数学建模(方红)教学课件19.层次分析法

1、 层次分析法（AHP） 首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。1 基本原理 假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只西瓜的重量分别为W1，W2，Wn。把这些西瓜两两比较，很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的比较矩阵：A= =(aij)nn 显然aii= 1，aij =1/aji，aij =aik/ajk， i、j、k= 1，2，n AW=nW那么就有： 即n是A的一

2、个特征根，每只西瓜的重量是A 对应于特征根n的特征向量的各个分量。 很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西瓜的重量呢？显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解特征值问题 AW= maxW求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从而得到n只西瓜的重量。所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系:aij =aik/ajk, i、j、k= 1，2，n上式完全成立，称判断矩阵具有完全一致性。此时矩阵的最大特征值max=n，其余特征值均为零。在一般情况下可以证明

3、判断矩阵的最大特征根为单根，且maxn。当判断矩阵具有满意一致性时，max稍大于矩阵阶数n，其余特征值接近于零。这时AHP得出的结论才基本合理。2 基本步骤 2.1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面 为方案层，中间是准则层或指标层。 买钢笔 质量 颜色 价格 外形 实用 可供选择的笔 方案层 准则层 目标层若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。还可以建立 子层次。 目标层：准则层：方案层：目标层合理选择科研课题A成果贡献B1人才培养B2课题可行性B3课题D1课题D2课题D3应用价值 c1科学意义 c2难

4、易程度 c3研究周期 c4财政支持 c5方案层准则层1准则层22.2 构造成对比较矩阵 判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相当重要性。假定A层中因素Ak与下一层次中因素B1，B2，Bn有联系，则我们构造的判断矩阵如下表所示： bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示。Ak B1 B 2 BnB1 b11 b12 b1nB2 b21 b22 b2n Bn bn1 bn2 bnn Bij通常取1、3、5、7、9及他们的倒数 尺度 第i个因素与第j个因素的影响相同 第i个因素比第j个因素的影响稍强 第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影

5、响明显强第i个因素比第j个因素的影响绝对强 含 义135792,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。显然，任何判断矩阵都应满足： bij0 , bii = 1， bij = 1/bji，因此，对于这样的判断矩阵来说，作 n(n-1)/2次两两判断就可以了。i，j = 1，2，n2.3 层次单排序和一致性检验 层次单排序就是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。可以归结为，求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。即对判断矩阵B，计算满足: BW= maxW的特征根与特征向量。式中，max为B的最大特征根；W为对应于max

6、的正规化特征量；W的分量Wi即是相应因素单排序的权值。 计算一致性指标(Consisteney Index):CI 显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0，max-n越大，CI越大，矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均一致性指标RI进行比较。查找相应的平均随机一致性指标：RI对n=1、2、39，Saaty给出了下表所示值： n1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 计算一致性比例：CR 当CR0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。2.4 层次

7、总排序和一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。对于最高层下面的第二层，若上一层次A包含m个因素,A1，A2， Am ，其层次总排序权值分别为a1，a2， am，下一层次B包含n个元素B1，B2， Bn，它们对于因素Aj的层次单排序权值分别为bj1，bj2， bjn（当Bi与Aj无联系时，bji0），此时B层次总排序权值由下表给出。(1)式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应的层次中判断矩阵的一致性指标；(2)式中，RI为层次总排序的随机一致性指标,RIj为 与aj对应的层次中判断矩阵的随机一致性指

8、标；(3)式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。当CR0.10时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性。(1)(2)(3)2.5 判断矩阵的计算方法 在层次分析方法中，最根本的计算任务是求解 判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。在层次分析法中，判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量的计算，并不需要追求太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题定量化的结果，允许存在一定的误差范围。常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量：和法和根法。和法计算步骤 (1)将判断矩阵每一列归一化: 所求特征向量:(2)对按列归一化后的判断矩阵再按行求和: (3)将求和后的向量归一化: (4)计算最大特征根: 列向量归一化求和归一化精确计算，得应用一：资金分配决策 某个工厂可以使用一笔企业留成利润，由厂领导和职工代表大会决定如何使用，可以选择的方案有：发奖金、扩建福利设施和引进新的设备，为了进一步促进企业的发展，如何合理的使用这笔利润？应用二：城市主导产业决策分析 目标层(A) 准则层(C)对象层(P)市场C1 效益C2 资源C3能源工业P1