随机过程习题及答案

1、、i.i设二维随机变量(x,y)的联合概率密度函数为:24(1 - jy0yxl|0其它试求:在。时,求E(X|F=y)。解：方5)一工友.浜=次1-加fr 0”1 幽60jrl0其它一其它当 0”1 时，20-aQr)yxl其它则上夫供=口需血=? f 241-4*；=Qr和一同1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：KX=GQ)Hp t=u.试求X的特征函数，并以此求其期望 则与方差Do畋9*产卜之内口=上) 解：j=。- p)*、=六-；/q-力士u0-F) u=-?痴-漪/=- -Q_.”Q-P)七 Q) l-Q-p)JN 空屋l-Q-p)J 1房. = 1P=诵2* 2 =iQ-)。

2、-泊0-g) ppe*Q十登与Q-#)m 一加甸所以：肛二刎7MT =-回)?=心=2 P P P袋中有一个白球，两个 红球，每隔单位时间从 袋中 任取一球后放回，对每 一个确定的t对应随机变量如果对t时取得红球X（t）= 3口如果对t时取得白球试求这个随机过程的一 维分布函数族.设随机过程5阳二为05（眼+口_/0 x0试证明X0为宽平稳过程。解：（1）%（。=说幺啊蒯/+。=3网网般正+。）请虫+加=与t无关(2)联)仅V明蜥介e婚+y犷刈力馋晟*，产现行m看成二，广金苫山 h CT勿产丸T ,f_ tF二-依尸+京山=-2?/ * |二所以此E(I)，m(3) RiM 世ur%fi+DL

3、4a)s(S也+1用二耳/师喊M+7)国贴+孙,为1 1二到产+%+加色-g力二，CDS/色一勺 只与时间间隔有关，所以X0为宽平稳过程。设随机过程X(t) =U cos2t,其中U是随机变量，且 E(U) = 5, D(U)=5.求:(1)均值函数；(2)协方差函数；(3)方差函数设有两个随机过程X(t)=Ut2, Y6=Ut3,其中U是随机变量，且D(U) = 5.试求它们的互协方差函数设A, B是两个随机变量，试求随机过程X(t)=At+3B,tT = (-，)的均值函数和自相关函数 若A, B相互独 立,且AN(1,4), BU(Q2)，则mX(t)及RX(i,t2)为多少?一队学生顺

4、次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立， 则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这 1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令N表示（0,t）时间内的体检人数，则N（t）为参数为30的poisson过程。以小时为单位。(30)kk!J30则 E(N(1) = 30。40P(N(1) 40)八k=0在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为A, %,当1路公共y车有N1人乘坐后出发；2路公共 汽车在有N2人乘坐后出发。设在 0时刻两路公共汽车同时开始等候 乘客到来，求（1） 1路公

5、共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当N1 = N2，% = %时，计算上述概率解：法一：(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为 %、%的 poisson过程，令它们为N(t)、N2(t)。TN1表示N-t) =N1的发生时 刻，Tn2表示N2(t) =N2的发生时刻。,ni TOC o 1-5 h z fTN1 (t1) =7NJ_7T1t1N1xP(-1t1) (N11)!,N2fT (t2) = 2t2N21 exp(；2t2)Tn2(N2 -1)! 222,Ni. N2fTN1,TN2 (t1,t2) - fTN1TN2 (53 - (3 -小| 二/即1t1)NT!

6、t2N2exp(- 2t2)(N1 1)!(N2 1)!.Ni2.1N1P(Tni ：Tn2)= dt2。(N!tiNl%Xp(.，iti)12N2t2N2 exp(- 2t2)dt11(2)当 Ni = N2、斯=%2 时，P(Tn1 丁电)=2法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为 % 十九2的泊松过程。令乙、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时 间间隔。则Zi、Z2分别服从参数为储、九2的指数分布，现在来求 当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概 率。Z2p = P（Zi ：二 Z2） = 0 dz2 0 11 exp（- 1Z1） 1 2 exp（二

7、,辽2 ）dz11i=o1 2故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐 2路汽车的概率为1- p1 ,2上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度 3+%的泊松过程时，乘客分别以，一概率乘坐公共汽车1,以二一的概1 2 1 2率乘坐公共汽车2。将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：N1 N2 4P（1路汽车比2路汽车先出发）=Z CN（一）Ni（2一）1k 叫1 21 2（2）当N产N 2、%=%日寸2N 4P（1路汽车比2路汽车先出发）二 C： k小2N 1I k I v _ NI(-)1% Ck4 (-)22 k小 2kPoisson过程，参数分别为3.3 设Ni（t）,t 之0

8、, （i =1,2，n）是n个相互独立的%（i =1,2，n）。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时亥黑(1)求T的分布；nn(2)证明 N (t) =Z i jNj(t), t之0是Poisson过程，参数为 九= 一九；(3)求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于N1(t),t至0的概率。解：(1)记第i个过程中第一次事件发生的时刻为I, i=1,2,.,n。则丁 =mintii,i =1,2,., n。由如服从指数分布，有PTMt=1-PT t =1-Pminti1,i =1,2,.,n t n=1 33 t,i =1,2,.,n =1 7 Pti1 t i 1 nn=1 -【

9、1 -(1-6畤 =1 -exp，it i 1y(2)方法一：由Ni(t),i =1,2,., n为相互独立的poisson过程，对于 Vs,t 0。 nPN(t s) -N(t) =n =PNi(t s) -Ni(t) = n i 1= P Ni(t s) -Ni (t)=n,三 ni =n,i =1,2., nF上 nn , %=(snexp(-，i)s)十)%i 空i 1i W ni !n TOC o 1-5 h z (s，i)nn一exp(-(y i)s) n!yn , n这里利用了公式(.；);1：，n!%i 玉 i T ni ! nn所以N(t)= Ni(t),t 2 0是参数为九

10、=九的poisson过程。 i=1i=1方法二：1）当hT 0时,nPN(t h)-N=1 =PrNi(t s)-Ni(t) =1 i 4 TOC o 1-5 h z nn八( ih o(h)|j (1- jh o(h)i 1j 1jnn=ih o(h)= .h o(h) i 4i 4当h T 0时， nPN(t h) -N(t) _2 =PNj(t s)-Nj(t) _2 i =4n TOC o 1-5 h z =1 -PNi(t s) -Ni(t)：二2 i 4 nn=1 I (1 - - jh o(h)- 由 o(h)j 4Tnn二1 一(1 - ih o(h) -、h o(h)1i 1

11、= o(h)得证。(3) PN(t) =1| N(t) =1 =PN(t) =1,Ni(t) =0,i =2,n/ PN(t) =1 nn一/t n.=，检一口1eTt/e 仁 M 二1i =2i 1 1 n证明poisson过程分解定理：对于参数为九的poisson过程r1小心。, 0Pi1, J , i=1,2,，r ,可分解为个相 互独立的poisson过程，参数分别为九pi i，。解：对过程N(t)，t至0,设每次事件发生时，有r个人对此以概率rp1，p2，.，pr进行记录，且Z R=1,同时事件的发生与被记录之 i=1间相互独立，r个人的行为也相互独立，以Ni(t)表示为到t时刻第i

12、个人所记录的数目。现在来证明Ni(t)，t0是参数为kr 的 poisson 过程。PNi(t); m 二、： PNi(t)二 m|N(t); m nPN(t)= m n n=0二(mn二户 口1”)始e”-2 m!独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录,个以概率1-p记录，则N1(t),t之0是参数为Kp 的 poisson 过程，N2(t),t 20是参数为 Mlp)的 poisson过程。PN1(t)=N2(t) =k2 =PN1(t) =k/N(t)k2)= PN(t) =k k2PN(t) =k1| N(t) =k k2 二产p)(k1 k2)!: LjMe-tIpk 一

13、 ”(k1 k2)!发收！t)i2ki!k2!ep (1 - p)k23eOlt= PNi(t) =kiPN2(t) =k2得证。设N10是参数为3的poisson过程，试求(1)PN(1)3).PN(1) = 1,N(3)=2;PN(1)-2|N(1)-13 0 3k，解：(1) PN(1)名3= e3-=13e“ k =0k!= PN=1PN(3) N=1 =3e-6e- =18e”(3)PN(1),2|N(1)_1=PN(1)2 1 4ePN(1)_11 -e对于poisson过程N,t,证明set时,PN(s)=k| N(t)=n二IS(1-：尸守解:PN(s) =k,N(t) =nP

14、N(s) =k|N(t) =n：PN(t) = nPN(s) =k,N(t) -N(s) -n_-k一PN(t)=n_ PN(t) - N(s) =n -kPN(s)也-PN(t)=ne_.(j)(.(t-s)n*(，s)k=(n-k)!k!二e-3en!n -k k _ (t -s) s n!一 (n -k)!k!tnA /x、n_k kn (t -s) s IJAk t tn s n -k s k=.(1 二)(Jk t t t设Ni,t之0和N2(t),t10分别是参数为 % , %的Poisson过程，另X(t) = M(t)Nz(t),问X(t)是否为 Poisson 过程,为什么?

15、解：不是X(t) =N1(t)-N2(t) , X(t)的一维特征函数为:fX(t)(u) =E(eiuX(t) =E(eiu(NiM(t) =E(e叽e .2)二川。叽3：川(力 t e e e ek 0 k! k 0 k! iu kiu k_e-1t；.-(e1t) e-t.- (e 2t)k k!k且 k!-1%-%: exp eiu，1teiu 1 2t _ (1 1 ：:上2 )t参数为人的Poisson过程的特征函数的形式为expeiut_1,所以X(t)不是poisson过程。计算Ti, 丁2, T3的联合分布解：fX1 ,x2,x3(X| , X2, X3) = fX1 (Xi

16、) fX2 (X2 ) fX3 (X3) = e(再)(1-10、的2上)=0 1 1 =19 0LfT1,T2,T3 (t1 , t2,t3) - fX1,X2,X3 (t1, t2 t1 , t3 t2 ) J (t1 ,t2,t3)I 九3e，3 0 cti t2t3一；0其他Xts0,计算 EN(t)割(t+s)。解：2EN(t)N(t s) =EN(t)(N(t s) -N(t) EN2(t)= EN(t)E(N(t s)-N(t) EN2(t)=t s t (t)2 = 2t22st t设某医院专家门诊，从早上 8:00开始就已经有无数患者等候,而每个专家只能为一名患者服务，服务的

17、平均时间为20分钟,且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则 8:00到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为 3的泊松过程(以小时为单位)。则在0, t小时内接受治疗的患者平均停留时间为:N(t)N(t)=E旧i 1N(t)| N(t) =nEi 1N(t)x2当t = 4时，平均等待停留时间为2 h3 .11 N,t皿是强度函数为Mt)的非齐次Poisson过程，XX2，是 事件发生之间的间隔时间，问：(1)诸Xi是否独立？(2)诸Xi是否同分布?解：(1) P Xi At = P N(t) = 0 = ejm(t) = e

18、s,ds。PX2 t |X1 =s二 PN(t s)_N(s) =0|X1 =s二 P N(t s) - N(s) = 0 = e4m(t s)皿砌二 e-s ()d 从上面看出X1、X2不独立。以此类推，Xi不独立(2)F”(t)=1-e 力dsFX2(t) =1-P(X2 t)=1-.PX2 t|X1=sdFX1(s)=1 _ ； e 4m(皿s% 引.(s)ds =1 _ ； e s) s)ds分布不同。3.12设每天过某路口的车辆数为：早上 7:00 g 8:00,11:00 g 12:00 为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。则早上7:30 g 11:20 平均有多少辆车经过此

19、路口，这段时间经过路口的车辆数超过 500辆的概率是多少？解：(1)记时刻7:00为时刻0,以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poisson过程，其强度函数如下：120 0 Ms M 1,4 s 51 (s)=601 ： s x)dxN(t)P(T t) =P丫 二 Ai卫二 N(t)6 PrY :： A|N(t) =nPN(t) =nn卫 i卫7 n二e八 PY :二 APN(t) =n n 4 i 4二 A=e- .0n 4(J一X/I +n(n-1)!0 P(TDdtRe二 A一 J 0 n =4J/ nx e(;)n(n-1)!xnxne?dx- 箸dtn 4(T(n-1)!(

20、n -1)!Xn。/x e dx(-(t)n X0n!e-4dt(U 1ten0 tVtdt)11 ,二十 丁乙 ， n 1AgLxne4x 0 (n -1)!(n-1)!Xxnedx111A 二=一+ i 乙 , n：系统的平均寿命为1 九九N某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设14男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟 2人与每分钟3人的泊松过程。(1)试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；(2)在已知t时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有 30位妇女的概率， 平均有多少个女性顾客？解设呦刖训分别为()时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。(D由已

21、知，及为强度4=2的泊松过程，期为强度当二3的泊松过程;故，N为强度2 = 4 +为=5的泊松过程；于是,hQLZ (5分)(2)PC=3O|WO) = 5O) =加0:50)(5分)故平均有女性顾客蜃M01M0 = 50二 50 X g = 30 人(4分)町M =3明弧0 =GOWdaubcQOB/lOIBTO=50)(it)30 b / 30 k(24 / / 20!(5:如75。!般地,式M 叫 N = 50=圆旷二(UZ 5。(1)对 错 当N(t) = n时，Tn有可能小于t (3)错，Tn Mt时，N(t)可能等于n。更新过程的来到间隔服从参数为(nJ)的F分布。(1)试求N(t

22、)的分布； N TOC o 1-5 h z (2)试证段丁二 L1 1 O解：(1) PN(t)=k=PN(t)之 kPN(t)至 k+1= PTkt-PTk1 -t)kk 1=PXi t _pXi Mt) i丑i 1一 skn -4, 一 s (k 1)n -4tfv九e (九s), J e(九s)( 4,ds -ds(kn-1)!0 (k 1)n -1)!(2)由强大数定律:TkkEXiTN(t) _t_ 二 TN(t)书N(t)而二 N(t)，tn (t)n TN(t) iTN(t) i N(t) 1 nlim=,=,t -s 0 ot N(t) N(t) N(t) 1 N(t)则：li

23、mL=n,故|而弛=。tN(t)5 t n对于Poisson过程证明定理4.1.解:二t 二 Fn(t) = .J exn =1n 1M(t) =E(N(t) “t ;nA n:nJ nJ TOC o 1-5 h z x .1_xX .dx i _ e dx = t (n-1)!0 nm (n-1)!4.41 一 2. 一设 PXi =1 = , PXi =2=,计算 PN(1) = k , P N(2) =k, 33P N (3) = k o解：（1），、，、，/，-，、1 2PN(1尸 0 =PN(1)_0-PN(1)_1 - PT0 1 - PT1 M1=1-=3 3，、，、，、， A

24、，A 1PN(1) = 1: PN(1)-1 -PN(1)-2: PT1 1 -PX1 X2 1=-Xi X2P(2)，、，、，、，、，、1P N (2) -2 - PN (2) -2 -PN(2) -3-PXi X2 三2- PXi X2 X3 2=-9、1 8P N (2) =1 = P N (2) -1 - P N (2) 2 = PT1 1 - PX1 X2 2-PN(3) 3 = PXi +X2 E3 PR 3=- 二9 275 41 - P N (3) 2 = PT1 ydyx=0P(X x)Pmin( X,x)y|X x +P(X y |X Ex dy+ x iP(X x)Pmin( X ,x) y | X x +P(X y | X Ex dyx=0P(X x)Pxy | X x +P(X y |X x)Pxy |X x +P(X y |X x) +P(y X x)dy + P(y X x y) +P(y X x)dyxj0P(X y)dyxx则：0 Pmin( X,x)