大学物理课件第六章机械振动

1、第三篇 振动与波动波动光学机械振动第六章广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。弹簧振子(弹簧物体系统 )模型简谐振动微分方程一、简谐振动的基本特征6-1 简谐振动（simple harmonic motion)物体一定作简谐振动其通解为：谐振动运动方程运动学特征简谐振动定义（判据）：描述运动的物理量遵从微分方程（或运动方程为 ）运动学特征物体所受合外力动力学特征例：判断下列运动是否为简谐振动1.乒乓球在地面上的上下跳动2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO切向运动谐振动单摆结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。

2、角频率,振动的周期分别为：当 时摆球对C点的力矩负号是由于力矩的作用是使角减小复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当 时二、描述简谐振动的特征量1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。初始条件频率：单位时间内振动的次数。2、周期 、频率、圆频率对弹簧振子角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期T ：物体完成一次全振动所需时间。单摆复摆 是t =0时刻的位相初位相3、位相和初位相位相，决定谐振动物体的运动状态三、简谐振动的旋转矢量表示法0t = 0 x t+0t = toX 超前和落后两个谐振动位相差 两振动位相之差。对两同频

3、率的谐振动 = 2- 1初相差若 = 2- 10, 称x2比x1超前 (或x1比x2 落后)。当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同,称同相当=(2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反,称反相用旋转矢量表示相位关系同相反相即x2比x1超前谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavxT/4T/4由图可见：x t+o例:如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程,并计算振动频率。mXOx解： 确定平衡位置 mg=k l 取为原点

4、k=mg/l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx作谐振动 设振动方程为由初条件得由x0=Acos0= -0.0980 cos00 x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin0 , 要求sin 0 0, 所以取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) (m)对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变XOmx固有频率例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、一半径为R、转动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.mm解：取位移轴ox，m在平衡

5、位置时，设弹簧伸长量为l，则mm当m有位移x时联立得物体作简谐振动已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。解：方法1用解析法求解设振动方程为故振动方程为v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位由图知方法2：用旋转矢量法辅助求解。15.7-15.7谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四、 简谐振动的能量动能势能情况同动能。机械能简谐振动系统机械能守恒xtTEEpoEtEk(1/2)kA2一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动, 其频率仍为质点同时参与同方向同频率的谐振动 :合振动 :6

6、-2 简谐振动的合成如 A1=A2 , 则 A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱分析若两分振动同相：若两分振动反相:合振动不是简谐振动式中随t 缓变，视为合振动的振幅随t 快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二. 两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍分振动合振动当21时,拍 合振动忽强忽弱的现象拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1| xtx2tx1t三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动分振动合振动质点的轨迹方程合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移讨论合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移合振动的轨迹为以x轴和y

7、轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。 = 5/4 = 3/2 = 7/4 = 0 = = /2 = 3/4Q = /4P .时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为李萨如图形yxA1A2o-A2-A1简谐振动的合成两振动的频率成整数比李萨如图形（周期比T1:T2）五、简谐振动的分解 频谱振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为 :0则各分振动的频率为:0、20、30(基频 , 二次谐频 , 三

8、次谐频 , )按傅里叶级数展开方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0 xot锯齿波A03050锯齿波频谱图 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。xot阻尼振动曲线阻尼振动频谱图oA一、 阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。6-3 阻尼振动 受迫振动和共振注：阻力和阻尼的区别：阻尼包括阻力，在机械振动里，阻尼为摩擦阻力，但电磁振动里，由于电路电阻而损失能量，即存在电磁阻尼。弹簧振子动力学方程

9、系统固有角频率 与系统本身性质和介质阻尼系数有关物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比阻尼系数为阻尼因子弱阻尼弱阻尼，即阻尼振动的振幅 按指数衰减过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置欠阻尼临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来二、 受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令公式反转了处理：将公式在公式编辑器里剪切，在重新插入公式，复制，重新着色设计即可。周期性外力策动力有弹性力-Kx，阻力- ， 周期性外力振动周期与周期性外力的周期相同减幅的阻尼振动简谐振动为减幅的阻尼振动和简谐振动的合成经过一段时间后得稳定解(1)频率: 等于策动力的频率 (3)初相:特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的