(精)二次函数动轴动区间问题

1、二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f(x)=ax2+bx+c(a丰0)，求f(x)在xwm,n上的最大值与最小值。分析：将f(x)配方，得顶点为-,4ac-b21、对称轴为x=-V2a4a丿2a当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m,n上f(x)的最值：当-_Lelm，n时，f(x)的最小值是f耳二jac-b，子的最大值是f(m)、f(n)2aV2a丿4a中的较大者。当-bn时2a若-_Lm，由f(x)在Cmn上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最

2、大值是f(n)2a若n-b，由f(x)在Cmn上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)2a当a0时f(x)maxb1(m+n)(如图L)2a2b1f(n),-亍n(如图3)2abb),m-n(如图4)2a2abf(m),-m(如图5)2a当a0时f(x)二maxbf(n)，-亍n(如图6)2a-bbf()，m2abn(如图7)f(x)2af(m),=Vminf(n)，b1-(m+n)(如图9)2a2-2-2(m+n)(如图10)f(m),-m(如图8)2a3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最

3、值”。例4已知x20，求函数f(x)=x2+ax+3的最值解。图3例5.求f(x)=x2+2ax+1在区间T,2上的最大值。(2)求函数y=_x(X-a)在xe-1,1上的最大值。4.轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例6.已知y2=4a(x一a)(a0),，求u=(x一3)2+y2的最小值。二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7.已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间-3,2上的最大值为4,求实数a的值。例8已知函数/(x)=-+x在区间m，n上的最小值是3m最大值是3n，求m,

4、n的值。3例9已知二次函数f(x)二ax2+(2a-1)x+1在区间-,2上的最大值为3,求实数a的值。2三、巩固训练函数y=x2+x+1在-1,1上的最小值和最大值分别是()(A)1,3(B)1,3(C)4-丄,3(D)-丄,324函数y=-x2+4x-2在区间1,4上的最小值是()(A)-7(B)-4(C)-2(D)2函数y=8的最值为(x2-4x+5最大值为8,最小值为0(C)最小值为0,不存在最大值)不存在最小值，最大值为8(D)不存在最小值，也不存在最大值若函数y二2-J-x2+4x,xe0,4的取值范围是5已知函数念)=ax2+(2-1)x-T)在区间q,2上的最大值是】，则实数a

5、的值为6如果实数x,y满足x2+y2二1，那么(1xy)(1+xy)有()最大值为】,最小值为2无最大值，最小值为4)最大值为1,无最小值(D)最大值为1，最小值为147已知函数y二x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2，则m的取值范围是()(A)1,+s)0,2(C)1,2(D)(s,2右x0,y0,x+2y=1那么2x+3y2的最小值为设meR,x,x是方程x2一2mx+1一m2=0的两个实根，则x2+x2的最小值1212设f(x)=x24x-4,xet,t+1(teR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。11已知f(x)=x2ax+a，在区间0,1上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值。212.(2009江苏卷)设a为实数，函数f(x)=2x2+(x-a)