集合知识点及题型归纳总结含答案

1、集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念.集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现.(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关.如 a,b,c a,c,b .集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法.常用数集的表示R 实数集 Q有理数集 Z 整数集 N自然数集 N或N 一正整数集 C

2、一复数集二、集合间的关系.元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于 (记作a A)和不属于(记作a A)两种.空集：不含有任何元素的集合，记作.集合与集合之间的关系 (1)包含关系.子集：如果对任意a A AB,则集合 A是集合B的子集，记为 A B或B A ,显然A A 定： A.2)相等关系.对于两个集合 A与B ,如果A B ,同时B A,那么集合 A与B相等，记作 A B .3)真子集关系.对于两个集合 A与B ,若A B ,且存在b B ,但b A,则集合A是集合B的真子集，记作 A uBY A.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.三、集合的基本运算集合的基本运算包

3、括集合的交集、并集和补集运算，如表1 1所示.eI Ae|Ax | x I 且 xA由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A B,即A B x|x AMx B .并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A B,即A B x|x A或 x B.补集已知全集I ,集合A I ,由I中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做集合 A相对于全集I的补集，记作 e A ,即 0 A x | x I 且 x A四、集合运算中常用的结论1.集合中的逻辑关系 (1)交集的运算性质.ABB A, A B A, A (2)并集的运算性质.ABBA, A A

4、B, B (3)补集的运算性质.烟 I A) A , eII , e I补充性质：A B A A B(4)结合律与分配律.结合律：A(BC)(AB)分配律：A(BC)(AB)(5)反演律(德摩根定律).加(A B) ( I A) (?iB)即“交的补补的并”，“并的补彳* 2.由n(n N )个元素组成的集合B BA IA BA I(eiA)B A B 泗CA (B(A C) A (B颍A B)卜的交”.A的子集个数A, A A A, AI , A A A, A A.A , A (eA)I . A A ? B .C) (A B) C .C) (A B) (A C).(iA) (?B).1个，非

5、空真子集有 2n 2个.A的子集有2n个，非空子集有2n 1个，真子集有2n.容斥原理Card (A B) Card (A) Card (B) Card (A B).题型归纳及思路提示题型1集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性.b 一.例 1.1 设 a, b R ,集合 1,a b, a 0, ，b ,则 b a ()aA. 1 B .1 C. 2 D,2b .解析：由题息知01,a b,a ,又a 0,故a b 0,得1,则集合1,0, a 0, 1,b ,可得aa 1,b 1,b a 2 ,故选 C。变式1 (2012新课标理1)已知集合 A 1,2,3,4

6、,5 ,B (x, y)|x A, y A ,则B中所含元素的个数为().A. 3 B. 6 C. 8 D. 10变式2 (2013山东理2)已知集合 A 0,1,2 ,B x y|x A, y A中元素的个数为().A. 1 B. 3 C. 5 D. 9变式 3 若集合 x,xy,lg(xy) 0,|x|,y ,贝U x , y .题型2集合间的基本关系思路提示(1)判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法.(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的

7、关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析.一、集合关系中的判断问题例 1.2 若 A x|x 4n 1,n Z ,B x|x 4n 3,n Z ,C x|x 8n 1,n Z，则 A, B , C之间的关系为().A. C 茴B A B. A u B CC. CuA B D. A B C解析：解法一：集合B中元素x 4n 3 4(n 1) 1,n Z,故集合A B,而集合C中元素x 4 2n 1,n Z ,故 C u A .解法二：列举 A L , 7, 3,1,5,9,L , B L , 7, 3,1,5,9,L , C L , 7,1,9, .因此 C u A

8、 B,故选C.评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法.k 1k 1一变式 1 设集合 M x | x 一 一，k Z , M x|x 一 一，k Z ，则2 44 2M NM u NM Y NM N例 1.3 设 A x|x2 8x 15 0 ,B x|ax 1 01（1）若a ,试判断集合 A与集合B的关系；5（2）若B A,求实数a组成的集合C.1分析：（1）先求集合 A,再由a -求集合B,确定A与B的关系.5（2）解方程ax 1 0,建立a的关系式求a,从而确定集合 C .解析：（1）由x2 8x 15 0得x 3或x 5,所

9、以A 3,5 . TOC o 1-5 h z 411若a ,得一x 1 0,即x 5,所以B 5,故BuA. 55因为A 3,5 ,又B A.当B 时，则方程ax 1 0无解，则a 0；11111当B 时，则a 0,由ax 1 0,倚x ,所以一3或一5,即a 或a a a a35故集合C0,1, 1 .3 5评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集（2）含参数的一元一次方程 ax b解的确定：当a 0时，方程有唯一实数解 x -；a当a b 0时，方程有无数多个解，可为为任意实数；当a 0且b 0时，方程无解.变式1已知集合A x|x2 3x 10 0 ,集合

10、B x | p 1 x2p1,若B A,求实数p的取值范围.二、已知集合间的关系，求参数的取值范围例1.4 （2012大纲全国理2）已知集合A 1,3, .m,B 1,m , A B解析:A,变式1已知集合变式2已知集合变式3已知集合,1 B0或31或石1或 33或m 而且m0或3.故选B.x| 3x 6 ,Bx | x a, a若A B ,则实数a的取值范围是. 1,1 ,B1 ,M，若P M1,1 DR ,则实数a的取值范围是P ,则a的取值范围是（. (, 1 1,)、集合关系中的子集个数问题例1.5已知集合A.2x|x 3x 10 0, x Z ,则集合A的子集个数为解析：集合 A x

11、 | x2 3x 10 0,x Z分析：本题应首先确定集合 A中元素的个数，再求其子集的个数2, 1,0,1,2,3,4,5 ,共8个元素，则集合 A的子集的个数为28 256.2例 1.6 已知集合 A x|x 3x 2 0,x R ,BC的个数为（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 4x|0 x 5,x N，满足条件A C B的集合解析：由 A 1,2 ,B 1,2,3,4 且 A CB ,得集合C是集合1,2与集合3,4的任一子集的并集,即求集合3,4的子集的个数为22 4 ,故选D.变式1已知集合M满足1,2 uM x|x 10,x N ,求集合M的个数.题型3集合的运算思路分

12、析凡是遇到集合的运算(并、交、补)问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、 TOC o 1-5 h z 补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想一、集合元素属性的理解例 1.7 已知集合 My| y x2 1,xR , Nx|yJ9x2，则 MN()A. x|1 x 3B . x|1 x 3 C .x|1x 3 D . x|1x4分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断 M、N是数集还是点集， 是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合 M代表元素是因变量，故是函数的值域(数集)；集合N的代表元素是自变量，故是函数的定义域(

13、数集) 解析：M y| y x2 1,x R y|y 1 , N x|y49 x2x|9 x2 0 ，即N x| 3 x 3 ,所以 M N x|1 x 3 ,故选 C.评注：几量遇到集合的运算(交、并、补)问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合 y| y f(x),x A是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化； 集合(x, y)|y f (x),x A是点集，表示函数y f(x)22图像上所有点的集合.再如集合M x|x y 1,x, y R ,可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合y| 1 y 1 ,表示的是数集1,1; N (x, y) | x2 y 0,x,y R表示的是曲线x2

14、 y 0,即2抛的线y x 上所有点构成的集合，它表木的是点集，故有 M N .另如M (x, y) |x2 y2 4 ,N y | y x , 则 有 M N , 而易 错 为M N ( .2, 、.2),(亚、2)变式1集合P x Z |0 x 3 ,M2x R| x 9 ,则 P MA.1,2 B . 0,1,2 Cx|0 x 3 D . x|0 x 31变式 2 已 知集合 A x R|x 3| |x 4| 9 ,B y R| y 4x - 6,x 0,则集合xA B变式 3 设全集 I (x, y)|x, y R ,集合 M(x,y)|-3 1 , N (x,y)| y x ，那么x

15、 2(加)(I N)()A.B . (2,3) C . (2,3) D . (x,y)|y x 12变式 4 已知集合 A (x,y) |x mx y 2 0,x R , B (x, y)|x y 1 0,0 x ，若A B ,求实数m的取值范围.二、数轴在集合运算中的应用 TOC o 1-5 h z 例1.8设集合S x|x 2| 3 ,T x|a x a 8 ,S T R,则a的取值范围是()A. ( 3, 1) B . 3, 1 C . ( 1,) D . ( 1,)分析：借助数轴表示集合 S和集合T ,根据集合的关系，求解参数的取值范围.解析：因为S x1或x 5 ,T x|a x a

16、 8，集合S, T在数轴上的表示如图1-1所示.因为a 1S T R,所以，可得 3 a 1.故选A.a 8 54*a 15 a 8图11变式 1 已知集合 A x R|x 2| 3 ,集合 B x R|(x m)(x 2) 0 ,且 A B ( 1,n),则 m , n 变式2已知全集U R ,集合A x| 2 x3 ,Bx|x1或x 4，那么集合A (aB)().A. x| 2 x 4B. x |x3或x 4C.x| 2x 1D. x| 1 x 3变式3已知集合Mx|- xx|x 3 ,则集合x|x 1A M N B . M N C . 6r(MN) D . 6r(MN)三、韦恩图在集合运

17、算中的应用例1.9设U为全集，M, P是两个非空集合，定义 M与P的差集M P x|x M且x P，则M (M P)()A P B.MP C.MP D . M分析：本题可利用题中所给定义 M P表示从集合 M中去掉属于集合 P的元素解题.解析：当M P时，根据题意利用韦恩图解题，如图1-2所示，M (M P) M P.当M P时，M (M综上，M (M P) MP .故选B.评注：凡是遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解.本题也可用举例法求解，比如M 2,4 ,P 1,3,5 ,根据定义得出所求集合为空集.故选B.变式 1 设全集 U M N 1,2,3,4,5 , M aN 2,4 ,则

18、NA.1,2,3 B1,3,5 C . 1,4,5 D . 2,3,4变式2某班级共有 喜爱足球的有30人，其中15人喜爱篮球, 人.8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不例1.10如图1-3所示，I是全集，A, B,C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()|图17A (A B) C B . (A eiB) C C . (A B) eiCD . (eiB A) C分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.解析：图1-3中的阴影部分为 A与C的公共部分，即 A C中去掉属于B的那部分元素后剩余元素组成的集合，即(A C)(腕)(A iB) C,故选B.对于韦恩图表述的集合应做如

19、下理解：阴影部分涉及到谁就交谁，涉及不到谁就交其补集.如图 1-4所示分别表示：(a)A B C ;(b)A BeiC； (c)(W)( iB) C 或ei(A B) C .(a)(b)(c)变式1已知M , N为集合i的非空子集，且 M ,N不相等，若N(eiM )，则M N ()A. M B . N C . i D . 四、以集合为载体的创新题 例1.11设A是整数集的一个非空子集，对于k A,如果k 1 A且k 1 A,那么称k是A的一个孤立元，给定S 1,2,3,4,5,6,7,8 ,由S的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 个.解析：由孤立元的定义，若t不是A的孤立元，t

20、应满足t 1 A或t 1 A,即集合中元素连续，故满足S的3个元素构成的不含孤立元的集合分别为1,2,3、2,3,4、3,4,5、4,5,6、5,6,7和6,7,8 ,共6个.评注：由S的3元素组成的集合中，含有一个孤立元的集合有30个，含有3个孤立元的集合有 20个.变式1设S是整数集Z的非空子集，如果 a,b S ,有ab S ,则称S关于数的乘法是封闭的，若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T V Z,且 a,b,c T,有abc T, x, y, z V ,有xyz V ,则下列结论恒成立的是(A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭C.T,V中有且只

21、有一个关于乘法是封闭D. T,V中每一个关于乘法是封闭变式2已知集合Aa1,a2,L ,ak (k2),其中aiZ(i 1,2,3,L ,k),由A中的元素构成两个相应的集合 S (a,b) |a A,b A,a b A , T (a,b) |a A,b A,a b A ,其中(a,b)是有序数对,集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的a A，总有a A,则称集合 A具有性质P.(1)检验集合 0,1,2,3与 1,2,3是否具有性质P,并对具有性质P的集合，写出相应的集合 S和T ;(2)对任何具有性质 P的集合A,证明:变式3 (2012江苏23)变式3设集合Pn 的个数.A P

22、n ； 若x A,则2x A；求f(4);(2)求f (n)的解析式(用n表示).k(k 1) n .2,- _ . . . * _ 1,2,3,L ,n ,n N ,记f(n)为同时满足下列条件的集合若 x ePnA ,则 2x en A.最有效训练题:.设集合Mx|x2 x 6 0 ,N x|1 x 3 ,则 M N 等于(A 2,3 B . 1,2 C . 2,3) D . 1,2).若 A x| y x2 ,B y |y x2 1,则 A BA. (1,) B . 1,2 C . 0,) D(0,)3.设全集U1,2,3,4,5,6,7,8 .集合 A 2,4,5,7 , B1,4,7

23、,8 ,那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是()A.3,6 B2,4,6 C . 2,6 D . 3,4,6.已知全集I R,集合M( )A 2 B . a|a 2x|x| 2,x R ,P x|x a ,并且M ueiP ,那么a的取值范围是a|a 2 D . a|a 2.设集合 A x|x a| 1,x R , Bx|1 x 5,x R .若 A BA. a|0 a 6 B . a |a 2或a 4 Ca |a 0或 a 6 D,则实数a的取值范围是a|2 a 4.设全集U(x,y)|x R,y R , A(x,y)|2x y m 0 ,B(x,y)| x y n 0，那么P(2,3)

24、 A (ejB)的充要条件是()m 1且 n5 D . m 1且 n53 ,则实数a _一A. m1且 n5 B.m 1 且 n5 C.设集合 A 1,3 ,B a 2,a2 2 ,A B1.已知集合 A满足条件：当p A时，总有 A ( p 0且p 1).已知2 A,则集合 A中所P 1 TOC o 1-5 h z 有元素的积等于.已知集合 A, B 满足 A x| 2 x 7 , B x|n 1 x 2m 1 ,且 B.若(a A) B ,则m的取值范围是.已知集合Ax|x2 4mx2m 60,x R.若A (,0) ，则实数m的取值范围是已知集合 Mm| m x2y2,x, yZ ,若对

25、任意的 m1, m2M ,求证：m1m2 M .已知集合1,2,3, L ,2n (n N ),对于A中的一个子集S ,若有他不大于n的正整数数m ,使得对S 中的任典一对元素g,s2,都有| Si S21 m ,则称S具有性质P .(1)当n 10时，试判断集合 B x A|x 9和C x A|x 3k 1,k N 是否具有性质P ?请说明理由.(2)若集合S具有性质P,那么集合T 2n 1 x|x S是否一定具有性质 P ?请说明理由参考答案第一章集合与常用逻辑用语例1.1变式1解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。BeAje-ye AitA = LZ3A5),x = 2y =

26、 l：x = 3(y =鸳= 5.产=LZJ.B =短2工值）.。,2工（4工）,电2工14月）5/）2：）53%（5惠Q,b中所含元素的个数为10.故选D例1.1变式2解析： 逐 个列举 可得，jr = 0,y = 02 时，五一丫 = 口 一L-29=Ly =。,1之 时，工一产=L0 -力工=2/ =也12时，工一y二21。根据集合中元素的互异性可知集合B中元素为-2,-1,0,1,2,共5个，故选C例1.1变式3解析：依题意到 0得犷手。，故1式到）=口即xy = i ,因此qL。=他.团加若某=I矶则r苴口又土于故芳 O.y = 1因此x=y=1与题意不符；若审=制则I ；或8二二,

27、显然工=1且V = 1与题意不符，故工= = 1 ,此时满足题意。例1.2变式1解析集合M中的元素g=三+：=三之,2,分子为奇数；集合 N中的元素工=牛承己/，分子为整 244-1数，则M N,故选B.例1.3变式1解析 由儿=制炉3 3万 1。空0,得力=也| - 2军工三5,若日口则（1）当B=0,即P+ 2P-i时，解得P 2（2）当BH时，如图1-9所示，由后口幺，得-2工P +1 2P-1 5,得2 MpM 3综上所述，实数P的取值范围是（一步,3-2p+12p-15图1-9评注：由E=且，勿忘B=0 （空集是任何集合的子集）例1.4变式1解析 由AgE,如图1-10所不得u1之6

28、,故实数o的取值范围是6+qpJ图1-10评注端点值的判断通常是初学者的难题，我们可用假设法帮助判断，即假设参数取端点后，与已知吻合，假设成立；若与已知不吻合，则假设不成立。例1.4变式2解析 如图1-11所示，A为（一鼻1, B为+如），要使立=立，只需优生t ,故实数区的取值范围是一吟A b * a1图1-11例1.4变式3解析由PuM=P,得M = P,则国巨-14,故选C.例1.6变式1解析由三沏*41逐知，集合M是集合口段567上g,10G的任一非空子集与集合1L2的并集，所以集合 M的个数为28-1=255 评注求有限集的子集个数问题，有以下结论：结论1 :含有n个元素的集合A =

29、总如的的子集个数为Z71,真子集个数为2n-1,非空子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2。2）：畤结论2设叫nw ,mTi rB =则有，满足1A工%也门一品的集合A的个数是产一世满足血立，石口口匚展4的集合A的个数是2-m-1满足血立,口小n江.尺匚的集合A的个数是 尸-7TM满足值型的.义,加口型/J的集合A的个数是产F-2 例1.7变式1分析 本题考查集合的概念与运算。解析 先化简再求交集，由已知得？二8工口三M二江|-3=工工3）, 故PnM = dL2nH|-：3vH3 = OLZ,故选 B评注：本题若忽视集合 P中元素的属性，易误将集合P等同于集合可口x3例1.7变式2解析

30、|x + 3| + |x-4| 4时嘉+ 3 +第一44欤艮1 4X：玄5, 综上所述，：-_ _ _又因为二力工+ 2 氏* E（0.+x）,由基本不等式得 y之2必二 吕=2,当工二:时取=所以3 =加加三一2,故4。8 =也|一2工工三5例1.7变式3解析 解法一：M表示直线y=x+1上除去点（2,3）的部分，&财表示点（2,3）和除去直线y=x+1的部分， 0芬表示直线y=x+1上的点集，所以右敌）门，正）表示的点集中仅有点（2,3）,即（2,3）。解法二：y1）nfGMI=GaJuN） = （2j 3）,故选 b例1.7变式4分析本题的几何背景是：抛物线 =炉+ 皿+2与线段y =

31、x + L0 x2）有公共点，求实数 面的取值 范围。解析解法一：问题等价于方程组P:炉工* *工在0,2上有解，即r+071-1%+ 1 =。在0,2上有 一胃十l解，令汽出=式。-（帏-l）x + 1,则由1（0）=知，抛物线V = f（#）过点（0,1）,所以抛物线T=f(#)在0,2上与x轴有交点等价于 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document f(2) = 2J + 2(m- 1)+1 0r i丁产 与 o或 0 0由得 , 由得 32所以实数m的取值范围为(一则一 1解法二：同解法一，问题等价于方程上 +- i

32、= 0在0,2上有解，故可以转化为函数值域问题。工”斗(加一 l)j + 1二。等价转化为(1 一 二炉+ i,当工=0时，方程不成立；当工工。时，方程转化为(1-E)=；当工巨(0.Z时，函数八封士子二二4: W 2+8),即当(1 -刘)w2, + m)时原方程有解，由l-mNZnm生一1,即所求实数的取值范围为 (-8,-11例1.8变式1解析 先求出集合A,再根据集合的交集运算求解。因为 A n W-S x UH = x|(x - rn)(x- 2) 0 ,当m m 2 时，4 口旧=。不符合题意，所以 m 2 ,即方=工甘1常 2,又A n B =也-1 H ，所以m = -Ln =

33、 :l.例1.8变式2解析 CUS = r|-1 x 41 An B) = 工| -1 土北式 31,故选 D例1.8变式3解析 解法一：闻=支|-：3cH1邯=戈|北=一3,所以河口加二口|受1,得国恒 -3,(CfliiCnW0 =xlx 1才魏反演律得VO E/m=c式Mu奔).故选D例1.9变式1解析 由豺1fletjN = 2d可得集合N中不含元素2,4,由排除法可知选项B正确，故选B.例1.9变式2分析本题中的集合关系比较抽象，可以考虑使用韦恩图求解。解析作出韦恩图，如图1-12所示，设所求为万人，则喜爱篮球又喜爱足球的有15工人，喜爱足球不喜爱篮球的有Q5 一力=x -人,故有工

34、+ (15 -H)+ (k - 7) + W=0,即jt=14.例1.10变式1解析如图1-13所示，因为况所以田匚M,所以MuN=M,故选A例1.11变式1解析 由于TuV = E,故整数1 一定在T,V两个集合中的一个中，不妨设I三尸，贝忖为S wT ,由于L0,5巨T , 则好人LeT,即她三T,从而T对乘法封闭；另一方面，当T = 非负整娄, U=（负整数）时，T关于乘 法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对，当丁 = 奇数,V二f偶数时，T,V显然关于乘法都是封闭的，故 B,C不对，故选A例1.11变式2解析（1）因为0后5123-0出,12,3,故集合促,123不具有性质P,集合-L用

35、具有f质P,其相应的集合 S 和 T 是5 =（-1.31（31）17 = （2 -1X（133.（2）首先，由A中元素构成的有序数对 破，叫共有H个，因为0任金，所以（如妣）史T U = L2-冷又 因为rw金时，-n巨A ,所以当（片,与）皂T时，（叼,吗）三丁&7= 1.Z由/工力，从而集合T中元素的个 数最多为 =%三,即隹二型三.例1.11变式3解析（1）当n=4时，匕=11230，满足条件的集合A有14i1息41崔（工,北。所以汽4） = 4 .（2 ）解法一：任取偶数工后片，则必有奇数p巨/，使得 = p 2m用w W。若产WR ,则2P隹&和皂4,8/ W 4 .，即上正月o

36、q为偶数，x A o值为奇数；若？底盘，则2扫e乩知成寓8P巨乩， 即1巨A o可为奇数，立底Auq为偶数。所以，任意偶数 工w P=%21)丸是否属于集合 A,完全由奇数P& E %)确定。设集合。忱是由集合耳中所有奇数组成的集合， 则f等于集合。干的子集个数，即汽?0: 2： ,硒奇数 c (陶衽为偶颤解法二：易得/11= 2J(2) = 2 ,当然2Z且甚为奇数时，集合5-中满足条件的集合 A有f5 1)个,对于集合耳，考虑元素n,因为n为奇数，所以虔w4或除虎乂均可，故=2f(n- 1). TOC o 1-5 h z 肛VL鼻*1!即尸 = 2八1工5) = 2汽3代堵=2f(n -

37、1),叠乘得f(n) = 2H*1)=.当作生2且n为偶数时，集合 与虫中满足条件的集合 A有/Xn - 1)个。对于集合 均，考虑元素n,因为n为偶数，所以7l A; EAnEA即n是否属于集合 A,完全由;确定。而集合 Et中，对于每一个满足条件的集合A,元素言是否属于集合 A均是确定的，故W+La汽靠)=f8 i为奇数，所以rw二汽靠-i)= 2=/ n-H-1综上，汽n)=12-,力评注：数列的核心是递推，先从特殊的几个数(n=1,2,3,.)入手，关键在于发现 代可 词01-1)的关系，从而发现一般规律，再给予证明。递推法是处理数列问题(乃至大学学习计算机等方面)的杀手铜”，请读者深思体会，并能灵活运用。最有效训练题11.D 解析 因为好=(工|/+工-60=值|-3工；外网=闵1二丁二笄，所以AJnJV = (x|lz 2,故选 D.2.B解析 因为4 = kb =网=词=团一2三或胃2田=顼9二炉十 二包21,所以AcB = 112,故选 b3.A解析阴影部分所表示的集合为 QQ1U丑)，而乩=2, 4,5, 7等，故ub) = 口,舒,故选A.4.C解析 因为M =刈刑-2H2XF=#|第4i：ihM&C/,如图1-14所示，利用数轴可得:三，故选