随机变量的独立性

1、3.随机变量的独立性随机变量的独立性是一个十分重要的概念。 在这一节中，我们利用 两个事件相互独立的概念引出两个随机变量的独立性， 并推导到有 限多个随机变量的独立性。1.两个随机变量的独立性定义3.6若二维随机变量(X , Y )对任意实数均有久、X =P(X x)P(Y P(Y 2b1 z L 11 门 1、 1_ = g+) 一 =(B + )1 f99 31818 3乙99因此（X, Y）的联合分布律和边缘分布律为YX123尸尸11211123993211I1IN69183111236经检验，此时X与Y是相互独立的。/ J1,若比2工10,若无工2匕例1I设随机变量（X , Y ）在矩

2、形区域 Jl 若xy, 上小 ,工E”3上服从均匀分布，若心若F试求（U V）的联合分布律，并判断U与V是否独立.解 区域G如图3-7所示，因（X , Y ）在G上服从均匀分布，其联合密度函数EGo湛它，所以P(U = 0,1 = 0) = P(X YtX 2Y)= p(xr)=力=f 而=P(U = oy= 1) = PX 2Y) = 0,P(U = L，=0) = P(X K* 2?) =P(YX 2Y) = dxdy = 1 p(y = Lr=i)= i-l-l = 2,于是得(U, V)的联合分布律和边缘分布律：其中P/ 所以u与v是不相互独立的 例12设随机变量（）的联合密度函数为/

3、()二4牙.0 JC L0 1:0,其它，试问X与Y是否相互独立？解因为（X, Y）关于X的边缘密度函数广式公=亡/（工户） =4中引 =2x,即2x,0 x O，A）J2,O j 1, t。，其匕所以，对任意实数x, y均有/VM =.（/）,人60,例13若二维随机变量（X, Y）服从正态分布 町必云 互独立的充分必要条件是 修0。证因为（X , Y ）的联合密度函数为1T f A, 1 _口乂一一日t) 6阳产J y) _ e乳W 而易2 需风 7? J1 CO X +8,-8故X与Y是相互独立的。，向，力。试证X与Y相）9 y +co边缘密度函数为I (n1乙二g 寸8k+8,q2fb

4、i ” 产兀5)二一jg -oo y +cO.J2官仁% 一 s Ei所以易见:成立的充分必要条件是 ,而X与Y相互独立的充分必要条件是(3.1)式对 任意实数x,y成立。例14 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 812时之间，他的秘书到达办公 室的时间均匀分布在79时之间，设他俩到达的时间是相互独立的， 求他俩到达 的时间相差不超过5分钟概率。解设X , Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，则 X , Y的密度函数 分别为,8 a 12;40,其它，- 0,其它,f卡黑见因为X与Y相互独立，所以(X, Y)的联合密度函数为 于是按题意，所求概率为区域G = （a，7）I 0 工 12

5、,7 a 9, a - 12如图3-8所示G的面积s =的面积-45的面积（Uy=上2 122 126因此尸（因-y| C）fjy（）小砂4 XG的面积= 1ZO401. n个随机变量的独立性设n维随机变量为（丫3丫2；一片/，若任意实数的，/，一 .又有产（乂/,占4巧,二豆公）二/处4项尸（也，孙） F（凡/）,则称随机变量应X是相互独立的。若（占,莅;凡）的联合分布函数及关于随机变量 X*.的边缘分布函数分别记为尸（工口，3犷,、/），F& （几）;上1?2,* 1 *?巩则随机变量 八lx相互独立可等价地表为F（X，工a,.,，、）= %1 （工1）尸典（，2） , 4 %（工J若存在函数八孙与5”。，使 尸（均、七广,4）二F3、%）d/d的d4.45& Jo；I 0*=12阳0,其他其中、。一一|一.二 试证X1工尸工是相互独立的.证 因为（1，、2，一”辑）关于北；的边缘密度函数是4&+力GFLL 口1/ j M门