3.2.2复数代数形式的乘除运算

1、第三章数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算4 已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，dR)(a+bi)(c+di) =_.1.加法、减法的运算法则2.加法运算律：对任意z1，z2，z3Cz1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)交换律：结合律：(ac)+(bd)i 温故知新已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，dR)3.复数加、减的几何意义设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应.xoyZ1(a，b)Z2(c，d)ZoxyZ2(c，d)Z1(a，b)向量OZ1+OZ2z1+z2向量OZ1-OZ2

2、z1-z2 复平面中点Z1与点Z2间的距离|z1-z2|表示：_.已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，dR)4.复数模的几何意义：Z1(a，b)oxyZ2(c，d)特别地，|z|表示：_.复平面中点Z与原点间的距 离如：|z+(1+2i)|表示：_.点(-1，-2)的距离点Z(对应复数z)到 探究点1 复数乘法运算 我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i.即 (a+bi)(c+di)=

3、(ac-bd)+(ad+bc)i注意：两个复数的积是一个确定的复数. 新知探究 探究点2 复数乘法的运算律复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？请验证乘法是否满足交换律?对任意复数z1=a+bi,z2=c+di则z1z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i而z2z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i 所以 z1z2=z2z1(交换律) 新知探究乘法运算律对任意z1 ,z2 ,z3 C,有 z1z2=z2z1 (交换律) (z

4、1z2)z3= z1(z2z3) (结合律)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).解:(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i.分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1 典例解析例2 计算:(1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2.解: (1)(3+4i)(3-4i) =32-(4i)2 =9-(-16) =25. (2)(1+i)2 =1+2i+i2 =1+2i-1 =2i.【总结提升】（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后

5、加减，有括号应先处理括号里面的 归纳总结探究点3 共轭复数的定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.实数的共轭复数是它本身.思考：若z1，z2是共轭复数，那么（）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（） z1z2是一个怎样的数？记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作=a-bi 新知探究解：作图yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,0)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o得出结论：在复平面内，共轭复数z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称.令z1=a+bi,则z2=a-bi则z1z2=

6、(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-b2i2 =a2+b2结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.探究点4 共轭复数的相关运算性质 新知探究 探究点5 复数除法的法则 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则. 新知探究复数除法的法则是:方法:在进行复数除法运算时,通常先把 在作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”. 归纳总结先写成分式形式然后分母实数化,分子分母同时乘以分母的共轭复数结果化简成代数形式B 当堂达标2. 若复数z=1+i (i为虚数单位) 是z的共轭复数 ，则 + 的虚部为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 3.（2014新课标全国卷） ( )A B. C. D.BA5.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值.注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.ii1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成1，并且把实部和虚部分别合并.2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立.3.当两个复数的实部相等，