雅可比多项式

1、雅可比多项式Wolfram 语雅可比多项式，也被称为超几何多项式，发生在研究旋转组和解决运动方程的对称。他们的解决方案 雅可比方程，并给其他一些特殊命名多项式作为特殊情况。实现它们 言作为 Jacobip n,a、b z。(1)L6减少到一个勒让德多项式。的盖根堡多项式Gulp, 和第一类切比雪夫多项式也可以被视为雅可比多项式的特殊情况。堵塞到雅可比方程给出了递归关系7- v（y+农斗力小卬幽-2伊+1）w+/+ 1）晔 =o(4)为- 0,1，在那里y s /I （n +货 +/ + LX，解决递归关系给了噌鼻轴二导I 0方尸a十炉旦井严a认尸| 2 K!ffJT(6)为性,它们形成一个完整

2、的正交系统的时间间隔-L L对权重函数时（X）-11 7产（1 +工汽规范化的根据在哪里是一个二项式系数。雅可比多项式也可以写(8)Tr(n4 p)f (2 n + p)尸丁魂尊一1n r(n + ff + +在哪里版）是丫函数和雅可比多项式是正交多项式并满足(10)蹬闻蹂曲（1 - xT d1用力惠2科如 I5 千口+1）2n +a1 niriX +的系数这个词的工|在尸定闻k煌由(11)T(2制中小2 nJrtfi+a/3 + 1)他们满足递归关系2 (fi -f 1) (n + a -f /5 + 1) Q Ji + o +3 j4o 4 P # 1) 口 /)4 Q M4 q 4 阳

3、z碟用 Of)=2后中仙中6(2图中(r + J3 + 2)(r h(12)在哪里(制品是一个Pochhammer象征(m + w 1)!(mr = JH tffj + 1) (ffl + JI - 1)=-1J!的导数是由(13)琛周网=3 M师口小外1)?曾如”， dx餐避 再的正交多项式与权重函数 曲一工炉一目)?在闭区间应,句可以表达形式- -人的心工一口IconK?2工2 t1J* b - ff/(14)(15)(Szego 1975,p . 58)。特殊卜f况，。-=力是r c2 v+a +1)r(7 + 1)r (v+a? + i)r(2v+1)(16)二(-ifr(2 y +

4、n + i)r(V +1) plffl p, . I r (v + q- -bir(2y+11)(1 - z J)(17)(18)=(-iyr(2 v + c 4- 2)r (v 41) r (v +n)r(2.v+2)(19)r(；2v+(M+2jr*i) 0; Ir(K + ff + 1)T Qy 2)“外进一步的身份、2 值上口+ 1)尸乎6-何41)尸箸在) TOC o 1-5 h z I =(20)1-工，但2 g+ U)P*&)+5 + l)P*k), 一二(21)比2n +(z + j3 + 21+工&F一川口 J产阴十I- 1)严8 4 1)中_ 二 .-wgKS b)2 nf

5、f + fl t1 2 r (n 4*Q + 1 jr(n + + 1Jjt -y(Szego 1975,p . 1975)的内核多项式是(23)2jictfl + 2 rtn + a + l)r(ja + 月+ 1).i v(Szego 1975,p . 1975)的多项式判别是暧4 .j n卜”+ o尸iy+矿】v=lX (n + v + tt + 国产(Szego 1975,p . 1975)。的超几何函数，(24)P%M(r)= 也 卜产1 (一明打斗口+ 04 L； (J 4 1 ；、(1 一刈to 4- Ik iii：1 F (-H,时 + 口 + 户 + 1; cr+1 Qit!

6、3(25)(26)(27)在哪里(得上是 Pochhammer 象征(阿布拉莫维茨和 Stegun 1972,p . 561;Koekoek 和 Swarttouw 1998)让押0的数量上（=L 1），场0的数量jFE（-wt-D7Vj0的数量co）。定义克莱因的象征p if讨长。E (h ) = * 皿 Jif u pos itive and nGQintegraler - 1 if u a 1,1-在哪里是层功能，X (dt f j(|2n+a + + 1| -c-|p| 4* I)F,同= E-胃 l)j七(* 冏= j C-口 n + tf + + ” |o| 中 庐| 4 1)(2

7、8)(29)(30)(31)如果情况下a = - 1 ,2 ,.,，向1 , 2. , .,tn-,n牛,Of本；1 ,2，一n被排除在外，那么0的数量产J+”在相应的时间间隔唱小1出（川：3（/+(? + )3 + 3)34件 + 4)a-1 月（阿布拉莫维茨和 Stegun 1972,p . 793）。阿布拉莫维茨和 Stegun（1972 年，页782 - 793）和Szego（1975 年,Ch。4）额外的身份。盖根堡多项式Gegenbauer多项式的（耳1解决方案是Gegenbauer微分方程为整数踪。他们是相关联的概括 勒让德多项式来Q JL*川-d空间，是成正比的（或者根据正常化

8、，等于）特种球多项式I.Szego之后，在这个工作中 ,Gegenbauer多项式给出的雅可比多项式睦价用r(1+ r(n+ii)r(2A) rfn + x+（Szego 1975,p . 80）,从而使它们相当于Gegenbauer多项式的实现 Wolfram语言作为GegenbauerGh入,x）这些多项式给出的 生成函数最初几个Gegenbauer 多项式审时工1Cf%)=-A+2A(+aCh)=-2X(1+ ;*0 +的超几何函数他们规范化ffid工=1蠹0”四J-Cr L 1值中由为导数的身份包括KJ匚丁 = 2 in 1 ,1)1 1，用 2 A 1)值1 2 A) C；L ,i

9、g1nxtx) + (w-b 2A - 1) fjli (a)二例 + 2A)x (if) - (h + 1) U)厩赍岫印闻-；仁： Hax 1/dJE - (6)（Szego 1975,页 80 - 83）。一个递归关系是(19)为 3 .特殊的双-y公式也存在f 2 V H* 2 Alji 、O&nMl= 2v + l 卜法(f，F +A+1M+J 1 一欧Koschmieder(1920) 表示的椭圆函数为A * =3 / 4和人=2，3 .参见：Gegenbauer 微分方程的二阶常微分方程 TOC o 1-5 h z i(1)有时也被称为超球面的微分方程(Iyanaga Kawad

10、a 1980,p . 1480;Zwillinger 1997,p . 123)。这个方程的解p 二 S - 1 尸，CD# QL在哪里戌(r媳一个有关第一类勒让德函数和优(K)是一个有关勒让德函数的第二种.许多其他形式的方程有时也被称为特种球或Gegenbauer 微分方程，包括|1 -1)xj/ + 2)y = 0*这个方程的通用解决方案y = = 1产 IQ甲貌小国+ G。猊6刈.(4)如果-1/2 +/是一个整数，那么其中的一个解决方案被称为Gegenbauer多项式谓 多项式，也被称为特种球。表单二一二1一 :.十 二；： /-二 v U(5)也由Infeld和船体(1951年，页2

11、1 - 1951)和Zwillinger(1997, 第122页)。它的解决方案参见：勒让德多项式(6)勒让德多项式，有时被称为第一类勒让德函数，勒让德系数，或带函数(惠塔克和沃森1990,p . 302),解决方案勒让德微分方程。如果是一个整数，他们是多项式。的勒让德多项式册明上面42-1+1和门= 1,2，5。实现它们 Wolfram语言作为LegendrePn x。的相关的勒让德多项式 理保)和外产解决方案是 勒让德微分方程相关联，在那里是一个正整数和,.,轮廓包含原点和遍历在逆时针方向(Arfken 1985,p . 1985)。最初几个勒让德多项式PoM= 1P (x) x“电=3日

12、，斗Pl Oc)=451 -3x)2上)=：63.1 一 70 .J + 151!当下令从最小到最大的权力和分母提出，三角形的非零系数是 1,(1) (6)(8)1, - 1 3, -35 个 3-30,(OEIS A008316 )。领先的分母是 1,1、2、2、8、8,16 日，16 日,128 年,128 年,256 年,256的勒让德多项式p.tri可以定义的围道积分年 (OEIS A060818 ).最初的几权力的勒让德多项式1 = P (r)r = j 晶 fr ) + E 严i (x)J = ： 3 产i 6) + 2玛 UJ.r = = 127 P Ld + 28 Fg (x)

13、 + 8 5 (a )1 nJ.1 =二;口“，卜卜 11。/(.山 72/ g * 16 a(OEIS A008317和A001790 )。这些是由一个封闭的形式d1.2， ! 1 订!/ =);乃国那1)!(r . Schmied 珀耳斯。通讯，2005年2月27日)。勒让德多项式和 权力指数12,看到阿布拉莫维茨和 Stegun(1972,的勒让德多项式也可以生成使用吗 gram - schmidt正规化在开区间(- 1.帅与权重函数1。Po fcJ = 1巧fe)=卜卜1隼后1=XFl (r) - X A -,-卜 1工工一同工JI中-沪” .、国俨-/占1眄时一、一利2用餐噌-07T

14、S1-1=/ 江,正常化，PK Cl)= 1给预期的勒让德多项式。(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)第798页)。(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)转移”的勒让德多项式是一组函数类似于勒让德多项式，但定义在区间(0,1) o他们遵守正交性的关系(23)Ji，%3dL 获H前几个是 TOC o 1-5 h z I二：(24)I=(25)1=1-(26) HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 鼻二 20/ -md* 12x -L(27)勒让德多项式的 正交在1肉权重函数1,满足 .( 1 . ，: (28)JL

15、)2 W + 1在哪里41td是克罗内克符号勒让德多项式的一个特例Gegenbauer多项式与注=J的一个？?？例雅可比多项式 第罚与把=丹=0,可以写成超几何函数用墨菲的公式Pn Cx) =(z) - 3 Fl (-ntM +1；1； (1 -zj)(贝利 1933;1933 年,p . 101;Koekoek 和 Swarttouw 1998)。的罗德里格斯表示 提供的公式巧 U) = : br - 1),的收益率在扩张1 ft fxl=)=0.1明(IA =0在哪里Lr!是层功能。额外的求和公式包括(Koepf 1998 年,p . 1)。的超几何函数，这些可以写(Koepf 1998,

16、p 。3)。一个生成函数为F片是由afl=o用（39）2rMl-f (1 -2x t+)一如+ 2r) ,2用 Pn (s) f1，并添加(38)和(40),9现14 r2）J，- （2x r - 2 r2） + （1 土司1）取切/jfsQ(40)(41)(42)在哪里口,墀一个零阶第一类贝塞尔函数（Koepf 1998年,p . 2）勒让德多项式满足递归关系F+ 1M U）-（21+1）XPj o）+ r,）=0（Koepf 1998 年,p . 2）。此外，(43)(1 - f)尸；(r) = - n x P代 g + n /质(x) = (n 4 l) x P& (x) - (jt +

17、 1) P j (x)(44)（纠正希尔德布兰德1956,p . 324）一个复杂的生成函数是(45)积分区间的1包括一般公式(46)（1,一工，）/即gdjt(47)为例*我拜尔利1959,p . 1959）的特殊情况(48)(49)（OEIS A002596和A046161 ;拜尔利1959,p . 172）。勒让德函数的乘积的积分(1 一)严九)产1c*)imCm+ 1)-=n|X t 1)(50)为m声光（拜尔利1959,p . 1959）,使特殊情况这种扩张是有用的一些物理问题，包括扩大Heyney-Greenstein相函数和计算上的电荷分布球。另一个生成函数是由在哪里中 士干.，

18、：boui even lh dgJm even, n oddm odd, n even(51)_1即*|好而对！4尼+13-闻M+兽+ d (：用)/Q：加 1)! !2(52)(OEIS A078297 和 A078298 ；拜尔利 1959,p . 172)。后者的一个特例f /g几41二A sin ( ffv)cos -型()-Al sin (j 型)cos Q wv)i + v + 1)(53)在哪里A rLT8 f * i)(i + 5 囚和 r 是一个 丫函数(Gradshteyn 和 Ryzhik 2000,p 。 2000 年,eqn 。 7.113.1)积分了 -1, 口与权

19、重函数K和工2是由(54)r 2(l+i)口L + 1)(2-+3Pl WP& Mdjf= 1 飞也2L-1T(2i+T)forN - L + 1for N 二工一1(55)2(2L2 + 2L - 1)(2L- 1)(21+ l)(2L + 3)(Arfken 1985,p . 1985)的拉普拉斯变换 是由L 心 小团=2X*l)CL + 2)口+10 + 3。+5)forflf = L i -2211a- i)pL-3)(2 - 1JPL + 1Jfor/V = Lfor/V = L-2(56)在哪里品。,谑一个修改后的第一类贝塞尔函数(57)一笔是由身份0 A, 1 -X21-图p；(

20、58)在哪里 斗是岭h的根源P/t fr)(Szego 1975,p . 1975)。类似的身份1 -上孑(59)If负责这一事实权重的总和Legendre-Gauss 交总是等于2权重函数CCN TfllQUTCBib Entry一个函数w值）用于规范化正交函数Jlfn （工片加工那工=%Legendre-Gauss 交Legendre-Gauss正交数值积分方法也被称为“高斯求积和勒让德正交。一个高斯求积在时间间隔1与权重函数印仁） = 1。的横坐标交订单用由的根源吗 勒让德多项式产显发生对称约0。重量是*+1 7tt在哪里 4是系数的上筋在网 （r）o为勒让德多项式（2）!Art 却值步

21、（希尔德布兰德1956,p . 1956）%12(n+ 1)! 却(用!产版铲】即t DIF 口叫2n4- 1nHh 1此外，Yn = /Ms!工_22n +1(6)（希尔德布兰德1956,p . 1956）2怛二1n芦Ml %.）珏国）(8)(9)使用递归关系（10尸：馍）=FJE玛9小$4蚓=X+ m四轴w 1）| H（纠正希尔德布兰德 1956,p . 324）2阳（1 T雄田用手（ + 1旧见疑Oj ）F（希尔德布兰德1956,p . 1956）权重叫满足(14)它遵循的身份Ft1 .工?IF(15)误差项是野群】M护(16)E 户g2，+1)叫拜尔(1987)给出了表横坐标和重量却三

22、16,钱德拉塞卡(I960) n = g为H甚至.1 n.修1120.577351.000000300.8888891 0.7745970.555556403399810.652145.8611360.347855500.5688890-5384690.4786290.9061B0.236927确切的横坐标下表中给出n 瑜修UI2邛V?130吗i54:t川525沔第fi玄伽毛炳)11-jT fJ i V 323 + 70 V 3035 *1呆国)50111阖 有1_1土 ；、2-1S - 14 V 7011士(322 * 13 寸而)9UQ /I士(322 - 13 yf7019UQ *横坐标

23、为顺序 代正交的根源 勒让德多项式 Et 6)1,这意味着他们是代数的度，2,2,4,4、6、6、8、8、10、10、12,，等于Z值置为修 1 (OEIS A052928 ).同样的，订单的重量 收交可以表示为多项式的根的程度1,1,1,2,2,3,3,4,4 、5、5、,等于值/2为 1 (OEIS A008619 )。三角多项式的根确定权重H (17) TOC o 1-5 h z .；1(18)9：1 -彳(19)二一 1.11 j. ：(20)厂(21)2025 000 X3-2025 000 + 629325-58564(22)142943 535000a- 113071253 Wx

24、2 *27510743799x - 1976763 932(23)1 707 698 764 800CM) Z-1707698 764800000 +606530263 M640CM 招 明同979164)8支 + 4 373 849390625(24)权重吗有时也被称为 克里斯托费尔数字（钱德拉塞卡1967）。为正交多？?？ 式可（外与户=1(6)(8)(9)(OEIS A112734 ).高斯求积寻求获得最佳数值积分通过选择最优的估计横坐标M的评价函数/匕）。的高斯求积的基本定理 指出最优横坐标的m分高斯求积公式正是正交的根源吗 多项式相同的时间间隔 权重函数。高斯求积是最优的，因为它适合

25、所有 多项式到学位2m - 1完全正确。略小于最佳适合了 Radau交和用正交.亚1时间间隔1-1同是根1J11 i 1)i111pgh11111-Ii1111(-00, co) i1LIj国11I（1 -削珏iI1)11ljA 1(1 w1f1j 1)11r7以1产11(OU)i1*1”意外1 (G)111IQ1)fiFa 也(y7)1111高斯函数来确定相应的权重横坐标a计算一个拉格朗日插值多项式 为f 理过让二 n；（i）j=l（钱德拉塞卡1967使用F而不是次）,所以，卷1-=口叱电然后安装一个拉格朗日插值多项式通过切点给再 3）/ *任意点加。因此我们找点集 巧和权重w这样对一个权重

26、函数印5）,口小=您晨舐产闷=Z叼f田I 曰与重量1 户并任）中5）两二,一八（希尔德布兰德1956,p . 322） &是系数的/在。片口）,然后在哪里yn = 口）F 卬（工）H e,使用的关系(10)fc) （ii）（希尔德布兰德At. %-j1956,p . 323)(12)（注意，出版社等。1992年忽略的因素AftfAfl|）在高斯求积，重量都是 积极的。错误是由卬（工）优以,：f(13)(2用!(14)在哪里a MfMb（希尔德布兰德1956,页320 - 321）其他好奇的身份a 瓠产演 ，机7）机+1划(15)(16)(17)（希尔德布兰德1956,p . 1956）在符号S

27、zego（1975）,让覆哗M皿喘0片是一个有序的点集 E 川,让，心事是一组实数。如果上的任意函数吗 闭区间山*占1,写高斯求积(18)6n （f） =L = I在这里 廊内是横坐标和入门是柯特斯数字柯特斯数量 这些数字，1”在高斯求积公式2lt （f） /界/的v=I参见：带谐函数带谐函数是一个 球面谐波的形式Pj （口用1,即，减少到一个勒让德多项式（惠塔克和沃森1990,p . 302）。这些谐波曲线在一个称为带状”单位球（与中心在原点。匕物消失是工纬度线表面划分为区（维特克和沃森1990,p . 392）。解决丹3工咻线性因素COS2 fl乘以COS。当是奇怪的，然后替换8 %过E允

28、许带谐函数/女侬他被表示为一个线性因素的产物厂，尸,丁产品乘以工当，是奇怪的（惠塔克和沃森 1990,p . 1990）。参见：内核多项式CCNTfllBUTCTMt Entry这个函数扁 囱,外一德氐曲区五。这是研究的许多有用吗多项式.Hurwitz zeta function 赫维茨 t 函数From Wikipedia, the free encyclopediaIn mathematics , the Hurwitz zeta function , named after Adolf Hurwitz , is one of the many zeta functions . It is

29、 formally defined for complex arguments s with Re( s) 1 and q with Re( q) 0 by(XThis series is absolutely convergent for the given values of s and q and can be extended to a meromorphic function defined for all s w 1.The Riemann zeta function is t s,1).0L! rr s I / f I EB , I g 0 and any complex sw

30、1 was given by Helmut Hasse in 1930:101Tla* g) = 一区干s+比产This series converges uniformly on compact subsets of the s-plane to an entire function . The inner sum may be understood to be the nth forward difference of 1; that is,where A is the forward difference operator . Thus, one may write1/+1_ 1 Ml

31、+ A) 1.7a9s 1AIntegral representation editThe function has an integral representation in terms of the Mellin transform as,、 1 尸y亚公也)=丽,丁/山for 片.：and E? U.Hurwitzs formula editHurwitzs formula is the theorem thatUZ2伙引s) +产/%(1 -窃s)where双雷 s) = 2r(s + 1) =11(27m)3(2号is a representation of the zeta tha

32、t is valid for _ _ and s 1. Here, Li 式 n)is the polylogarithm .Functional equation editThe functional equation relates values of the zeta on the left- and right-hand sides of the complex plane.For integers2nkmholds for all values of s.Taylor series editThe derivative of the zeta in the second argume

33、nt is a shift:% g) = 一s(s + Lg)Thus, the Taylor series has the distinctly umbral form:00 月生00 / U and z complex, but not an integer. For z=n an integer, this simplifies to=2万一0-叨2 r= 2 7r-rg)c(s)_where t here is the Riemann zeta function . Note that this latter form is the functional equation for th

34、e Riemann zeta function, as originally given by Riemann. The distinction based on z being an integer or not accounts for the fact that the Jacobi theta function converges to the Dirac delta function in z as : U.Relation to Dirichlet L-functions editAt rational arguments the Hurwitz zeta function may

35、 be expressed as a linear combination of Dirichlet L-functions and vice versa: The Hurwitz zeta function coincides with Riemanns zeta function when q = 1, when q = 1/2 it is equal to (2 s-1) tg),4 and if q = n/k with k 2, ( n,k) 1 and 0 n k, then 5the sum running over all Dirichlet characters mod k.

36、 Inthe opposite direction we have the linear combination There is also the multiplication theoremof which a useful generalization is the distribution relation 6g x)=f fl 1 1qTX(+p/q) =平).p=O(This last form is valid whenever q a natural number and 1 - qa is not.)Zeros editIf q=1 the Hurwitz zeta func

37、tion reduces to the Riemann zeta function itself; if q=1/2 it reduces to the Riemann zeta function multiplied by a simple function of the complex argument s (vide supra ), leading in each case to the difficult study of the zeros of Riemanns zeta function. In particular, there will be no zeros with r

38、eal part greater than or equal to 1. However, if 0q1 and qw 1/2, then there are zeros of Hurwitzs zeta function in the strip 1Re(s)1+ e for any positive real number This was proved by Davenport and Heilbronn for rational and non-algebraic irrationalq,7 andby Cassels for algebraic irrational q .48Rational values editThe Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values. 9 In particular, values in terms of the Euler polynomialsandW I3沪+哈”(21)可qOne also haswhich holds for 1 P7.Here,the SV and产，are