结构动力特性与动力反应

1、第四讲构造动力特性与动力反响【内容提要】自由度体系周期、频率计算，简谐荷载与突加荷载作用下简单构造的动力系数、振幅与最大动内力，阻尼对振动的影响。一、概念（一）动力荷载荷载大小、方向和作用位置随时间而改变。按时间可分为周期荷载、冲击荷载、突加恒载和随机荷载。（二）动力问题的特征构造在动荷载作用下，其上质点产生惯性力，抵抗变形还产生阻尼力，因此，构造的内力和位移成为时间的函数。（三）动力响应构造在动荷载作用下产生的动内力和动位移，统称为动力响应动力反响。它不仅与动荷载有关，还与构造动力特征固有频率、振型和阻尼有关。（四）动力自由度描述一个体系在振动过程中全部质点的位置所需要的独立变量数目。二、单

2、自由度体系的振动方程刚度法1.按平衡条件建立振动方程如图6-4-1所示单自由度体系，取质量的为隔离体口其上作用力为动力荷载;F弹性九为。=一。炖）式中负号表明弹性力与质点的位移方向相反，后11为刚度系数.阻尼力：尸，）=-号（上）负号表示与质重加速度夕匕）方向相反，C为阻尼系数.惯性力：耳（小二-冲负号表示与质量速度手（E）方向相反.根据达朗贝尔原理，有平衡方程7=F或+O十占/=F,）（G-4-l）2按位移协调建立方程一一柔度法设质量/在单位力作用下的位移为人1，则动位移儿”出）+/）+%）出或y=F（t（6-4-2）/iiJu称为柔度系数，九二上出ii三.单自由度体系的振动.无阻尼自由振动

3、令网力:3%（力=Q,得无阻尼自由振动方程里+占尸=0（643）让吁恒.工V胭皿1田称为体系的自振频率口解式（6-4-3）,可得-Rsin（.+研）式中其中为，.分别是质量物的初位移和初速度，A为质点掰的振幅，/为初相角。Z受迫振动（1）简谐荷载下阻尼体系的受迫振动,idII=iO对+C7+y-Fi6-4-2）/口称为柔度系数.7=上1J或4+cy+y-F（t）（6-4-2）力i工1称为柔度系数，?；!=比11三、单自由度体系的振动L无阻尼自由振动令得无阻尼自由振动方程度十%y=0（0-4-3）让出称为体系的自振频率。解式（6-4-3）,可得沌）=j4sin（而+J式中其中1y口，%分别是质量

4、部的初位移和初速度，&为质点用的厕曲伊为初相角.2受迫振动W茴谐荷载下阻尼彼系的受迫振动6-4-2其振动模型如图&4-2Q）所示。体系的阻尼因素用图中的阻尼器表示，C为粘滞阻尼系散，F）=尸加比为干扰力，炖）为质点自静平衡位置售起的动位移，在任一胭时质点处于动平衡，取图8-4-2lb）所示隔离体，作用在质点上的力有,弹性力/）二-5则，阻尼力R二-CP&）干扰力产二产即日日和惯性力叫二-羽.于是可列出如下的动平衡方程用十/y）=尸殉&tS）引入”工（i）2牌G称为阻尼比，于是可得方程在稳毒受迫振动时的解为炖）二工面（去一切）式中5用歹这一|制1-A其中尸=正才+4称为动力系数.少才二二号n为在

5、干扰力幅值作用下质点冽的静位移.户二称为频比.由上陷GG式可知，动力系数外与F和e有关口当875（产L2腕围内（称此范围为共振区）对口的舞响极大；但在此范围以外，则4时*的题向较小.也就是说，在共振区范函内要考虑阻尼的影响，而在共振区之外，可按无阻尼考虑.心的最大值发生在6二正2F处,因通常很小，近似地认为行;1时体系发生共振,此时动力系数日式可得由解）（）可知,因阻尼的存在，位移总是滞后于振动荷载.电）在尚谐荷载作用下，无阻尼的单自由度体系的受迫振动.将上述有阻尼情况所得的计算公式中，令=0（或C=。），即可得无阻尼时的计算公式.动平衡方程为础小）十七/年）=用心物其稳态解为券Q）-工win

6、8工式中月已,/三川荷%动力系数为加八金共振时=8现港察图匕4r（口）所示单自由度体系，由于基珈的水平方向简谐振动以。=UsinGe所引起质点处的振幅.不考虑阻尼口JLI）ITT?1-4图6-4-3质点腮在某一固时的位移如图值Y-3Q）所示，它由两部分位移组成。一是随基础一起发生位移邛）？另一是与基础的相对位移炖），放质点上的弹性力sQ）=f.0而惯性力（）=-司航）+双处以质点为隔离体（图ET-30）可得动平衡方程为一脚心|十）一自/&）=0或那沌）+用/。）=%或）3）将口,）二U51n8f代入上式1可得濯沌）十上ll/Q）=铲就弘侯）将上两式与式（/）对照可知，-加Q）相当于初荷载Rf）

7、，而透口日，则相当于简诸荷载的幅值p，由此可得质点隗相对于基础的位移幅值y0为mw1于是，质点船总的位移幅值为=5+网十=河因户=，且卬=匚匚一叵,当白不变，而片1越小或工1越大n就越小，而一越大，A值髓之越小.此时从隹（门可知，质点旧的振动幅值较之基础水平振动幅值要小得绻.我们常利用这一特点来采取隔振措施.如对精密仪器的工作台为了防振，将其支承在柔性弹簧上，可以达到较好的隔振效果.四、多自由度体系的自由振动图卜4-4研疣多自由度际系的自由振动主要是求体系的自振频率和相应的振型.如图B-4Y（口）所示两个自由度体系，可按图B-47（所示在两个惯性力作用下，琴照图日-4-48）、（d）所示柔度系

8、数！可列出两个质点的位移方程为；F山”一加J1，）工啊5M论总（力=-附国?忧一吗%（E）为设兄田=儿仙献+招式S）代入方程消去因子sin（温上十劝，并加以整理可得因玛,当不能全为零,故应有令4二3，展开上式并解之可得小九;啊%评?叫-用也优心+即 八 ，两个自振频率为队称为第一短率，叫称为第二频率.由式）第一式可求出时应于工两个频率的两种振动型式（称之为正振型），即第一振型为朗说5此五FT二a第二振型为据此可分别作出两个主振型图.可用振里的正交性第+附居/1。进行校核.值得指出：当年系即寸称时，则体系主振型四妹是对称的和反对称的自由振动.如图氏4-69）所示刚架，它为两个自由度体系.到西横梁

9、的动平衡方程时，先设想在两横梁处加上附加水平链杆，如图6-4-53）所示口根据两附加链杆总的水平反力应前零并参照图6-4-58）、）、（？）所示的链杆反力，可列出动平衡方程为sinftyt + *加以整理可得1%I占工认网叫叫%九口十拈用团+竭弗”0也）+%。）+%沏=口将式（0）代入上式并小曲因子除一g/以+垢&=口招M+k一但风=0）因也不能全为零，故应有TV_k|一叫山）用士_.展开上式并解之可得据此可求径第一频率组和第二频率Q由式（C）第一式可求得相应的两个振型分别为:就：刈姬二知k=区叫耳:一上“一CF一巴据此可以作出振型图【例题1】分析图6-4-6（a）、（c）、（e）、（g）、（

10、i）所示体系的自由度。不计杆件的分布质量图5-4-5解：图&4W所示体系有一个质点，不计杆的轴向变形，则质点只能水平运动，不能竖向运动，只有一个位移分量)(力，故自由度为L若在质点上加一个水平支杆，则质点不能发生任何运动(图87-的)，也可确定其自由度为，型0-4-5(q)所示弹系有两个界点口不计杆的轴向变形，两个质息的水平位移相同均为yg),尚无竖向便移，若在其中一个质悬上加f水平支杆则两个质点挽不能运动(图自TFd)口故凌体系具有一个自由度为单自由度体系,可见，自由度数不一定等于质点个数；自由度与体系是静定结枸还有超静定结构无关口氧上4FQ)所示陲系有一个质点.由于杆件可发生弹性弯曲变形，

11、贵点有竖向和水平的两个位移分量，这两个位移相互独立,故有两个自由度0加支杆确定时如图日Y-Bff)所示.图6-4-6(g)所示体系有两个质点，杆件可发生弹性弯曲变形，质点有竖向和水平的两个位移分量，这两个位移相互独立，故有两个自由度。加支杆确定时如图6-4-6(h)所示。图6-4-6(i)所示体系有两个质点，质点有竖向两个位移分量和水平向一个位移分量，这三个位移相互独立，故有三个自由度。加支杆确定时如图6-4-6(j)所示。【例题21图所示为二层房屋的动力计售简图柱子无质量（质量已集中到横梁），不计梁的弯曲变形（打/二的），谶定其自由度口解：由于不计杆的轴向变形F梁的两端不能上下运动；又因为梁

12、无穹曲变形，梁上各点只能水平运动且位移相同.只要在两个梁端加水平支杆，则所有质量均不能运动（如图bh故此体系有两个自由度.【例题3】列出图6TVQ）所示简支梁的运动方程.E6-4-8解：设以为质点重力娟引起的静位极强）为从静平衡位置量起的附加位物为质点的总位移视图匕4-8a）,在质点上加惯性力-加依），列位移方握有几伊（力-附附+叫=明式中左端三项分别为动荷戟、惯性力、重力引起的位根将y（力=y+4,?（力=同）代人上式,得益回）-砒）+呵=尸卜）+%注意日工科=A行代入上式用庙点的运动方程九固工）-即囿=yfy）式中：柔度系数可由图乘法求得/1=（图6-4sb）.由此可见,重力对动位移了6没

13、有彩响,列运动方程时可不予考虑.【例题4】列出图6-4-g（a）所示体系的运动方程0解;图示点系是单自由度体系，设用点位移向右为正，沿位移正向加，愦性力闿上十比，用柔度法列位移方程沌）=卜掰辿）工i+g式中：柔度系数工l和位移5/（图6-4Sc、由可由图乘法求得为2%，。玛代A上式得运动方程为或於）+卷咖=；呐啜4题【例题G如图57-10Q）为初制悬臂梁I梁端部有一个质量为123kg的电机.已知梁长为1加弹性模型&二2.06刈。”切切之，截面惯性矩/二了心修、不计理的自重，求自振频率和周期.城,“也;皿血血）一ffle-4-io解：里位力作用下的单位弯矩图如图日-4-10伪）所示由图乘法计售柔

14、度系数，为P3x206 xlOJ1x7g xlO 则，123x2.074x102n 2x3.14=62.6s162.60.1s=2.074xWm/N1例题6求图6Y-11所示排架水平振动的自振频率，不计横梁变形.(U5-4-11 解：图示张系为单自由度体系.为求刚度系数，在质量上沿位移方向加睫杆,并令建杆沿位移对t发生单位移动（如图6YTlb求出除杆反力位口图6YTLG即为刚度系数3E1则体系的自振频率为（注意思质量为2J + mAa?于是毋以。为矩心列力矩平衡方力情况见图以必作矩心列力矩方程因为A#6所以有设为船则D质点最大位移为已知杆的刚度为无刃大，不计杆的质重，弹黄刚度【例题靖求如图6F74 fa）所示体系右端质点的振幅口电 设所求振幅为匹将惯性力幅值加在质点上，如图&4-14解：图示体系为单自由度体系.由于两个质点上的惯性力不共线，所以不能将质量合并按单自由度棒 系