试验设计与数据处理：第9章 配方(混料)试验设计

1、第9章 配方(混料)试验设计(Formula Experimental Design) 第9章 配方(混料)试验设计(Formula Experimental Design)9.0 简述(Overview)9.1 配方试验设计约束条件(Constraint conditions of formula experimental design) 9.2 单纯形配方设计(Simplex formula design) 9.3 配方均匀设计(Uniform mixture design) 9.0 概述(Overview)所谓混料，是指若干种不同成分按百分比混在一起。如饮料、巧克力等。配方试验设计(Fo

2、rmula Experimental Design)，又称混料试验设计(Mixture Experimental Design)：其目的是合理地选择少量的试验点，通过一些不同配比的试验，得到试验指标与成分百分比之间的回归方程，并进一步探讨组成与试验指标之间的内在规律。 混料试验设计在工业、农业和科学试验中都得到广泛的应用。新产品的开发和老产品的技术改造都需要工艺参数优化。搞好工艺参数优化可促进科学技术转变为生产力，对企业提高技术管理水平和经济效益大有益处。9.1 配方试验设计约束条件(Constraint conditions of formula experimental design) 9

3、.1.1 约束条件(Constraint conditions)若y表示试验指标，x1，x2，xm表示配方中m种组分各占的百分比，则混料约束条件 ：xj 0 （j1，2，m） x1x2xm1 说明：在混料设计中，每个混料成分的含量都必须表示成分的百分比。显然每个成分的含量百分比应该是非负的并且它们的总和必须等于1。这也是混料设计与独立变量设计最主要的区别。 9.1.2 混料配方设计中的数学模型(The mathematical models of formula experimental design) 例：试验指标y与x1，x2，x3之间的三元二次回归方程经变换无常数项与二次项，只有一次项与

4、交互项 ：可变为如下的二元二次方程： 最常用的模型可用数据分析求解回归方程9.2 单纯形配方设计(Simplex formula design) 9.2.1单纯形的概念(The concepts of simplex) 单纯形是指顶点数与坐标空间维数相等的凸图形。在单纯形混料设计中，一般都是用正单形，如正三角形，正四面体等。 平面上的正规单纯形是等边三角形，三维空间的正规单纯形是正四面体，当维数3时，正规单纯形不能用图画出。高为1的正规单纯形可表示混料组成顶点代表单一成分组成的混料 棱上的点代表两种成分组成的混料 面上的点代表多于两种而m 种成分组成的混料 内部的点则是代表全部m种成分组成的混

5、料： 正规单纯形内任一点到各个面的距离之和是19.2.2 单纯形格子点设计 （Simplex-lattice design ）单纯形格子设计又叫单形点阵设计。它是混料设计中最先出现的、最基本的一种设计方案。单纯形格子设计的特点是，试验点可以取在正规单纯形的格子点上，它可以保证试验点分布均匀，而且计算简单、准确，回归系数只是相应格子点的响应值的简单函数。9.2.2 单纯形格子点设计 （Simplex-lattice design ） 9.2.2.1 设计原理(Design principle)9.2.2.1 设计原理(Design principle)将图a中高为1的等边三角形三条边各二等分，如

6、图b。则此三角形的三个顶点与三个边中点的总体称为二阶格子点集，记为3，2单纯形格子点设计，其中3表示正规单纯形的顶点个数，即组分数m3，2表示每边的等分数，即阶数d2。将等边三角形各边三等分，如图c。为三阶格子点集，记为3，3单纯形格子点设计，前面的3表示了正规单纯形顶点个数，即组分数m，后面的3表示了每边的等分数，即阶数d。用类似的方法，可得到其它各种格子点集。三顶点正规单纯形的四阶格子点集记为3，4，总共有15个点。 四顶点正规单纯形的二阶和三阶格子点集分别用4，2和4，3表示，如图e和f所示。9.2.2.1 设计原理(Design principle) 小结：正三角形格子点集：3，d 3

7、单纯形的3个顶点，表示3种组分d每边等分数，称为阶数四顶点单纯形格子点集：4，d配方试验点在单纯形格子点上表9-19.2.2.2 单纯形格子点设计试验方案的确定(Determining the experimental layout of simple-lattice design 无约束单纯形格子点设计 无约束的配方设计：是指除了配方设计的约束条件，不再有对各组分含量加以限制的其它条件 各组分含量xj的变化范围可用高为1的正单纯形表示 每种组分的百分比xj的取值与阶数d有关，为1/d的倍数： xj0，1/d，2/d，d/d1 xj 编码：xjzj 对于无约束单纯形格子设计，不必区分规范变量与

8、自然变量。例：当m3，d1时 3个试验点正三角形的三个顶点： （1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）例：当m3，d2时 6个试验点：图示表： 3，2 单纯形格子点设计表表9-2 3,2单纯形格子点设计试验号z1z2z311002010300141/21/2051/201/2601/21/2例：当m3，d3时 10个试验点：图示表： 3，3 单纯形格子点设计表表9-3 3,3单纯形格子点设计试验号z1z2z311002010300142/31/3051/32/3062/301/371/302/3802/31/3901/32/3有约束单纯形格子点设计 除配方设计的约束条件，还要受其它约束条

9、件限制，如： aj xjbj， j1，2，m 有约束单纯形格子点设计 有下界约束的单纯形格子点设计 ： aj xj试验范围为原正规单纯形内的一个规则单纯形单纯形格子点设计表的选用先将自然变量xj（j1，2，m）进行编码编码公式： 或0zj1若自然变量xj无约束，则xjzj 根据组分数m选择合适大小的设计表9.2.2.3 单纯形格子点设计基本步骤(The basicstep of Simplex-lattice design )(1)明确试验指标，确定混料组分(2)选择单纯形格子点设计，进行试验设计(3)回归方程的建立(4)最优配方的确定(5)回归方程的回代 有下界约束时： 将zj 转换成xj无

10、约束时：不用回代 (1)明确试验指标，确定混料组分 根据配方试验目的，明确试验指标，结合专业知识选择配方组成以及各成分的百分比范围。各配方的实际百分比用x1，x2，x3，xm表示。(2)选择单纯形格子点设计，进行试验设计 根据配方试验中的组分m和所确定的阶数d，选择相应的m,d单纯形格子点设计表。设计表中的数值为规范变量zj(j=1,2,3, ,m)，根据编码公式(9-3)或式(9-4)计算出自然变量xj的取值，并列出试验方案。（3）回归方程的建立 例：m，2单纯形格子点设计回归模型 ：回归系数的计算：(4)最优配方的确定 根据规范变量zj与试验指标y之间的回归方程以及有关约束条件，可以预测最

11、佳的试验指标值，及其对应规范变量zj的最佳取值。如果将最佳规范变量zj转换成自然变量，就可得到最优配方。最优配方的确定可以借助有关统计，如第十章中“规划求解”。例9-1：p.207208 某种葡萄汁饮料主要是由纯净水（x1）、白砂糖（x2）和红葡萄浓缩汁（x3）三种成分组成，其中要求红葡萄浓缩汁（x3）的含量不得低于10%，试通过配方试验确定使试验指标y最大的最优配方。试验指标为综合评分，越高越好。 解题过程：(1)编码依题意， x10，x20，x30.1，即 ， ， ， (2)试验方案 由于m=3，故可以选择3,2单纯形格子点设计，试验方案和试验结果见表9-4。 试验号z1z2z3纯净水x1

12、白砂糖x2红葡萄浓缩汁x3评分y11000.900.16.5(y1)201000.90.15.5(y2)30010017.5(y3)41/21/200.450.450.18.5(y12)51/201/20.4500.556.8(y13)601/21/200.450.555.4(y23)(3)回归方程的建立本例3,2单纯形格子点设计的回归方程为三元二次方程，即：将每号试验代入上述三元二次方程，得：(3)回归方程的建立也可能引用公式(9-10)。得：所以，试验指标y与规范变量之间的三元二次回归方程为： (4)确定最优配方利用“Excel”中的“规划求解”工具，得到该方程在 时指标值y取得最大值8.

13、525。(5)方程的回代 由于z1=x1/0.9， z2=x2/0.9，z3=(x3-0.1)/0.9，所以当x1=0.495, x2=0.495, x3=0.1时,该饮料的评分最高。将上述编码计算式代入试验指标y与规范变量之间的三元二次回归方程，得到y=-0.833+7.32x1+6.65x2+8.33x3+12.35x1x2-0.99x1x3-5.43x2x3 9.2.2.4 EXCEL在单纯形配方设计中的应用(The applications of EXCEL in simplex formula design )单纯形配方设计的回归模型是已知的，例9-1是利用回归模型直接求出回归系数，

14、求出的回归方程项数（包括常数项）与试验次数相等，这样就不能利用Excel的回归分析工具来求回归系数。9.2.2.4 EXCEL在单纯形配方设计中的应用(The applications of EXCEL in simmplex formula design )但是，由于，可将上述例子中回归方程的项数减少，于是就可应用Excel中回归分析工具了。 试验号z1z2z3纯净水x1白砂糖x2红葡萄浓缩汁x3评分y11000.900.16.5(y1)201000.90.15.5(y2)30010017.5(y3)41/21/200.450.450.18.5(y12)51/201/20.4500.556.

15、8(y13)601/21/200.450.555.4(y23)例1用EXCEL数据分析来解试验号z1z2z1z2z1z1z2z2评分y1100106.52010015.53000007.541/21/20.250.250.258.551/2000.2506.8601/2000.255.4 9.2.3 单纯形重心设计(Simplex-core design 9.2.3.1 单纯形重心设计试验方案的确定 将试验点安排在单纯形的重心上 重心：单纯形的顶点棱的中点 三角形的中心 四个顶点的重心 m个顶点的重心 9.2.3.1 单纯形重心设计试验方案的确定(Determining the experim

16、ental layout of simple-core design 单纯形重心设计就是将试验点安排在单纯形的重心上。对于一个(m-1)维的单纯形，单个顶点的重心就是顶点本身，共有m个；任意两个顶点组成一条棱边，棱的中点即为两顶点的重心，共有(m(m-1)/2)个；任意三个顶点组成一个正三角形，该三角形的中心称为三顶点的重心，共有 (m(m-1)(m-2)/3!)个；四个顶点的重心有(m(m-1)(m-2)(m-3)/4!)。m维的单纯形重心设计共有2m-1个重心。单纯形(m个顶点)重心设计试验点包括：m个单一成分的点二种成分相等的试验点三种成分相等的试验点 1个m种成分相等的试验点例:当m=

17、3时 共有7个试验点图示重心设计表 9.2.3.2 单纯形重心设计结果分析(The results analysis of simple-core design 将自然变量xj转换成规范变量zj若m3，规范变量zj与试验指标y之间的回归方程为：回归系数的计算公式 ： 9.2.3.2 单纯形重心设计结果分析(The results analysis of simple-core design 若m4，规范变量zj与试验指标y之间的回归方程为：回归系数的计算公式 ： 例9-2：p.210 为控制草莓虫害，可向草莓株体上喷洒化学杀虫剂。现有4种化学杀虫剂可供喷洒。可以单独使用某一种，也可以几种混合在

18、一起使用，为得到最好的杀虫效果，要进行混料试验。设x1，x2，x3，x4分别表示A，B，C，D四种杀虫剂在混合杀虫剂配方中所占的比例。采用了单纯形重心设计(m=4)，共有15种配方。在四块地上分别实施这15种配方，在每块地上将每个配方的农药分别在三株草莓体上喷洒。杀虫效果的指标是7天后害虫的残存率。 解题过程：(1)编码 依题意， 除了约束条件外，各种组分无上下界约束，所以各实际百分比与规范变量在数值上是相等的，即单纯形重心设计表中的数值即为各组分的实际百分比。 (2)试验方案试验方案和试验结果见表9-5。 试验号x1x2x3x4害虫残存含量/%试验号x1x2x3x4害虫残存含量/%11000

19、1.8(y1)900.500.537.4(y24)2010025.4(y2)10000.50.510.7(y34)3001028.6(y3)110.330.330.33022.0(y123)4000138.5(y4)120.330.3300.332.4(y124)50.50.5004.9(y12)130.330.330.332.5(y134)60.500.503.1(y13)1400.330.330.3311.1(y234)70.5000.523.7(y14)150.250.250.250.250.8(y1234)800.50.503.4(y23)(3)回归方程的建立本例m=4，回归方程的形式

20、如下：将表9-5中的数据代入上式，可得15个方程，联立这15个方程就可计算出回归方程的15个回归系数。解方程组 1.8=b1 25.4=b2 28.6=b3 38.5=b4 4.9=0.5b1+0.5b2+0.25b12 3.1=0.5b1+0.5b3+0.25b13 23.7=0.5b1+0.5b4+0.25b14 3.4=0.5b2+0.5b3+0.25b23 37.4=0.5b2+0.5b4+0.25b24 10.7=0.5b3+0.5b4+0.25b34 22.0=0.33b1+0.33b2+0.33b3+0.109b12+0.109b13+0.109b23+0.0359b123 2.

21、4=0.33b1+0.33b2+0.33b4+0.109b12+0.109b14+0.109b24+0.0359b124 2.5=0.33b1+0.33b3+0.33b4+0.109b13+0.109b14+0.109b34+0.0359b134 11.1=0.33b2+0.33b3+0.33b4+0.109b23+0.109b24+0.109b34+0.0359b234 0.8=0.25b1+0.25b2+0.25b3+0.25b4+0.0625b12+0.0625b13+0.0625b14+0.0625b23+0.0625b24+0.0625b34+0.0156b123+0.0156b124+0.0156b134+0.0156b234+0.0039b1234答案：b1=1.8 b2=25.4 b3=28.6b4=38.5 b12=-34.8 b13=-48.4b14=14.2 b23=-94.4 b24=21.8 b34=-91.4 b123=624.6 b124=-530.1 b134=-175.8 b234=-40.8b1234=-1614.0(3)回归方程的建立也可以套用公式所以，试验指标y与规范变量之间的多项式回归方程为： (4)确定最