高等数学ii上自测题解答

1、高等数学（上）自测题参考解答及评分标准（用于高数 II）一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）1 3 dx ，2. 10 ，3.14, 3, 1 ， 5.，6. a 31 2x2，4. ，334226b 92二、 计算下列各题（共 42 分）22tan1. lim(2 x) ex12 分x1lim(11x1cosxcosx2212 lim.5 分x1 sin x 222tan xlim(2 x)2 e6 分x1esin x cos xt1e1sin xdt lim2 lim24 分 2 cos x (sin x)2esin xe2 lim6 分2x 2 sin x23.由 y t3 2t

2、dy 3t 2 22 分dt将方程 x ex sin t 1 0 两边对 t 求导得，xxdx e cos t e cos t4 分dt1 ex sin t xdy dy / dt x(3t 2 2)6 分dxdx / dtex cos tdx d (x 4x 3) 22x44 .2 分dx 3 2 x2 4x 3 4dx1 (x 1)21) c 2 .6 分2sin x cos 1 sin43 分5.1 1 arctan sin2 x c2.6 分21xsin tdx cos tdt16.2 分1 cos t0 1 1 x2021 1 cos t1(1 )dt 24 分2)dtt2002co

3、s2 2ttan6 分20222x t dx 4e2e1eln t dt 4 ln tdt ln tdt3 分7.211x1eee1 4(t ln t1 t1 t ln t t ) 8(1 )ee6 分11ee11e 1 4t1 4x，得驻点 x 1 2 分4x三、 f (x) dt ， f (x) 3(2t 2 t 1)23(2x2 x 1)2020又 f (x) 2 .43(2t 2 t 1)23(2t 2 t 1)202t 2 t 12x2 x 10分故 f (0) f ( 1 ) 0 为最小值， f ( 1 ) 2(8 1)为最大值.6 分247xt22，则 f (1) 0 ，并且 f

4、 (x) ex .四、已知 f (x) edt2 分1111f (x)dx xf (x) xf (x)dx xf (x)dx14 分0000 1 (e1 1)2121 6 分02011x则 f (tx)dt f (u)du ，五、令 tx=u,2 分x00f (x) arctan x 得，1将其代入方程 f (tx)dt x0 xf (u)du xf (x) arctan x0对上式两边求导得 f (4 分2 )1 x2f (x) 1 xc6 分 2a .六、设切点 P 的坐标(a, a2 ) ，则 y 2 分x a 2ln x过点 P 的切线方程为 y 2ax a2 .切线与 x 轴的交点为( , 0) ，2a3 分11aa由条件x dx (a )a a 122 5 分22120故 （1）切点 P（1，1）；切线方程 y 2x 1旋转体体积为 V x dx 10 分1七、 令 F (x) g(x) f (x)dx f (x)g (x)dx f (x)g(1) ，x2 分00只须证明 F (x) 0