内切球和外接球例题

1、B.20C.241、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两高考数学中的内切球和外接球问题之阿布王 仓IJ作一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的概况积为. 27 .例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的概况积为24,则该球的体积为43.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的概况积为.14 .例4、（ 2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面 上的正四棱柱高为 4,体积为16,则这个球的

2、概况积为A.16D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱9柱的体积为8,底面周长为3,则这个球的体积解设正六棱柱的底面边长为 x,高为h，则有 TOC o 1-5 h z 6x 3,1_ x -,9 A3 2.216 x h,r84 h 43r.正六棱柱的底面圆的半径2,d %d,球心到底面的距离2 .外接球的半径R . r2 d2 1二、构造法（补形法）两垂直，且侧棱长均为则其外接球的概况积是9 .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，. 把这个三棱锥可以补成一个棱长为 代的正方体，于是正

3、方 体的外接球就是三棱锥的外接球 .设其外接球的半径为222229R,则有2R 曲西亚 9 R 4.故其外接 球的概况积S 4 R2 9 .小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为小仄c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R,则有2R &2官c2.出 现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体越中，共顶点的三条棱两两 垂直，其长度分别为1而若该四面体的四个顶点在一 个球面上，求这个球的概况积。长所以：四面体外接球的直径为旌的长即： 4炉=出?口+工+山，4如=12+3*+匈,=16所

4、以&二2球的概 况积为 = 4次=16骞例6. 一个四面体的所有棱长都为 正，四个顶点在同 一球面上，则此球的概况积为（）A.3 B. 4 C. 3 3 D. 6解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角 三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等， 我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一 个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体 A BDE满足 条件，即AB=AD=AE=BD=DE BE 由此可求得正方体 的棱长为1 ,体对角线为 ,从而外接球的直径也为 n, 所以此球的概况积即可求得，故选A.例 7.在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2 , DAB=60 0 ,

5、 E 为 AB的中点，将 ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使 A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线2、构造长方体以 AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥P-DCE为正四面4 366A.方 B. 5 C. 万D. 24解析：因为 AE=EB=DC=1 , DAB= CBE= DEA=60 0 ,所体，至此，这与例6就完全相同了，故选 C.例8 .已知球0的面上四点A、B、C、D,DA 平面 ABC , AB BC , DA=AB=BC= 73 ,贝|J球 O 的体积等解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，

6、求出 球的半径.而利用长方体模型很快即可找到球的直径，由于DA平面ABC , AB BC ,联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为 DA=AB=BC=,则此长方体为正 方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解9出CD=3 .故球O的体积等于2例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB 平面 BCD , BC DC ,若 AB 6,AC=2a/T3,AD=8 ,则球的 体积是.解析：首先可联想到例8,构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求 B、C 两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在Rt ABC中，求出BC=4,所以BOC=60,故B

7、、C两点间的球面距离是43 .三.多面体几何性质法例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的概况积是A.16 B. 20 C. 24 D. 32解 设正四棱柱的底面边长为 x,外接球的半径为R,则有4x2 16 ,解得x 2.2R V22 22 4 2 2旄，r旄.这个球的概况积是4 R2 24 .选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角五.确定球心位置法线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的例11.在矩形ABCD中，AB4,BC 3 ,沿AC将矩形四.寻求轴截面圆半径法ABCD折成一个直二面角B ACD ,则四面体ABCD的外接例11.正四棱锥S AB

8、CD的底面边长和各侧棱长都为球的体积为72,点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为解设正四棱锥的底面中心为 01,外接球的125A. 12125d.TB.1259C.1256球心为0,如图1所示.由球的截面的性质，可解设矩形对角线的交点为0,则由矩形对角线互得001平面ABCD相平分，可知0A 0B 0C 0D . .点。到四面体的四个顶又S01平面ABCD.球心。必在S01所在的直线上.点A、B、C、D的距离相等，即点。为四面体的外接球的球ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆- 54 3f ,R OA - V 球一R3心，.外接球的半径2.故31256.选 C.的半径就是外接球的半径.在ASC中，由SA SC 亚，AC 2,得SA2 SC2 AC2上,【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面ASC是以AC为斜边的RtAC 12是外接圆的半径，也是外.V球接球的半径.故43解:10AB LBCPC二底AC= 10因为置+2=W3所以知上C = F# +尹不