青岛全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总

1、青岛全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题分类汇总一、一元二次方程1.已知：关于x的方程x2-4mx+4m2-1 = 0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若 ABC为等腰三角形，BC= 5,另外两条边是方程的根，求此三角形的周长.2【答案】(1)有两个不相等的实数根(2)周长为13或17【解析】试题分析：(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出=40,由此可得出：无论 m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)根据等腰三角形的性质及 。，可得出5是方程x2-4mx+4m2-1=0的根，将x=5 代入原方程可求出 m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出

2、结论.试题解析：解：(1) .-A = (-4m) 2-4 (4m2-1) =40,，无论 m为何值，该方程总 有两个不相等的实数根.(2)0, ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，5是方程x2-4mx+4m2-1=0的根.将 x=5 代入原方程，得：25 - 20m+4m2 - 1=0,解得：m1=2, m2=3.当m=2时，原方程为x2- 8x+15=0,解得：x1=3, x2=5. 丁 3、5、5能够组成三角形，该三角形的周长为 3+5+5=13;当m=3时，原方程为x2- 12x+35=0,解得：x1=5, 地=7. 丁 5、5、7能够组成三角形，该三角形的周长为 5+5+7=1

3、7.综上所述：此三角形的周长为13或17.点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记当40时，方程有两个不相等的实数根 ”；(2)代入x=5 求出m值.2.已知x1、x2是关于x的一元二次方程(a-6) x2+2ax+a=0的两个实数根.(1)求a的取值范围；(2)若(x1+1) (x2+1)是负整数，求实数 a的整数值.【答案】(1) a0且aw6;(2) a的值为7、8、9或12.【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z (1)根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；(2)2aa根据根与系数的关

4、系可得Xi+X2= , XiX2= ,由(Xi + 1) (x2+1) =XiX2+Xi+X2+1 =a 6 a 666是是负整数，即可得 是正整数.根据 a是整数，即可求得 a的值2.a 6a 6【详解】.原方程有两实数根，,s-STO lA=(2a) ，a0且 aw6Xi、X2是关于x的一元二次方程(a-6) x2+2ax+a=0的两个实数根， v . 2aaX1+X2=- 77，X1X2=R，. ，一 . 、 ，,、, a 2a .6一(Xi + 1 ) (X2 + 1) =X1X2+X1+X2+1 = K -有+1 = 一荔. (Xi + 1) (X2 + 1)是负整数，-搐是负整数，

5、即是正整数. a-ba-b.a是整数,a - 6的值为1、2、3或6,.a的值为7、8、9或12.【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于 a的不等式是解此题的关键. TOC o 1-5 h z .、223.已知关于X的一兀二次万程 X (2k1)X + k -3=0有两个实数根.(1 )求k的取值范围； 22(2 )设方程两实数根分别为 X1, X2,且满足为+X2 =23,求k的值. HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 13_【答案】(1) k -8k +5之0,解之可得.(2 )利用根与系数的关

6、系可用k表示出X1 +X2和X1X2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.【详解】解：(1 )：关于X的一元二次方程X2 -(2k-1)X + k2 3 = 0有两个实数根，.L0, gp -(2k -1 2 -4xp0 ,13解得k E23 .42(2 )由根与系数的关系可得 X+X2=2k1, XX2=k -3 ,X2X2=(为X2)2 -2x1x2=(2k-1)2-2k2-3)=2k2-4k 7 ,22. X12 x2 =23 ,二 2k2 -4k +7 =23，解得 k =4,或 k = 2 ,13* k M;， 4,k =4舍去, k = -2.

7、【点睛】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a #0,a, b, c为常数)根的判别式.当|_0, 方程有两个不相等的实数根；当 L = 0,方程有两个相等的实数根；当 00,方程没有实 数*H .以及根与系数的关系.4.计算题X21(1)先化简，再求值： (1 + f),其中x=2017.X -1X -1(2)已知方程X2-2x+m-3=0有两个相等的实数根，求 m的值.【答案】(1) 2018; (2) m=4【解析】分析：(1)根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解 的作用； TOC o 1-5 h z (2)根据一元二次方程的根的判别式求解

8、即可 HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 、少x21详解：(1) - +(1+一一)x -1 x -1 HYPERLINK l bookmark79 o Current Document 22x x -1 1=7 HYPERLINK l bookmark152 o Current Document x -1x -1_ x2x 1 x -1=:2 HYPERLINK l bookmark160 o Current Document x -1x=x+1,当 x=2017 时，原式=2017+1=2018(2)解：,方程x2-2x+m - 3=0有两个

9、相等的实数根，.= (- 2) 2-4X1X(m-3) =0,解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方 TOC o 1-5 h z 程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.25.解万程：(3x+1) =9x+3.12【答案】x二 - , x2=. HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 33【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：(3x+1) 2-3 (3x+1) =0,分解因式得：(3x+1) (3x+1-3) =0,可得 3x+1=0 或 3x- 2=0,12解得

10、： = - , x2=-.33点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点， 然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择 即可.6.已知：关于工的方程必* 0%一+ 一 = 有两个不相等实数根（年0）.（1）用含的式子表示方程的两实数根；X2丫 丫丫、 + 工=0（2）设方程的两实数根分别是 “I, 士（其中工17士），且与，求收的值.【答案】（I） ; kx2+（2k 3）x+k- 3 = 0是关于x的一元二次方程.一一工伏-9由求根公式，得（3-狗33 工=-：.一工=一或x二一12kk3（H）Y 女 0，1T k3而 工

11、 ,4 , .瓦二-l, x:叼 + 2k0由题意，有 31 - +2k=0 i卜 即2k*+k-3 = 0（*）3火1 =1解之，得3 k = 经检验如42是方程（*）的根，但0,再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件 x1x2,可知道x1和x2的数值，代入计算即 可.一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措m施，其中规定每月用水量超过 加（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费丽元.下图反映了每月收取的水费1y （元）与每月用水量x （吨）

12、之间的函数关系.请你解答下列问题：. y与x的函数关系式为：y=1.7x (xwm);JJ Jj 二 1一7工+(,t川).荷或 j = L7盘+(x 阴)-(1.7+血)(x m).已知打为正整数，二次方程x：+(2打+1)工+打：二。的两根为a审，&，求下式的值:+* * *+(饱 +1XA +1) (% + IX ?4 +1)+双尸” + 】)【答案】 7601 1 1【解析】由韦达定理，有 a,-艮二T2/l), 巴月二.于是, 对正整数”之，有 111(a +1XA +1) a A + a- +A +1-(2n+ 1) + 1n(n-2) 2 n-2 n1 门 1,11 lSi .

13、1,11 x原式23 2 2 42 18 201川 1 1 1 、 531a 4)22 19 20 760.元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果，已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为 4元和2元时，陈老 师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用 82元.(1)求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？(2)在(1)的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高 x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种

14、苹果共获利 960元，求x的值.【答案】(1)甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；(2) x的值为2或7.【解析】【分析】(1)根据题意列二元一次方程组即可求解，(2)根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】(1)解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克，b元/千克.a+b=18由题得：:，上 上，3(a+4)+4(b+2)=82a =10解之得：b =8答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 由题意得：(4 + x )(10010 x)十(2+x；(140 10 x )=960解之得：x1 = 2 , x2 = 7经检验，x1 = 2 , x2 = 7均符合

15、题意答：x的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用，中等难度，列方程是解题关键10.(问题)如图 ，在axbx(长 嘤福，其中a, b, c为正整数)个小立方块组成的 长方体中，长方体的个数是多少？(探究)图圉PAB上共有1+2=冬3 =3条线段, 23X1X1= 3AB上共有1+2+3= 4 =6条线 2探究一:(1)如图，在2X1X小小立方块组成的长方体中，棱棱AC, AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为(2)如图，在3X1X小小立方块组成的长方体中，棱段，棱AC AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为 6X1X1= 6(3)依此类推，如图 ，在

16、aX1X个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有 1+2+2*+1 线段，棱AC, AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为探究二:(4)如图，在ax 2X个小立方块组成的长方体中，棱 AB上有a(a+1)条线段,棱AC2上有1+2=立3=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为 2迎43*群入AC（5）如图，在ax 3X个小立方块组成的长方体中，棱 AB上有a（a+1）条线段,棱2上有1+2+3= 3四=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为.2（6）依此类推，如图 ，在ax bx个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为（7）如图，在以ax bx小小立方块组成的长

17、方体中，棱AB上有 州2*1）条线段,2b b 1AC上有-!2条线段，棱AD上有1+2=2炉=3条线段，则图中长方体的个数为23ab a 1 b 1x 3=4AC（8）如图，在axbx第小立方块组成的长方体中，棱 AB上有a（a+1）条线段,棱2上有b（b 1条线段，棱AD上有1+2+3=3*=6条线段，则图中长方体的个数为 22图图（结论）如图 ，在axbx个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 .（应用）在2X3X外小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 .（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论.

18、a a 1ab a 1 b 1【答案】探允一：（3）；探究二：（5） 3a （a+1） ; （ 6） A/ ；探究三：（8）3ab a 1 b 1人abc a 1 b 1 c 1；【结论】： 士士!；【应用】：8180;【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64,见解析【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱 AB, AC,（5）根据规律，求出棱 AB, AC,（6）根据规律，求出棱 AB, AC, （8）根据规律，求出棱 AB, AC, （结论）根据规律，求出棱 AB, AC,AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;AD上的线段条数，

19、即可得出结论;AD上的线段条数，即可得出结论;（应用）a=2, b=3, c=4代入（结论）中得出的结果，即可得出结论;（拓展）根据（结论）中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论. 【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有a（a+1）线段，棱AC, AD上分别只有1条线段，2则图中长方体的个数为即11）x 1 X胞口，22上a a 1故答案为；2探究二：（5）棱AB上有 翅“1）条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线2段，则图中长方体的个数为 a（a）X6X1= 3a+1）,2故答案为3a （a+1）;（6）棱AB上有aS+1）条线段,棱AC上有b（b+1）条线段,棱AD上只有1条线段

20、， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 22则图中长方体的个数为士）比L）x1随31L）, HYPERLINK l bookmark114 o Current Document 224故答案为aba 1b 1 ；4探究三：（8）棱AB上有a（a+1）条线段,棱 AC上有b（b+1，条线段,棱 AD上有6条 22线段，则图中长方体的个数为 a（a+1 ） /e+1）* 63ab（at Xb+1花.3ab a 1 b 1故答案为 A （结论）棱AB上有a（a +1）条线段，棱 AC上有 b ）条线段,棱 AD上有c（c*）

21、条线段,a a 1 b b 1 c c 1 abc a 1 b 1 c 1则图中长万体的个数为 ，限=一二&*,人 abc a 1 b 1 c 1（应用）由（结论）知，$.1故答案为abca 1 b 1 c 1;8在2X3X公小立方块组成的长方体中，长方体的个数为2 3 4 2 13 14 1 _08故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x,由题意得x3（x 1）3-=1000,8 x （x+1） 3=203,. x （x+1） =20,1 1 xi=4, x2=-5 （不合题意,舍去）.-.4X4X4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64.【点睛】

22、是一道比较容易出错解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度, 的题目.11.关于x的一元二次方程厘-（m+3） x + m + 2 = Q.求证：方程总有两个实数根；.若方程的两个实数根都是正整数，求 m的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根（2）根据题意利用十字相乘法解方程，求得 l = l，4 = m + 2,再根据题意两个根都是正整 数，从而可以确定e的取值范围，即求出吗 m的最小值.【详解】证明：依题意，得（皿+m+=/ + 6m + 9 - 4m - 8=（m 十

23、I）?;1）E之 0 ,，方程总有两个实数根.(2)由一 (m+3)x + m + 2 = 0.可化为：得问=1卢z = m + 2 ,方程的两个实数根都是正整数，m的最小值为-1.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方 程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数 根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.工人师傅用一块长为 10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要12dm2时，裁掉的正方形边将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)求长方体底面面积为 长多大？2dm ,底

24、面积为12dm2.xdm,则制作无盖的长方体容器的长为(10-2x)【答案】裁掉的正方形的边长为【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为dm,宽为(6-2x) dm,根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12 ,即 x2-8x+12=0,解得 x=2 或 x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ,底面积为12dm2.2.12_.已知：关于x的一兀二次方程 x +(m+1)x+m 2=0.4(1)若此方程有两个实数根，求没m的最小整数值；(2)若此方程的两个实数根为 x1，X2

25、,且满足x2+x1X2=18_1m2_x2,求m的值. 4【答案】(1)-4; (2) m=3【解析】【分析】(1)利用根的判别式的意义得到然后解不等式得到 m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；12(2)利用根与系数的关系得到 x1+x2 =(m+1), x1x2=m -2,然后解关于m的一4元二次方程，即可确定 m的值.【详解】212斛：(1) x +(m+1)x+m - 2=0有两个实数根，4.2. 12-.=(m+1) 4父1父(-m -2) 0 ,4. 2m 9 _0,9 m；2，m的最小整数值为：m=M;12(2)由根与系数的关系得：x1+x2 =(m+1), x1x2 = -

26、 m -2 ,4由 x2 +x| + x1x2 = 18 1 m2 得:m 1 111m2 - 2 = 18 -1 m244m2 +2m -15 =0,解得：m=3或m = -5；1 1 m 3.x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw,的两根时，则【点睛】本题考查了根与系数的关系：若bc X +x2 = , x1x2 =一,也考查了根的判别式.解题的关键是熟练掌握根与系数的关系aa和根的判别式14.关于x的一元二次方程x2- (m-3) x-m2=0(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根为xi, X2,且|xi|=|x 2| -2,求m的值及方程的根

27、.【答案】(1)证明见解析；(2) xi=- 1+夜，x2=- 1-应或【解析】试题分析：(1)根据一元二次方程的判别式=/-4ac的结果判断即可，当 40时，有两个不相等的实数根，当 =0时，有两个相等的实数根，当 0时，方程没有实数根； TOC o 1-5 h z bc(2)根据一兀二次方程根与系数的关系x1+x2=-b, x1?x2=-,表不出两根的关系，得到 HYPERLINK l bookmark148 o Current Document aax1, x2异号，然后根据绝对值的性质和两本!的关系分类讨论即可求解试题解析：(1) 一元二次方程 x2 - (m-3) x-m2=0,2 a=1, b= - ( m 3) =3 - m, c= - m , =b2 - 4ac= ( 3 - m) 2 - 4X 1 x( m2) =5m2- 6m+9=5 ( m - - ) 2+,550,则方程有两个不相等的实数根；(2)x1?x2= = - m