2.2抛物线的简单性质 (3)

1、抛物线的简单性质西安市第二十五中学：杨华定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图 形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0)x2=-2py(p0)一、温故知新范围1、由抛物线y2 =2px（p0）有 所以抛物线的范围为二、探索新知如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性2、关于x轴对称即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px

2、(p0)关于x轴对称.则 (-y)2 = 2px若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，顶点3、 定义：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。y2 = 2px (p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.只有一个注:这与椭圆有四个顶点不同。离心率4、P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。（二）归纳：抛物线的几何性质图 形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFy

3、xOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴y轴1特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P(x,y)P越大,开口越开阔y2=2pxxyoFlAB过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB叫做抛物线的通径，长度为2pP越大，开口越阔 通径：（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点

4、、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），解:所以设方程为：又因为点M在抛物线上：所以：因此所求抛物线标准方程为：三、典例精析坐标轴例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程.练习：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 .变式训练： 顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M的抛物线标准方程。这样的方程有几个？例2、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 解法1 F1(1 , 0)

5、, 例2、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 解法2 F1(1 , 0), 例2、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 解法3 |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8ABFA1B1例2、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。变式训练：已知抛物线的对称轴为x轴，线上一点M（3，m）到焦点的距离为5，求m的值。四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一