抽象函数练习

1、抽象函数练习1、已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间2，1上的值域。2、已知函数对任意，满足条件，且当时，求不等式的解。 3、设函数的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何，成立。求：（1）； （2）对任意值，判断值的正负。4、是否存在函数，使下列三个条件：；。同时成立？若存在，求出的解析式，如不存在，说明理由。5、设是定义在（0，）上的单调增函数，满足，求：（1）；（2）若，求的取值范围。6、设函数的反函数是。如果，那么是否正确，试说明理由。7、己知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；是定义域中的一个数）；当时，。试问：（1）的奇偶性如何？说明理由

2、。（2）在上, 的单调性如何？说明理由。8、已知函数对任意实数都有，且，当时，。（1）判断的奇偶性；（2）判断在0，）上的单调性，并给出证明；（3）若且，求的取值范围。9. 已知函数的定义域是1，2，求的定义域。10. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。11. 定义域为的函数，同时满足下列条件：；，求的值。12. 设函数定义于实数集上，对于任意实数，总成立，且存在，使得，求函数的值域。13. 设对满足的所有实数，函数满足，求的解析式。14. 设定义于实数集上，当时，且对于任意实数，有，求证：在R上为增函数。15. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断的奇偶性。参考解答：1、解：设，当，即

3、，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。2、解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 a 3。3、解：（1）令y0代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故对任意x，f（x）0恒成立。4、解：由题设可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如

4、下：（1）x1时，又x N时，f（x）0，结论正确。（2）假设时有，则xk1时，xk1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。5、解：（1），f（1）0。（2），从而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函数，故，解之得：8x9。6、解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。7、解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，f（x）是奇函数。（2）设0 x1x22a，则0 x2x12a，在（0，2a）上f

5、（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函数。又，f（a）1，f（2a）0，设2ax4a，则0 x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。设2ax1x24a，则0 x2x12a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。8、解：（1）令y1，则f（x）f（x）f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）为偶函数。（2）设，时，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函数。（3）f（27）9，又，又，故。9.解：的定义域是1，2，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是1，410、解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是11.解：取，得因为，所以又取得12.解：令，得，即有或。若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以13、解：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：14.证明：在中