15.1.1圆的概念及性质1.讲义学生版

1、.124.1圆的概念及性质知识点睛一、圆的相关概念圆的定义描述性定义：在一个平面，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径集合性定义：平面到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“，读作圆“同圆、同心圆、等圆：圆心一样且半径相等的圆叫同圆；圆心一样，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆注意：注意：同圆或等圆的半径相等弦和弧弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心

2、距弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作，读作弧等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形圆心角和圆周角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角二、圆的对称性旋转对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合圆的旋转对称性圆心

3、角、弧、弦、弦心距之间的关系轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴圆的轴对称性垂径定理三、圆的性质定理圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，则它们所对

4、应的其余各组量分别相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：前提条件是在同圆或等圆中；在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论1：平分弦非直径的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等注意：假设“过圆心的直线、“垂直于弦、“平分弦非直径、“平分弦所对的优弧、“平分弦所对的劣弧中的任意两个成立，则另外三个都成立注意：应用垂径定理与推论进

5、展计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量例题精讲一、圆的相关概念及性质判断题：1直径是弦( )2弦是直径( )3半圆是弧( )4弧是半圆( )5长度相等的两条弧是等弧( )6等弧的长度相等( )7两个劣弧之和等于半圆( )8半径相等的两个圆是等圆( )9两个半圆是等弧( )10圆的半径是，则弦长的取值围是大于且不大于( )【稳固】如图，在两半径不同的同心圆中，则 ABC的度数的度数D的长度的长度如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，则以下格式中正确的选项是( )A B C D【稳固】如图，两正方形彼此相邻且

6、接于半圆，假设小正方形的面积为，则该半圆的半径为_如图，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两局部，并说明这条直线经过的两个点是；如图，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两局部，并说明这条直线经过的两个点是二、圆的性质定理圆周角定理如图，则弧所对圆周角的度数是 A B C D【稳固】如图，是的外接圆，则的大小为_如下左图，四个边长为的小正方形拼成一个大正方形，是小正方形顶点，的半径为，是上的点，且位于右上方的小正方形，则等于_如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为_【稳

7、固】如图，量角器外缘边上有三点，它们所表示的读数分别是，则的大小为 ABCD如图，是的外接圆，则的度数是 ABCD【稳固】如图，是的直径，是O的弦，连接，假设，则的度数为CBDOA如下列图的半圆中，是直径，且，则的值是_【稳固】如图，是的直径，设，则_如图，为的直径，是的弦，的延长线交于点，假设，求的度数【稳固】如下列图是的直径，交于，且，求的度数如图，在中，的度数为，是上一点，是上不同的两点(不与两点重合)，则的度数为_【稳固】如图，是的直径，弦交于点，弦交于点，且假设，则_如下列图，在中，则的半径为 【稳固】如图，的三个顶点都在上，则的半径为_【稳固】如图是半圆的直径，点在弧上，且平分，求

8、的长如图，是的接三角形，点是优弧上一点(点不与重合)，设，1当时，求的度数；2猜想与之间的关系，并给予证明【稳固】如图，与相交于、两点，是的直径，且把分成度数比为的两条弧，是上的动点(不是、重合)，连结、分别交于、两点1当是钝角三角形时，判断的形状2当是直角三角形时，判断的形状3当是锐角三角形时，判断的形状这种情况加以证明圆及相交于点及圆的圆心落在的圆周上，圆的弦交于点如图，证明：线段与是互相垂直的【稳固】两圆相交于、，是大圆上一点，过、和、分别作直线交小圆于、，过、作直径求证：如图，是的直径，点是上一点，连结，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连结，与直线交于点求证：【稳固】如图，：在

9、中，直径，点是上任意一点，过作弦，点是上一点，连接交于，连接 求证：； 猜想：与的数量关系，并说明你的猜想； 探究：当点位于何处时，.并加以说明如图，是圆中的三条弦，点在上，且请你说明以下各式成立的理由：1；2【稳固】在中，点、分别是的外心、垂心点、分别在边、上，使得，求的面积圆接四边形如图，为的直径，交于点，交于点， 现给出以下四个结论：； ； ； 其中正确结论的序号是A BC D【稳固】：如图，面积为的四边形接于，对角线经过圆心，假设，则的长等于 是的直经，是弦，假设，求由四点构成的四边形的周长【稳固】如图，四边形接于直径为3的圆，对角线是直径，对角线和的交点，且，求四边形的周长如图，四边

10、形为正方形，过正方形的顶点和对角线的交点，分别交于点1求证：2假设的半径为，求的值圆接四边形，交于，于，交于求证：【稳固】圆接矩形，过作圆的切线，分别与、的延长线相交于、，求证：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆中，的度数小于，且，则弦和弦的大小关系为 A B C D无法确定【稳固】如下列图在中，则 与的大小关系不能确定是的弦，平分交于，弦交于，求证：平分【稳固】如图，过的直径上两点，分别作弦，假设求证：；点、顺次在上，于点，求证：【稳固】在中，是它的外接圆上包含点的弧的中点，上的点使得，求证：如图，是的接三角形，为中上一点，延长至点，使是关于的方程的两根 求证：；假设，求证：【稳固】如图

11、，四边形接于圆，且其对角线交于点，点在线段上，使得假设，求的值：如图，是中直角边上的一点，以为直径的圆交斜边于点，连结交此圆于点，交于点求证：【稳固】是半圆的直径，点在圆上，过点、分别作过点的切线的垂线、，、为垂足，求证：课后作业如图，是的直径，点在上，则_如图，是的圆周角，则圆心角是 ABCD如图，四边形是的接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是( )如图，为的直径，过点的弦平行于半径，假设的度数是，则的度数是 ABCD如图，为O的直径，则_如图，是的直径，点，都在上，假设，求如图，是的直径，点，都在上，假设，求如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台如图，接于，为的直径，则_的弦长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角，如图：为的直径，交于点，交于点，给出以下五个结论：，；劣弧是劣弧的倍；其中正确结论的序号是如图，半圆的直径，点在半圆上，1求弦的长；2假设为的中点，交于点，求的长如图，外接于正方