高数下第十二章习题解答

1、习题 12.1(A)1.(1) 0 ；(2)发散；(3)发散；(4) 2 1 (1)n131 , 2 ；(5) 1(n 2) ,1.n(n 1)2n31111n2.(1)解: un n 1n1n 1所给级数发散.,而发散,5n5nn 1111n 1 1 9为等比级数, q(2)解:,收敛,从而所给级数收敛.9n9nn 1n 1 0 ,所给级数发散.(3)解: lim u lim()2n2n 14nn112211n 2n 2(4)解: un n 1 2 2,un 2n 1nn 1n 1n 1nn 1所给级数发散.(B)111.(1)1 ,1；(2) arctan.(n 1)!1 n(n 1)12

2、.解: u1 s1 2 1 1 1 .当 n 2 时,有n 11nu s s,nnn 12n 12(n 1) 1(2n 1)(2n 3)1故此级数为un n1n 1.(2n 1)(2n 3)12unn 1, un 1 s u1 , un 2 s lim sn s u1 u2 ,n n1n 13321故(u uu) 3s (u u) u s s 1 .nn1n 2121212236n 1(1)n 1 (2n 1)n1 (n 1) n113.(1)解: un (1) (1)(n 1 1) ,n(n 1)n(n 1)nn(1)n11111111 sn (1 2) ( ) ( ) (1)(n 1) 1

3、 ,n 1n 12334n从而lim sn 1 ,故所给级数收敛.n 2n2(2)解: un n 1 cos2n sin,而lim un lim2n sin 0 ,n2n2nn 所给级数发散.习题 12.2（A）1.收敛,发散,可能收敛也可能发散.1111n 12.(1)解: un n3/ 2,而收敛,因此所给级数收敛.3/ 2nn(n 1)2n n2n 111(2)解: un ,而发散,因此所给级数发散.(n 1)(n 2)n 2n 2n 11 ) , lim un lim n2 ln(1 1 ) lim ln(1 1 )n 2(3)解: u ln(1 ln e 1 ,nn21n2n2n2n

4、nn1n 1而收敛,故所给级数收敛.2n3nu1, lim n lim n sin 0 ,而(4)解: un sin发散,故所给级数发散.1n3n3n 1 nnn (n 1)31n 11n32nu2n(5)解: u , lim n 1 lim lim() 1 ,故所给级数收3n2n 1n3un 2n2nnn敛.(n 1)n 1n 11nn(n!)2u(6)解: u , lim n 1 lim lim()n e 0 0 1 ,nun (n 1)!2nn 1(n!)2nnnn n故所给级数收敛.n 1 1 ,故所给级数收敛.n)n , lim n u lim(7) u (nn 2n 12n2n 1

5、n2n3222(8) un lim 2 1 ,故所给级数发散., lim n un1nln n nln n30nn 3ln nlim3n(1)n 1n 1 0, unn 13.(1)解： un limn , lim n un发散.n2 1nn2 1111 0 ,故所给级数收敛,且为条件收敛.,且有limn 又(n 1)2 1n2 1n2 11 lim n sin 1 0, un1n, lim n un(2)解: u (1)n1 sin发散.nnn nn 111111又 0 sin sin,且有lim sin 0 ,故所给级数收敛,且为条件n 1n2n 1nnn 收敛.n1 0,所给级数发散.(

6、3)解: limn 3n 13(4)解: (n 1)2 n2 2n 1 n2 2n n(n 2), n 1 n,从而n 2n 1ln n 1 lnn,故所给级数发散.n 2n 1(1)n111n1 n 2 1, un(5)解: un limn, limn收敛,故所给n 2nn (n 1)22n 1级数绝对收敛.1(6)解: u (1)n ln(1 ) ,nn1 lim n2n11n) ln e 1 0 , u limn ln(1) lim ln(1nu发散.nnnnn n 1111n又ln(1) ln(1 ) ,且有lim ln(1 ) 0 ,故所给级数收敛,且为条件收n 1nn 敛.n 21

7、(7)解:令un n 1 .nn 2 1 n 2 11,而 n 1发散, n 11n(1)n unu发散.n 1n 1nnnnn 2 1(n 2)2n 1n2 4n 4n 1 n 1n 1 ,又n 3 1(n 1)(n 3)nn2 4n 3nn 2n 1n 3n 2n 2111 10 0 ,un 收敛.,且有lim则n 2n 1n 1n 1nn nn 1故所给级数条件收敛.n1 (n 1)n1 n 1e 1, un(8)解: un (1) lim(), lim n unn发散.n 12nn 2n2nn 1un 1un(n 1)n 2(n 1)n 2(n 1)2 n 2 n2 2n 1 n 1u

8、又n 1 uu,n12nn 1(n 2)n1n(n 2)n 1n2 2nnun 1 lim(1 1 )n 0 ,故所给级数收敛,且为条件收敛.1且有lim unnn 2nn(B)1.(1)D；(2)C.ln n11n(n 3) ,而nn2.(1)解: unu发散,发散.nn 1n 1又设 f (x) ln x ,则 f (x) 1 ln x ,当 x e 时, f (x) 0 f ( x) 单调减少,x2xln(n 1)ln nln nln xxf (n 1) f (n) ,即故当n 3 时,且有lim lim 0 ,n 1nnnx因此所给级数收敛,且为条件收敛.111n,而(2)解: unu

9、发散,发散.n ln nnnn 1n 1,则 f (x) 1 1 ,当 x 1时, f (x) 0 f (x) 单调增加,又设 f (x11故 f (n) f (n 1) ,即 n ln n (n 1) ln(n 1) ,(n 1) ln(n 1)n ln n11111 0 0 ,因此所给级数收敛,且且有limn n ln n1 0 x为条件收敛.(1)n(n2 3n 2)3.解:令un.当 0 时, lim un 不存在,故所给级数发散.n n2 当 0 时,因为lim n2 lim 1 ,所以un2 3n 2)n (nn1n 1当2 1,即 时,2u收敛,从而所给级数绝对收敛.n1n 1当

10、0 2 1 ,即0 时,2u发散.这时,因为n111 0 ,且lim(n 1)2 3(n 1) 2(n2 3n 2)n (n2 3n 2)所以un 收敛,从而所给级数条件收敛.n 1习题 12.3（A）1.(1) (, ) ；(2) (4, 0.1n 21n 1 12.(1)解: a , R lim lim lim 1 ,nn 1n 1nnn n 2因此当1 x 1 时幂级数收敛.(1)n1当 x 1 时得交错级数n 1,收敛；当 x 1 时得正项级数n 1,发散.n 1n 1于是,幂级数的收敛域为1,1) .1n21 lim( n 1)2 1 ,1n2(2)解: a limn, limnnn

11、n (n 1)2因此当1 x 3 1 ,即 2 x 4 时幂级数收敛.(1)n1当 x 2 时得交错级数n 1n 1,收敛；当 x 4 时得正项级数,收敛.n22n于是,幂级数的收敛域为2, 4 .(3)解:因所给幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法首先当 x 2 时级数收敛.当 x 2 时,其收敛性.(x 2)2( n1)(x 2)2n( x 2)2n4n lim4n 1 4lim.(n 1)4n1(x 2)2 nnn 由此可知当0 x 2 2 ,即0 x 2 或 2 x 4 时级数收敛.1nn 1当 x 0 和 x 4 时得正项级数,发散.综合幂级数的收敛域为(0, 4) .(1)n

12、6n1( ) 1n(1)n 6na13n62(4)解: a R limn lim 2 lim,n (1)n1 6n 12n 1n2n1ann ( ) 6nn 16anan 1anan 111因此当 x 时幂级数收敛.3311当 x 时得交错级数(1) 1 ( ) ,发散；6nn3n111当 x 时得正项级数1 ( ) ,发散.n63n11 1于是,幂级数的收敛域为(, ) .3 3(1)n 1n 13.(1)解: n 1( x 4) 的收敛域为(3, 5) ,令 s( 5 ,nnn 11 1 n1n 1s ( x) (1)(x 4),1 ( x 4)x 3n 1 1 x 3xxs( x) s(

13、 x) s(4) s (x)dx 5) .d44n(n 1)(2)解: n 1n 1x的收敛域为(1,1) ,令s( 1 ,2n 11x21xs( x) ( s(x)d n 1 ) () ,2 1 x(1 x)30n1n 11 x 1 .(B)1.(1)A；(2)B.(1)n 12.(1)解:令s( x) n 12n 1x,求得该函数的定义域为1,1 .2n 11 1 时, s (2 n 1)x当,1 x2n1n 1 1xxs( x) s( x) s(0) s (x)dx .0 1 0(1)n1(1)n 11113n13n 12n 1 .32n 1 (3s() 3 arctan3)3则(2n

14、1)3n 16n 1 1,1,(2)解:令s(n 1n 1(1)n 1 ns ( x) n 1x,n 1s(x) (1)n1 nxn x(1)nx x(xn 1n1n1(1)nx)n 1n 10n 1n 1xx) (,1 x(1 x)2n 1x1xs( x) s(x)dx s(0) xdx ln(1 x) 1 ,(1 x)21 x00 1 1 xxxs( x) s (x)dx s(0) ln(1 x) 1d) 2 x ,00(1)n 1 n s(1) 3ln 2 2 .n 1 (n 1)(n 2)xnxnexe dx dx3.解: fn (x) e( xe edx C ) e ( n C )

15、, fn (1) n C 0 , fn (x) n1 xx,nxnexnn fn (x) x en 1(x)dxn 1nnn00n1n 1n1n1 ex 1 dx ex ln(1 x)x(1 x 1)0 1 x习题 12.4(A)x2 n 12 1) ；(2) arctan x (1) 2n 1 (1 x 1) .n1.(1) tann 111111111 2 ) 5 (x 1) 2(x 1) 32.(1)解: 2)( x 1 n1 ) n 0(1)n ( x 1 n ) 1 1 n 0 1 ( 1 1 1 1x 1 x 52 1 ( 1)n1 1 (x 1)n(1 x 3) .2n 15 n

16、 03x 2x 2(2)解: ln x ln2 (x 2) ln2(1 ) ln 2 ln(1 )22(1)n1 x 2()n ln 2 (1)nn 1(x2)(0 x4) . ln 2 n1n 2nn2n 13.(1)解: ln(1)(1)(1)n 1 (2x)n(1)n1 2n n1 n 1n(1)n1 xn n 1( 1 x 1 ) .xnnn22lnn 31xln 33( ln 3) 3n 0(2)解: 3 2 3 32 3e2nx( x ) .n2n n!n! 2n0sin 2(3)解: sin2)(1)n 1(1)n(1)n 1 1(1 32 n2 n (3x)2 n2 n( x

17、) .) xx 4 n 0(2n)!4 n 0 (2n)!n 0 (2n)!ex 1n 11(4)解:,逐项求导,即得xxn!xn!n!n 0n1n 1xn 1 (x 0) .f (n 2n 1(B)( 1)( 3)( 1)( 3)( 5 )2 )2 2223!1.(1)解: f (x2 )3 1 x 1 1x(1 x 1) f (x) f (x)dx f (0) 5 x7 4 6 7013 (2n 1)1当 x 1 时,上式为交错级数, 0 un,故2 4 2n (2n 1)2n 1lim un 0 ,且显然un un 1 , x 1 时级数收敛,从而n 13 52 ) 5 x7 (1 x

18、1)f (2 4 6 7121(2)解: f (6 )( x ) 25 8 x7 ) ，x f (x) f (x)dx f (0) 2(740(1)n 1 212n 0时，上式为交错级数当 x ，收敛，从而2n 1 1 ) .2f (22(1)n x2 n 11xxn0(1) x dx arctan x dx n 2 n2.(1)解:,1 x2n 1200n 0(1)n arctan1 .4n 0 2n 1nn )(2)解:sinn 0n 0(1)n n(1)n n(1)n (2n 11) 1 n 1 (2n 1)!n0 (2n 1)!(2n 1)!2 n 01 (1)n(1)n 1n 0(c

19、os1 sin1)( x )(2n 1)!22(2n)! n 0u(x)3.解: lim n 1 0, R .设 s(, ) ,un ( x)n n 02n12 nx2exs(x)d ,0n 0n 022ex ) ex (1 2x) ( x ) ,s(n 02n 1令 x 1 ,得n 0 3e .n!习题 12.5(A)1.(1)；(2).12.(1)解: a0 1 1； a n0 1 1 sin n x 0(n 1, 2,) ； n10 b n 1 ( 1 cos n x) 1 (1)n (n 1, 2,) .1nn0因为 f (x) 满足收敛定理条件,且在 x k (k Z ) 连续,在

20、x k (k Z ) 处, 1 f (x ) f (x ) 1 f (x) ,故222sin(2n 1) x1n 0f (x) , x (, ) .22n 1(2)设 (x) 是 f (x) 经周期延拓而得的函数,则 (x) 满足收敛定理的条件, (x) 在x k (k Z ) 连续, x 0, 是 (x) 的间断点,又在( , 上 (x) f (x) ,故它的级数在( , 0) 和(0, ) 内收敛于 f (x) .1 1 ；a 01a n0 1 (22n2x cos nxdx cos nxdx) (1)n 1(n 1, 2,) ；100 b n1 1sin nxdx 1 (1)n (n 1

21、, 2,) .n0 12 cos(2n 1)xsin(2n 1) x2n 0, x ( , 0) (0, ) .故f (x) 2(2n 1)22n 13.解:先将 f (x) 展开成正弦级数.设 (x) 是 f (x) 经奇延拓和周期延拓而得的函数,则 (x) 满足收敛定理条件, (x) 在 x (2k 1) (k Z ) 连续, x 是 (x) 的间断点,又在0, 上 (x) f (x) ,故它的级数在0, ) 上收敛于 f (x) .an 0(n 0,1, 2,) ；22x22x2bn 0 x sin nxdx (cos nx n2 sin nx n3 cos nx ) 02n2 2 (1

22、)n(1)n 22(n 1, 2,) .n3n3n 2222n 1()(1) sin nx, x 0, ) .n3故 x 2n3nn再将 f (x) 展开成正弦级数.设 (x) 是 f (x) 经偶延拓和周期延拓而得的函数,则 (x) 满足收敛定理条件,处处连续,又在0, 上 (x) f (x) ,故它的级数在0, 上收敛于 f (x) .bn 0(n 1, 2,) ；2 2 2 ；3 0a 0 x2222x2an 0 x cos nxdx ( n sin nx n2 cos nx n3 sin nx ) 024n2 (1)n(n 1, 2,) . 2(1)n故 x 4x 0, .2cos n

23、x,3n2n 1 2 211n1n 1在上式中令 x ,得 42.6223nn 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 .n1 (2n)24 n 1 n224n 1 (2n 1)2n1 n2n 1 (2n)26248(B)1.(1)1；(2) 0, , 1, 0 . f () f () 221 2 252.解: s( ) s( 2 ) s( ) .2222习题 12.6 (A)2441. 0, 0, 0, 1 .92.(1)解: a0 101f (x)dx 0dx 1dx 1；11011 xdx cos n xdx 0(n 1, 2,) ；an f ( x) cos n11011f (x) s

24、in n xdx sin n xdx 1 (1)n (n 1, 2,) .b nn10因为 f (x) 满足收敛定理条件,间断点为 x k (k Z ) ,故有2sin(2n 1) x1n 0f (x) , x k (k Z ) .22n 1(2)解:设(x) 是 f (x) 经周期延拓而得的函数,则(x) 在(3, 3) 内连续,在 x 3 处间断,且在(3, 3) 内 ( x) f (x) ,故(x) 的级数在(3, 3) 内收敛于 f (x) . 13 1f (x)dx 1 0 (2x 1)dx 3 dx 1 ；3a03f (x) cos nx cos n3303an332303n x

25、0n x 0n x 32323(x sincos) sinnn3 n33333061 (1)n (n 1, 2,) ；(n )2 1f (x) sin n3bn3323x sin n03n x 0n x 023(x cossin) 0nn33336 (1)n(n 1, 2,)n1 (1)n(n )2n x(1)n 1nn x1故f (x) 6cossin, x (3, 3) .233n 1(B)311.(1) ；(2) .242.解:先将 f (x) 在(2, 0) 作偶延拓,再以4 为周期作周期延拓得 F (x) ,则 F (x) 满足收敛定理的条件,处处连续,在0, 2 上 F (x) f

26、 (x) . 22 222(x 1)dx 0 ；a002n x( x 1) cosdx 2n x(x 1)d (sin)2n 0an2202n x 4n x 2sindx (cos) 2(n )2n22004n2 2(1)n 1(n 1, 2,) .(2n 1) x281故f (x) , x 0, 2 .cos(2n 1)22n 1第十二章自测题一、1.；2.；3.；4.；5.3n31二、1.解: lim n 2 un lim lim 1 ,级数收敛.nnn3 2n 4n241 n2n3un32.解: lim n 1 lima ，当 a 1 时级数收敛,当 a1时级数发散.n (n 1)3a nunn (n 1)! (19 )n1 ,3.解: unnn19nn1un!199199e lim()n1 1 ,级数收敛.lim n 1n()un (n 1) n9(n 1)! 19nn1三、1.解: un ,n (1)n11当n 为奇数时, un 1 un ，n 1 1n 1n 1 n 1 111当n 为偶数时, un 1 un n 1 1n 1( n 1 1)( n 1)12 n 1 n 0 ，( n 1 1)( n 1)un ,级数发散.un 12.解: un sin n 1 sin n ( n 1 n) (1) sin(22n (1)n sin ,n2 1 nn 2 1 n) 0