xk+adk_，其核心是建立搜索方向,和k计

3、算最佳步长15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。二、名词解释1凸规划对于约束优化问题minf(X)s.tgj(X)0(j=1,2,3,m)若f(X)、gj(X)(j=1,2,3,m)都为凸函数，贝y称此问题为凸规划。2可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。设计空间：n个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合4.可靠度产品在规定的条件，规定的时间内完成规定功能的概率.5收敛性是指某种迭代程序产生的序列&k(k二。丄)收敛

4、于limXk+1=X*kfg6非劣解：是指若有m个目标f(X)(i=1,2,m)，当要求m-1个目标函数值不变坏时,i找不到一个X，使得另一个目标函数值f(X)比f(X*),则将此X*为非劣解。ii黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。维修度在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间t内修复完毕的概率1、设计变量答：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数(或需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立

5、的设计参数)2、目标函数答：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的函数，称为目标函数(或用设计变量来表达所追求目标的函数)3、设计约束答：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束(或对设计变量取值限制的附加设计条件)4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作：x*=xl*,x2*,x3*,.,xn*T使该设计点的目标函数F(x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F(x*)称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值)。把最优点和最优值

6、的总和通称为最优解。或：优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即minf(x)=f(x*)xGRns.t.gu(x)W0,u=1,2,.,m；hv(x)=0,v=1,2,.,pf(a)。所以消去区间a,a，得到新的搜索区间a,b，1211即L,b=La,b=0.5056,1l。1第一次迭代：插入点a1=0.6944，a=0.5056+0.618(1-0.5056)=0.81112相应插入点的函数值f(a)=29.4962,f(a)=25.4690，12由于f(a)f(a),故消去所以消去区间a,a，得到新的搜索区间a,bl1211则形成新的搜索区间匚1，bLL,bL

7、（0.6944,11至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。3用牛顿法求目标函数/（X）=16x12+25x2+5的极小点，设X（0）=22卜解：由X（0）=22卜，则Vf（X0）=IQ2f（）V2fX0丿=I1QfIQxQx21-1132Q2fdxdx12Q2fQx220因此可得：X1=X0-V2f32Qx1fQx250-1Vf（X0）=32x150 x213264100逆矩阵为15064100（X1）=5，从而经过一次迭代即求得极小点X0卜，f（X*）=54.下表是用黄金分割法求目标函数=a+的极小值的计算过程，请完成下表。a迭代序号aa1aby1比较y200.20.505

8、60.6944140.062629.496210.50560.69440.8111129.496225.4690 x*05、求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=00T处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模I刃(x)II。求f(X,X2)在兀点处的梯度方向和数值，计算如下：0120dxdx2x02x12x2-4-4-2=-2x0冈(叨=：(鲁)2+(f二川112-4-2Tj5在X1-x2平面上画出函数等值线和x0(0,0)点处的梯度方向P,如图2-1所示。从图中可以看出，在X点函数

9、变化率最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同0心圆的半径方向。6、用共轭梯度法求二次函数f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2XX2的极小点及极小值?解：取初始点xo=1lb2x-2x4-4g0=Vf(xo)=124x-2x21x02do=-go=-2沿do方向进行一维搜索，得1+a-410-2xi=xo+ado=01+4ao12a其中的%为最佳步长，可通过f(xi)=min申(a),0(a)=00a1101a10求得+a-4-10-201+4a01_2a0为建立第二个共轭方向d,需计算xi点处的梯度及系数Po值，得g1=Vf(xi)=2x-2x-4124x-2x21-11x1从而

10、求得第二个共轭方向dl=-gl+卩再沿d1进行一维搜索,其中的a1为最佳步长,求得=吐二AllgJI2200d0=1141_2-2-2+2a1+a3=1311+a_2_2_L221x2=x1+a1d1=通过f(x2)覽n吹),0(a)二021x2=计算x2点处的梯度2x-2x4o12=L4x-2x021x211g2=Vf(x2)说明X2点满足极值必要条件，再根据X2点的海赛矩阵G(x2)=是正定的，可知X2满足极值充分必要条件。故X2为极小点，即x2而函数极小值为f(x*)=-8。7、求约束优化问题Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2s.t.h(x)=x1+2x2-2=0的最优解？解：该问题的约束最优解为x*=1.60.2】,/(x*)二0.8。由图4-1a可知，约束最优点x*为目标函数等值线与等式约束函数(直线)的切点。用间接解法求解时，可取卩2=0&转换后的新目标函数为(x,卩)=(x2)2+(x1)2+0.8(x+2x2)21212可以用解析法求mi