第三讲-抛物线的方程及性质

1、第三讲抛物线、知识要点分析:设p 0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:标准方程y2 2pxy2 2pxx2 2 py2.x 2py图形 1 y / lyTKJxy人住日 八、八、F(p0)F( f,0)f(0,1)F(0, 9准线x Ixy弓y卫 2范围x 0,y Rx 0, y Rx R, y 0 x R, y 0对称轴x轴y轴顶点0,0离心率e 1住日 八、八、PFI 2 x1lPFl -2 lx11lPFl -p y11PH p |y1注：p的几何意义：焦点到准线的距离，故p恒为正数;通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.焦点和准线与对称轴的交点关于原点对称.二、典型例题考点1、抛

2、物线的定义例1、方程，2(x 3)2 2( y 1)2 |x y 31表示的平面曲线是DA.圆B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线练习1、点P到一个定点M与到一条定直线l的距离之比为1:1 ,则点p的轨迹是DA.抛物线B.射线 C. 直线 D.抛物线或直线例2、已知点P3,2在抛物线y2 4x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 M使|MP|+|MF| 最小，并求此最小值.答案:M1,2，|MP|+|MF| 最小值为 4.练习2、在抛物线y2 2px(p 0)上一点横坐标为为-9,它到焦点的距离为10,这点坐标为.答案：-9,6和-9 , -6例3、点A、B为抛物线y2 2px(p 0)

3、上任意两点，假设AB通过抛物线焦点F,则以AB为直径的 圆与抛物线的准线的位置关系是CA .相交B .相离C.相切D .不确定练习3、点P在抛物线y2 2px(p 0)上，F为抛物线的焦点，则以 PF为直径的圆与y轴的位置关系 是CA .相交B .相离C.相切D .不确定考点2抛物线的标准方程例4、抛物线方程为7x 8y2 0的焦点坐标为BA.练习A.(1 ,0)164、抛物线方程为 y1(,0)4B - ( j0)322X的焦点坐标为D1( -,0)4C- (0，32)(0, )16D.1(0，4)例5、设a 0,aR,则抛物线y 4ax2的焦点坐标为CA.(a,0)(0, a)(0, )1

4、6aD.随a的符号而定练习A.5、抛物线x(喘)2py2(p 0),则抛物线的焦点坐标是 DB.(旦0)2C. (0当2例6、抛物线x(2a 1)y的准线方程为y=l,则实数a的值等于DA.练习A.526、抛物线182ax的准线方程为y=2,则实数a的值等于BB. 18C. 8例7、假设点PA. y2 8xXy到点F0,2的距离比它到到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程是C练习7、到点F0,-2的距离比它到到直线y=1的距离大1的点的轨迹方程是,2A. y 8xB .例8、动圆与定圆A： (x 2)2 y2y28xx28y8y 一x28y1外切，且和直线 x=1相切，则动圆圆心A的轨迹

5、方程是答案：y2 8x练习8、动圆M和直线x=-4相切，并且经过点 F4,0，则动圆圆心 M的轨迹方程是y2 16x.例9、如图，lp l2是两条互相垂直的直线，垂足为 M,点N在直线L上.以A、B为端点的曲线段 C上任意一点到l2的距离与到点N的距离相等.假设AMN锐角三角形，|AM | 历,|AN| 3,|BN| 6.建立适当的坐标系，求求曲线段C的方程.答案：y2 8x(1 x 4,y 0)练习9、在平面直角坐标系中，抛物线 y x2上异于坐标原点的两个不同动点A, B满足OA OB.22求AOBW重心G的轨迹万程；答案：y 3x2 一3AOBW面积是否存在最小值？假设存在，请求出最小值

6、；假设不存在，请说明理由.答案：1考点3抛物线的几何性质例10、假设直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于 A B两点，且线段A B中点的横坐标为2 .求 线段AB的长.练习10、抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距离之和是 5,则线段AB中点到y轴的距离是.例11、已知抛物线y2 2x和点A(a,0).1假设a ,求抛物线上距离点 A最近的点的坐标；答案：0,0a (a0)2假设a R ,求抛物线上点到点 A的距离的最小值.答案：d a(0 a0上的两点，且 OA1O01求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；2求证：直线AB过定点；3求弦AB中点P的轨迹方程；4求AOE积的最小值。

7、1解：设 AX1, y，BX2, y2，中点 Px0, y。， TOC o 1-5 h z k七儿二也上融=-JOAOB. .卜皿*二-1町当十力打二口 Kl冷o HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 22yi2- 2眄,为2posa,- - + 7)73 - 02P纨 。二一：1 .O2证明：回必=2%吟,-必一%)依f)=2的叼)。,力一为 一, lr 2pa.j。=u4-% + %力4力y-yi(x-kj)直线AB:加_ 2% .2 P笈1一通十巧丫2一力十力 1力十% -yi+n 九十为 。回门 =却盯必=.、?2 叫 Tp，泊+为 Yif

8、 ,2?yi + ya3（工-4） .AB过定点2p, 0,设 M2p, 0。解：设 OA： y = kx ,.A（组玛 叶广，同理,/=p0c3 +&以H代k得忙L型）。2即=辞口 -却，中点M的轨迹方程丫口 一功，.50与人网4 $小口m :|四|（|八|斗|力。=P伽阴力I）,却出为I = 4/4解：2当且仅当|yi| =|y2| =2p时，等号成立。练习14、如图，过点F1,0的直线l与抛物线C: y2=4x交于A、B两点.1假设|AB|=8 ,求直线AB的方程；2记抛物线C的准线为l ,设直线OA OB分别交l于点N、M求 OM ON的值.解 1设 Ax1, y1，Bx2, y2，|

9、AB|=8,即 x1+x2+p=8, . x1+x2=6., |AB| 2p, 直线l的斜率存在，设其方程为y=k(x-1).,)y24x 、，一 ，口由万程组 y , 消去 y,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,y k(x 1), TOC o 1-5 h z 一2一,2 6,得 k= 1.,c 2k 4 日口 2k- x1+x2=即k2, I，直线 AB的方程是 x-y-1=0 或x+y-1=0.2当直线l的斜率不存在时，OM ON OA OB=x1x2+y1y2=1-4=-3.当直线l的斜率存在时,由1知，x1x2=1,y1y2=-16x1x24,设 M-1 , y3,N(-1,y

10、4),B,O, M三点共线,与血y31 x2在，同理可得y4 幺 x2为 OM ON = -1y3 -1 , y4=1+y3y4=1+ y1 y2 x1x23.综上，=-3.练习一、填空题.抛物线x2 4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为 o.抛物线y 2x2的焦点坐标是 o.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，其上的点P(m, 3)到焦点的距离为5,则抛物 线方程为 o.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点 (一2,3),则它的方程是.动圆M经过点A 3,0且与直线l : x3相切，则M的轨迹方程为 。.边长为1的等边AOB O为原点，AB! x轴，以O为顶点且过A、B

11、的抛物线方程 是。.在抛物线y28x中，以-1 , -1为中点的弦所在的直线的方程为 。.抛物线顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线 x y 2 0上，则抛物线的方程为。.过抛物线y2 2px p 0焦点，且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，假设AB 8 , 则抛物线方程为。.假设点A的坐标为3, 2，F为抛物线y2 2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则PA PF取得最小值时点P的坐标是 o.已知圆x2 y2 6x 7 0,与抛物线y2 2PMp 0）的准线相切，则p 。.抛物线y2=2pxp0上一点M与焦点F的距离|FM | Dp,则点M的坐标是。2.抛物线y2 8x上两点M、N到焦点

12、F的距离分别是d1，d2,假设d d2 5,则线段MN的中点P到y轴的距离为。.抛物线y2 4x的焦点为F ,准线为l ,经过F且斜率为73的直线与抛物线在x轴上方的 部分相交于点A , AKl ,垂足为K ,则 AKF的面积为二、解答题15.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点（3,m）到焦点的距离为5,求抛物线的方程。.抛物线y2 2Px(p 0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y 2x ,斜边长是5J3 ，求此抛物线方程。.假设抛物线y2 2 Px上三点的横坐标城等差数列，求证：该三点的焦半径也成等差数 列。.已知抛物线x2 4y的焦点为F, A、B

13、是抛物线上的两动点，且 AF FB( 0).过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 MI证明FMAB为定值；II设ABM的面积为S,写出S f()的表达式，并求S的最小值、填空题抛物线参考答案11 .2 . (0, -)3. x 8y829 f 24. y 一 x或 x - y23. y2 12x6. y2.3x627. 4x y 3 08 . y8x 或 x2 8y9. y2 4x10.2, 211. 212.p, =,且有 xiX2=一入x2 = 4入y2= 4, 1c1抛物线方程为y=-x2,求导得V =X.所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是1y = 2X1（x X1）+y1,

14、 y=/X2（x X2）+y2,日门 11 211 2即 y=2X1x 4X1, y=2X2X 4X2.解出两条切线的交点M的坐标为（f, 等）=（3萨，-1）.4分一一.、，二 一一X1 + x2-1 2 2 _ 1 2 12 _所以 FM - Ab=（2, 2）（X2 X1, y2y1）=5（X2 X1） 2（4X2 4X1）=0-一 一 所以FM AB为定值，其值为0.7分.（H）由（I ）知在 ABMI, FML AB,因而 S= 21ABi FM ._/ x+X2 _1FT1 . 1 FM = Aj（ -2-） 2+（ 2）2= Aj 4X*+4x22+ 于的+ 4=1丫1 + 丫2+1*（ 4） +47 V+2=g+/.因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y= 1的距离，所以| AB =| AF +| BF =y1 + y2+2=入 +；+2=（近 + ）2.于是S= 1|AB| FM =