材料力学第三章课件

1、第 3 章 扭 转3-1 概述3-2 薄壁圆筒的扭转3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件3-5 等直圆杆扭转时的变形 刚度条件3-6 等直圆杆扭转时的应变能3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形*3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形13-1 概 述M23变形特点: . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动；. 杆表面的纵向线(母线)变成螺旋线；受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直的平面内受外力偶。纵向线43-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒通常指 的圆筒当其两端面上作用有外力偶时，任一横截面上的内力偶矩扭矩(torque)5 . 薄壁圆筒横截面上各点切

2、应力的变化规律表面变形情况：(1) 周向线绕轴线转动,形状及尺寸不变(2)周向线间的距离保持不变(3) 纵向线仍为直线,但发生倾斜周向线纵向线轴线6推论：(1) 横截面形状和大小不变，即横截面象刚性平面一样(平截面假定)绕轴线转动；(2) 横截面间的距离不变。7横截面上的应力：(1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所有点的切应力相同；(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3) 横截面上无正应力，处于纯剪切状态。8令，上式可写为. 薄壁圆筒横截面上切应力计算公式由 并结合应力均匀分布的特点得 ，于是有9. 剪切胡克定律(Hookes law

3、in shear)(1) 薄壁圆筒表面格子的直角均改变了g,这种直角改变量称为切应变(shearing strain).(2) 圆筒两个端面绕轴线产生了相对扭转动角j.(3) 在假定切应力均匀分布情况下,切应变也均匀,故有g =j r0/l,此处r0为薄壁圆筒的平均半径.10实验表明：当横截面上切应力t 不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )与相对扭转角j 成线性关系,从而可知t 与g 亦成线性关系，即：剪切胡克定律G材料的切变模量(shear modulus)。113-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图. 传动轴的外力偶矩P 转轴上输入或输出功率n 转轴转速外力偶

4、矩Me亦称为转矩12. 扭转时横截面上的内力扭矩Me1Me2Me3Me4Me5Me1Me2Me3扭矩符号规定：面对选定单元体的截面,逆时针转的扭矩为正,顺时针转的扭矩为负.习惯假定扭矩为正.T视线Me4Me5T视线13III. 扭矩与外力偶矩的关系 取截面左边的单元体： 面对选定单元体的截面,顺时针转的外力偶在截面上产生正的扭矩,逆时针转的外力偶在截面上产生负的扭矩.扭矩的大小等于外力偶矩的大小.截面上总的扭矩等于该单元体上所有外力偶单独作用时在截面上产生的扭矩的代数和.Me1Me2Me3T视线以横坐标表示截面位置,纵坐标表示各截面扭矩大小,并按适当比例绘制出的二维图形.IV. 扭矩图Me41

5、234Me1Me2Me3n【例3-1 】 转速 n = 300 r/min ,主动轮1输入功率为P1 = 500 kW ,从动轮输出功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试画扭矩图.2）画扭矩图 4774.5 Nm9549 Nm 6366 Nm+-Me41234Me1Me2Me3n【解】1） 计算外力偶矩【课堂练习】若将从动轮3与4对调如图,试作扭矩图.这样布置是否合理？4774.5 Nm11140.5 Nm4774.5 Nm+_对调后4774.5 Nm9549 Nm 6366 Nm+_对调前Me31243Me1Me2Me4n对调后17m=k

6、 xxO【例3-2】图示杆受矩集度m=k x的线性分布力偶作用，试画出杆的扭矩图.Txm=kxT(x)T(x)+dT(x)dx(1)变形几何关系 圆轴扭转前的横截面,变形后仍保持为平截面,其形状和大小不变,半径仍保持为直线,横截面象刚性平面一样绕轴线转动了一个角度.从受扭圆轴上同轴截出半径为的微段dx,设微段左右端面相对转角为d,其端面上承受的扭矩为T,纵向线AB转角为 .OdTTdxBAB. 横截面上的应力3-4 等直圆杆扭转时的应力强度条件OdTTdxBAB因故即受扭圆轴横截面上任一点的切应变与该点的半径成正比当=R时，得max=R即横截面边沿上各点的切应变最大令单位长度相对扭转角,同一截

7、面其为常数则（2）物理关系 圆轴处于比例极限内,由胡克定律知即受扭圆轴横截面上任一点的切应力与该点的半径成正比当=R时,得max=GR即横截面边沿上各点的切应力最大TmaxmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmax(3) 静力学关系dAORT圆截面的极惯性矩,它是一个与圆面积有关的几何量则即抗扭刚度 考虑到令22令 抗扭截面模量 将 代入 得令 =R,则则 TmaxmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmax23.极惯性矩IP和抗扭截面模量WP(1)空心圆截面OdD其中(2)实心圆截面ddA=2d24MeMeOzxydxdzdy右左上下FS上=上dxdzFS下=下dxdz FS左=左dydz

8、 FS右=右dydz . 切应力互等定理 切应力互等定理 ：在互相垂直的两个平面上,切应力必然成对存在且数值相等;二者都垂直于两平面的交线,共同指向或共同背离两平面的交线.该定理在任意应力状态下均成立.xyzxyyxxzzxzyyzxy=yxyz=zyzx=xz思考：为什么竹竿受扭后先沿纵向（母线）破环？(1)圆轴扭转时的破坏现象 塑性材料如低碳钢在受扭过程中先屈服,如继续增大载荷,试件将沿横截面破坏. 脆性材料如铸铁等在受扭过程中,变形始终很小,试件沿与轴线成45的螺旋面破坏.I. 强度条件低碳钢铸铁对塑性材料： u s对脆性材料： u b(2)许用切应力和安全系数 1.剪切极限应力构件扭转

9、时，产生过大塑性变形或断裂时横截面上的切应力称为剪切极限应力.用 u表示.2.许用切应力 轴能安全工作时横截面上的最大切应力. n安全系数 许用切应力, (3)圆轴扭转的强度条件 和拉压强度条件一样，解决强度计算的三类问题.强度条件 强度校核设计截面求许可载荷【例3-3】图示阶梯轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。31【解】1）绘扭矩图MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm32AB段内：2）求每段最大切应力AB段直径d1=

10、120 mm，BC段直径d2=100 mm33BC段内：AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm3）校核强度t2,max t1,max且t2,maxt = 80MPa,满足强度条件.343-5 等直圆杆扭转时的变形刚度条件. 扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。MeADBCMejg35若圆轴在标距为l的两横截面间G、IP、T为常数，则相对扭转角： 单位为弧度(rad) 单位为度 ()若圆轴的G(x)、IP (x) 、T (x)为横截面位置x的连续函数，则相对扭转角： 若圆轴在第i段标距li内Gi、IPi、Ti为常数，则相对扭转角

11、： 单位为弧度(rad) 单位为度 ()(a)【例3-4】钢制实心圆轴中,M1=1 592 Nm,M2 = 955 Nm,M3 = 637 Nm,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切变模量G = 80 Gpa.试求横截面C 相对于B的扭转角jBC .【解】1）求I、II两段的扭矩38(a)2）设A截面固定,分别求B、C截面相对于A截面的扭转角jAB、jAC39(a)3）求C截面相对于B截面的扭转角【思考】C截面相对于B截面的转向？ B截面相对于C截面的转向？40【例3-5】图示有锥度的实心圆轴长为l,两端直径分别为D和d,沿轴线承受矩集度为m的均布力偶,轴材料的剪切弹性模量为G.【解】1）求x截面的扭矩ldDm写出轴x截面上半径为的点(x,)的切应力 (x,) 及x截面的扭转角.T(x)dxmT(x)+d T(x)xdx2）求x截面的极惯性矩x截面的直径x截面极惯性矩3）求 (x,)点的应力ldDx4）求x截面的扭转角ldDx轴单位长度最大扭转角(/m).轴单位长度许用扭转角(/m).和强度条件一样，可解决刚度计算的三类问题 .刚度校核设计截面求许可载荷. 刚度