弦切角的性质与圆有关的比例线段课件

1、2.4 弦切角的性质圆心角和圆周角。问题1：在前面我们共同研究过与圆有关的两种什么角？回顾 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。问题2：圆周角定理圆心角定理观察：在图1中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直线BC与DE的交点落在圆周上.在图1中,根据圆内接四边形的性质,有BCE=A.OCABD图1EO(C)ABD图2E当DE变为圆的切线时(如图2),你能发现什么现象?在图2中,DE是切线, BCE=A仍然成立吗?猜想：ABC是O的内接三角形，CE是O的切线，则BCE= A.OCOCCCCCCCCOCOCOCOC1.弦切角:O(C)ABD图2E顶

2、点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。AAAABBBBBCCCCC下面五个图中的BAC是不是弦切角？练一练A(1) 顶点在圆上；(2) 一边和圆相交；(3) 一边和圆相切。弦切角的特征：ABC几何语言: BA切O于AAC是圆O的弦2.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。DBAC= ADCm(1)指出图中所有的弦切角;弦切角有： APC 、 APD 、 APE BPC 、 BPD 、 BPE(2)指出这些弦切角所夹的弧。APC (弧PC) APD (弧PCD) APE (弧PCE)BPC (弧PEC)练一练如图，直线AB和O相切于点P，PC 、PE是弦，PD是直径。ABO

3、PDCEBPD (弧PED)BPE (弧PE)练一练练一练例1.如图已知AB是O的直径,AC是弦,直线CE和O切于点C,ADCE,垂足为D.求证:AC平分BAD.OABCDE12思路一:思路二: 连结OC,由切线性质,可得OCAD,于是有2=3,又由于1=3,可证得1=2OABCDE312例2: 如图,AD是ABC中BAC的平分线,经过点A的O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F. 求证：EFBC.BAEDCFO1.如图，AC是O的弦，BD切O于C，则图中弦切角有 个.4若AOC=1200,则 ACD = .OBDAC6002.如图，直线MN切O于C，AB是O的直径,若 BCM=400

4、,则 ABC等于（ ）A.400 B. 500 C. 450 D.600MCNBAO3.已知O是ABC的内切圆,D,E,F为切点,若 A: B: C=4:3:2, 则DEF = , FEC= .B500700练习：ABFEDCO弦切角-顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们所夹的（或所对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质求解。弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.注意：内容总结方法归纳定理的证明 (化归思想、分类思想)化归化归COCOOC谢谢指导分析：延用从特殊到一般的

5、思路。先分析ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。(1)圆心O在 ABC的边BC上证明:ABOCE(2)圆心0在ABC的内部OC(3)圆心0在ABC的外部,OC2.5 与圆有关的比例线段探究1:AB是直径,CDAB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系?CABPDOACBPDOACBPDOPAPB=PCPD1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。A(C.P)BD探究2:把两条相交弦的交点P从圆内运动到圆上.再到圆外，结论 是否还能成立?PAPB=PCPDP在圆外:易证PADPCB 故PAPB=PCPDP在圆上:PA

6、=PC=0, 仍有 PAPB=PCPDAPCBDPAC 2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.A(B)PODCPAPB=PCPD探究3:使割线PB绕P点运动到切线的位置,是否还能成立?APBODCA(B)PODC连接AC,AD易证PACPDA 上式可变形为PA=PCPD3.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.故PAPB=PCPD仍成立因为A,B重合，探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论?A(B)PODC易证RtOAPRtOCP. PA=PC4.切线长定理 从圆外一点引圆

7、的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.A(B)POC(D)PA=PCPD思考:1.由切割线定理能证明切线长定理吗?如图由P向圆任作一条割线EF试试.A(B)POC(D)EF思考:2.你能将切线长定理推广到空间的情形吗?O例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4.PC= PD,求CD的长. CDABP解:设CD=x,则PD= ,PC=由相交弦定理,得PAPB=PCPD44= 求得 x=10,CD=10例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线EF/CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.求证:(1)DFEEFA; (2)EF=FG ABCOF

8、GED321DFEEFAEF=FAFD又GF=FAFDGF= EFEF=FG例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD.求证:PC=PDPABDC析：PC=PAPB又PD=PAPBPC= PDPC=PD例4.如图,AB是O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C,求证:ACAD+BCBE=AB.ABDECOF分析:A,F,C.E四点共圆BCBE=BFBA.F,B,D,C四点共圆ACAD=AFAB.ACAD+BCBE=AFAB+BFBA =AB(AF+BF)=AB例5.如图,AB,AC是O的切线,ADE是O的割线,连接CD,BD,BE,CE.

9、BAECOD问题1 由上述条件能推出哪些结论?探究1: ACD= AECADC ACE CDAE=ACCE 同理 BDAE=ABBE 因为AC=AB,由 可得 BECD=BDCE 图探究2: 猜想并可证明问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些结论?BAECOD图BAECODFG图ADC ACE 同样可得证明如下:BAECODFG图AB=ADAE,而AB=AC,AC=ADAE,即CAD= EAC,(对应边成比例且夹角相等). ADC ACE 另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆 CFG= AEC,又ACF= AEC, CFG

10、= ACF, FG/AC BAECODFG图问题3 在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割线CFD变成切线CD,得到图(3),此时又能推出哪些结论?BAECODFG图P探究3: 可以推出（1）（6）的所有结论。BAECODQG图P此外AC/DG.ADCE=AECG ACD AECACCD=ADCE 由可得：ACCD=AECG 连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则PCQ= PGD= DBE,故C,E,B,Q四点共圆 习题2.55.如图, O与O相交与点A,B.PQ是O的切线,求证:PN=NMNQQNPOOABM6.如图,PA是O的切线, M是PA的中点,求证:MPB=MCPM

11、A=MBMC=PMMBPPMCMPB=MCPAPCBMO思路：习题2.5习题2.57.如图, AD,BE,CF分别是ABC三边的高,H是垂心,AD延长线交ABC外接圆于点G, 求证:DH=DGACEGBFHD132AECDPBFO习题2.58.如图,O直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P,AE=AC. 求证:PFPO=PAPB12POCPDFPFPO=PDPC又PDPC=PBPAPFPO=PBPA思路：习题2.5 9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出哪些结论?如果BAD= CAD,又有什么结论?BAECOD图BAECODFG习题2.5 9题 将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推出哪些结论?如果BAD= CAD,又有什么结论?BAECODFGAB=ADAE CFCE=CDCG AC=ADAE AC=ABCAD= EAC, ADC ACE ACD=AEC=G AC/FG 如果BAD= CAD,如图,BAECDFG2134 ABD AC