2013年全国研究生数学建模竞赛A题

1、2013年（第十届）全国研究生数学建模竞赛A题变循环发动机部件法建模及优化由飞机/发动机设计原理可知，对于持续高马赫数飞行任务，需要高单位推力的涡喷循环，反之，如果任务强调低马赫数和长航程，就需要低耗油率的涡扇循环。双涵道变循环发动机可以同时具备高速时的大推力与低速时的低油耗。变循环发动机的内在性能优势，受到了各航空强国的重视，是目前航空发动机的重要研究方向。1变循环发动机的构、造及基本原理1.1基本构造双涵道变循环发动机的基本构造见图1、图2，其主要部件有：进气道、风扇、副外涵道、CDFS涵道、核心驱动风扇级（CDFS）、主外涵道、前混合器、高压压气机、主燃烧室、高压涡轮、低压涡轮、后混合器

2、、加力燃烧室、尾喷管。双涵道模式下，选择活门和后混合器（后VABI）全部打开；单涵道模式下，选择活图2双涵道变循环发动机结构示意图图中数字序号表示发动机各截面参数的下脚标各部件之间的联系如图3所示，变循环发动机为双转子发动机，风扇与低压涡轮相连，CDFS、高压压气机与高压涡轮相连，如图3下方褐色的线所示。蓝色的线表示有部件之间的气体流动连接（图3中高压压气机后不经主燃烧室的分流气流为冷却气流，在本题中忽略不计）。油控卜制器CDFFi进忆址ELE紳轮心混合器典歯4彳卡*-;加力悔烧宝图3变循环发动机工作原理图1.2工作原理变循环发动机有两种工作模式，分别为涡喷模式和涡扇模式。发动机在亚音速巡航的

3、低功率工作状态，风扇后的模式转换活门因为副外涵与风扇后的压差打开，使更多空气进入副外涵，同时前混合器面积开大，打开后混合器，增大涵道比，降低油耗，此时为发动机的涡扇模式。发动机在超音速巡航、加速、爬升状态时，前混合器面积关小，副外涵压力增大，选择活门关闭，迫使绝大部分气体进入核心机，产生高的推力，此时为发动机的涡喷模式。变循环发动机部件建模法燃气涡轮发动机的特性可以用实验方法和计算方法获得。但实验的方法需要研制复杂的设备、投入巨额的资金和消耗巨大的能源，因此实验的方法不可能经常采用。随着计算能力的不断提高，发动机数学模型研究的不断深入，计算机仿真精度也在不断提高，一定程度上弥补了实验方法的不足

4、，尤其是在发动机型号研制过程中，燃气涡轮发动机计算机仿真技术发挥了不可替代的作用。燃气涡轮发动机是由进气道、压气机、主燃烧室、涡轮、喷管等部件组成的。如果计算机能够对这些部件的性能进行准确的模拟，那么也就能准确地模拟整个发动机的性能。这种建立在准确模拟发动机各部件性能基础上的发动机性能计算方法，称为部件法。该方法是建立在发动机各部件特性已知的基础上的，因此是计算精度较高的一种方法。附录1分别对变循环发动机每个部件的计算公式进行了逐一介绍。发动机平衡方程发动机各部件匹配工作时，受如下7个平衡方程制约。1）低压轴功率平衡NN耳=0CLTLmL其中N是风扇消耗功率，N是低压涡轮发出功率率2）CLTL

5、（1）耳=0.99为中间轴机械效mL高压轴功率平衡（2）N是高压涡轮发出功率，THN+N-N耳二0CHCDFSTHmHNCHmH和N分别是高压压气机和CDFS的消耗功率,CDFS=0.99是高速轴的机械效率。WW=0g41g413）高压涡轮进口截面流量平衡3）W是高压涡轮进口截面气体流量,即主燃烧室出口气体流量和冷却空气流量,g41W是通过高压涡轮特性数据线性插值得到的高压涡轮流量，这里忽略冷却的空g41气流量。4）低压涡轮进口截面流量平衡(4)WW=0g45g45W是低压涡轮进口截面流量，由主燃烧室出口气体流量和冷却空气流量计算得g45到，W是通过低压涡轮特性数据线性插值得到的低压涡轮流量，

6、这里忽略冷却g45的空气流量。5）后混合器静压平衡pp=0（5）6162p和p分别是后混合器内、外涵道(主外涵道)的静压，二者应平衡。后混合6162器见图2的6截面.尾喷管面积平衡A-A二0(6)88A为给定的尾喷管8截面的面积，这里A=9.4575e+003、A为按附录1尾喷管的888有关公式计算出的尾喷管8截面的面积，二者应相等。风扇出口流量平衡TOC o 1-5 h zW-W-W二0(7)a2a21a13其中风扇出口的流量W分流为副外涵流量W和CDFS进口流量W，三者之间a2a13a21应存在平衡关系。副外涵流量W是按附录1中前混合器的有关公式计算出的。a13方程(1),(2),(3),

7、(4),(5),(6),(7)中的变量N,N,N,N,N，CLTLCHCDFSTHW,W,W,W,p,p,A,W,W,W各量可分别由附录1中的公式转化为g41g41g45g4561628a2a21a13表3.1所列12个设计中需要给出的发动机各部件参数的函数。表3.1发动机参数说明试给参数说明试给参数说明nL低压转速(风扇、低压涡轮物理转速)ZTH高压涡轮压比函数值nH高压转速(高压压气机、CDFS、高压涡轮物理转速)ZTL低压涡轮压比函数值Z风扇压比函数值aL风扇导叶角CLZCDFS压比函数值acdfsCDFS导叶角CDFSZ高压压气机压比函数值aH高压压气机导叶角CHT*4主燃烧室出口温度

8、aCH低压涡轮导叶角要解决的问题请你们完成以下几个问题：一、1)请画出附录4中风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形。2)设在发动机飞行高度H=11km，飞行马赫数Ma=0.8的亚音速巡航点，导叶角度均设置为0。，风扇和CDFS的物理转速都为0.95,风扇和CDFS的压比函数值都为0.5,求风扇和CDFS的出口总温、总压和流量。二、设在发动机飞行高度H=11km，飞行马赫数Ma=0.8的亚音速巡航点，采用双涵道模式，导叶角度均设置为0。，选择活门完全打开，副外涵道面积设为1.8395e+003，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，尾喷管喉道面积A二9.5544e+003，n=0

9、.85。请运用或设计适当的算法求解由发动机7个平衡方8L程(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)组成的非线性方程组。要求陈述算法的关键步骤及其解释，尽可能讨论算法的有效性。如果你们队还有时间，请研究下面的问题：三、1）设在发动机飞行高度H=11km，飞行马赫数Ma=1.5的超音速巡航点，发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为0。，后混合器面积设置为2.8518e+004。请问发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量为多少时，发动机的性能最优?2）试研究发动机飞行高度H=11km，飞行马赫数从M

10、a=1.1变化到Ma=1.6,发动机特性最优时，CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度，尾喷管喉道面积随飞行马赫数的变化规律。此时发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为0。，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，后混合器内、外涵道面积可调（即不受附剥后混合器给定的内、外涵道面积值的约束）。注：压比函数值的定义见附录3。为了简单，题中各量的单位不需要转换，直接运算认为是合理的。附录1发动机部件计算公式附录2工质热物理性质参数附录3气动函数及其他常用公式附录4数据参考文献苟学中，周文祥，黄金泉，变循环发动机部件级建模技术，航空

11、动力学报，2013,28（1）：104-111.A题发动机评审意见（初稿）一、本题的计分方法，总分110分。1）摘要、写作10分；2）第一问共30分，其中第1小问5分，第2小问25分；在第2小问中，风扇出口的总温、总压、流量计算正确且分析叙述清楚18分，CDFS出口的总温、总压、流量计算正确且分析叙述清楚7分。3）第二问45分；4）第三问25分，第1小问20分，第2小问5分。第1小问正确给出模型给10分，模型求解10分。二、第一问求解说明本问求解过程中，下面3点在论文计算中应有反映。1）本题各部件的模型已给，但各部件之间的联系，要靠题意和自己查资料来建模。对于各部件的出口总温、总压、流量的分析

12、是贯穿始终的。如文中应分析出：风扇的出口总温、总压等于CDFS的进口总温、总压。而流量的分析稍微复杂一点，如风扇的出口的流量等于CDFS进口流量和副外涵道进口流量的和等。2）对特性数据的线性插值方法。这里虽然是线性插值，但二维的插值的方法仍然较多，文中应叙述插值模型或算法步骤，有分析比较更好如果是用Matlab软件进行插值，本题使用griddata命令可直接完成插值，如果使用interp2和interpl必须要辅助于其他的方法，否则不能完成线性插值。3）利用熵函数和焓函数反求温度。可以使用二分法，也可以使用别的求解方法。如果使用Matlab求解的应注明求解命令。如fzero（fun,xO）等。

13、注1：这三点在以后各问中也必须考虑，但是在论文的的叙述过程中不一定反映；如果这三点出现明显的错误则以后各问的求解结果也一定是错的。因此上在打总分时要考虑这个细节。注2：由于采用的插值方法和求解方程的方法不同，造成了求解的结果不同，但在本问的求解结果中差异应该不大。三、对第二问求解及评分的说明本问因求解方法灵活，因此给分细节暂时不好确定，还请各位专家多讨论。1）在本问求解中除了整体上对平衡方程的求解外，还应包括对气动方程的分析和反解，但是研究生们可能在程序中有考虑，但不一定写进了论文。2）燃烧室后各部件的熵、焓函数应使用燃气的熵、焓数即要考虑油气比；气体常数，也应该同燃烧室前面的系数不同；前混合

14、器的流量系数应同后混合器的流量系数不同。3）平衡方程（7）相对难于理解，题中已经做了提示，风扇、CDFS的流量是用其特性数据线性插值出来的，而副外涵道流量是用前混合器计算的前四步求出来的。4）气动函数的反解方法可以有多种，如二分法，牛顿迭代法等，也可以直接使用Matalab工具箱求解。5）平衡方程的求解方法，传统方法使用N+1参量法，其缺点是初始值不好选取，如果选的不合适，就有可能得不到解。在本题我们希望看到更多的求解方法，如粒子群算法等，对初值选取方法的讨论是必须的。但不管使用什么解法，都要结合本问，写出明确的算法思想或算法步骤等。6）算法的有效性分析等。题目中已经提出尽可能的讨论算法的有效

15、性，在评分中应该有所反应。7）平衡方程求解中，应使用相对误差来度量残差误差，因为各量之间的单位不同，相差量级不同。8）计算应有结果，平衡方程应叙述残差的误差级。本问很难给出一个统一的求解结果，因为初值不同，插值方法不同，气动函数、熵函数、焓函数的反解方法不同，其结果就不相同。本问中各平衡方程的残差的量级不一样，特别是平衡方程（7）的相对残差级在0.6左右，其余大部分平衡方程的相对残差不超过0.001个量级。9）本题的第二问求解误差比较大，因此很自然的想法是调整后混合器的面积来提高精度，但是由于平衡方程（7）不涉及后混合器，所以调整后混合器的面积不能改进平衡方程（7）的求解误差。基于以上考虑第二

16、问的计分方法如下：1）平衡方程求解算法叙述正确10分。2）平衡方程求解算法有效分析10分。3）使用已给的算法对平衡方程的求解分析正确，求解合理（包括各部件的求解的分析，部件之间联系的讨论、气动函数反解的讨论、使用相对误差来度量残差误差，算法初值的讨论等）25分。四、第二问的一种求解方法1）.第二问的求解除了考虑7个平衡方程。还应该考虑q）,（九）小于1这个条件。这样解7个平衡方程，实际上还应考虑如下的两个不等式，即WT*g1251251（1）（kp*A）m125125-3351（2）p*225而这两个不等式只涉及风扇、CDFS、高压气机的参数，低压转速、高压转速、和他们的压比函数值，在低压转速

17、给定的条件下，实际只有四个参数，这四个参数都位于0到1之间。可以采用遍历的方式找到满足不等式的解。然后把满足不等式的解代入到平衡方程（7）中，计算相对残差，然而满足上面两个不等式的残差很大，不超过0.6的参数已经很少，可将其代入到其余六个平衡方程中计算相对残差。注：平衡方程为：W-W-W=0a2a21a13以上求解思路不需要考虑初值，研究生们不一定能够能想到。五、第三问是一个优化模型和控制模型。本问中的优化模型对发动机的特性最优的理解不同，建立的模型也会不相同。发动机特性最优要考虑的特性有：推力最大、耗油率最低、喘振裕度最小、不超温、不超转等。优化模型的约束条件包括：7个平衡方程，导叶角度的范

18、围，各部件的压比函数值的范围在0到1之间，主燃烧室的出口温度在0到2000，高、低压转速位于0到1之间，尾喷管喉道面积大于0。所建立的模型可以是单目标优化模型，也可以是多目标优化模型。但发动机的最优特性至少要考虑推力和耗油两个特性。由于采用单涵道模式，选择活门已经关闭，平衡方程(7)自然成立，所以不需要考虑前混合器，平衡方程变的简单了。本问的第2小问可以在第1小问的基础上，对模型稍加修改后(如再加上约束条件:飞行Ma数在1.1到1.6之间，后混合器内外涵道的面积和为2.8518e+004且都大于0等)求解，也可以另建模型。六、第一问答案量流110100908070605040300.10.20.30.40.50.60.70.80.91压比函数值1)利用附录4数据画出风扇流量随压压比函数值变化的图形。200不同的物理转速，流量随压比函数值变化的图形不同，图中应有9个曲线，它们近似平行。2)在H=11km，Ma=0.8的亚音速巡航点，导流叶片角度均设置为0，风扇的物理转速都为0.95，风扇0.5,H=11.0;Ma=0.8;气体绝热指数k=1.4;气体常数R=287.0;计算进气道出口总温总压，即为风扇进口总温，总压T*二T=244.381210p*=pm=0.344710i(1)风扇的压比函数值zz=05、物理转速n二0.95、压气机导叶角度=0解答。风扇出口总压：p*=