高等数学(7)多元函数微分学---简明版

1、第六章 多元函数微分学及其应用 假设已经搞懂了一元函数的微分（包括极限、连续和导数概念）理论，那么这一章的主要任务就是弄清多元函数微分与一元函数微分的联系与区别。 其中，从直线到平面的推广或拓展，是最值得注意的。特别是与极限概念相关的部分。6.1多元函数的基本概念1. N维空间中的点集2. N维空间中点列的收敛3. 多元函数的定义4. 多元函数的极限5. 多元函数的连续性第六章第一节作业题1（2,4）；2；3（2,4,5,6）；4；5（3）；8.1 .n维欧氏空间点集（点集拓扑的基本概念）(2) 中两点间的距离（欧式距离或度量）定义；欧氏（向量）空间，向量的模。(1) n元有序数组所组成的集合

2、（n维空间与n维点）.(3) 欧氏空间中的某些基本拓扑概念：（ii）欧式空间一个子集的内点、外点、边界点和边界；集合的聚点。（iii）开集、闭集、（弧或道路）连通集；（开）区域（连通开集）、闭区域（开区域加上边界）。（iv）有界集、无界集。去心邻域；一般的邻域概念。 （i） -邻域；2. n维欧式空间中点列的收敛（n维空间中的极限）（1）n维欧式空间中点列收敛的定义（ 语言）（2）n维空间点列收敛的坐标刻画（定理6-1）.（3）点列收敛的某些基本性质：极限的唯一性、点列有界性；极限与加、减、乘运算的可交换性。注：由于在n维空间中没有序（大小）的规定，也没有除法，所以没有所谓单调性，保号性，确界

3、和除法的讨论。（4）n维空间中的柯西列，以及点列收敛的柯西准则（即n维欧式空间的度量完备性-定理6-2）。（5）由点列极限刻画集合聚点-极限点（定理6-3）。3.多元函数（1）多元函数的定义-本质上就是n维空间某个子集到实数集的映射。 符号与概念:自变量、因变量、定义域、值域（这个集合的表示）；自然定义域约定。【例6-1】一定量的理想气体的压强p，体积V和绝对温度T之间具有关系 , 其中R为常数.【例6-2】长方体体积V是它的长x，宽y，高z的三元函数【例6-3】求函数 的定义域.（2）多元初等函数。（3）多元函数的图-曲面与超曲面概念（参见书中图6-2），二元（连续）函数的图像。4.多元函数

4、的极限（本章的难点大多在这一节） 注：多元函数的极限，在本质上与一元函数的极限是一致的。但是在某些形式和性质上却往往有很多区别。多元函数的极限与二元函数的极限，无论是性质和形式，差异都很小。所以这里以二元函数为主介绍相关内容。（1）多元函数极限的定义（ 语言定义-定义6-4 ）（注：在二维空间情况下记为 ）即则称常数是函数在时的极限。记为设是定义在 上的n元函数，。如果是 的聚点注：经常记特别的，在n=2时，根据上面的记法，并记则上述极限可以记作或者注意：上述极限-称为重极限-的刻画，也可以利用空间的矩形邻域，用各个坐标之间的距离描述。【例6-4】用定义证明（2）例与反例【例6-5】设 讨论当

5、(x,y) (0,0)时，f (x,y)的极限是否存在？ 从下面例子可以看出，多元函数的极限，情况远比一元函数极限的情况复杂。【例6-6】求注：为什么多元函数的极限比较复杂呢？ 仅考虑二维的情况，二维点可以从平面的任何方向趋近于定点，对应于这些不同的趋近路线，函数取值的变化可能千差万别。而在一维情况下，函数自变量只有两个方向趋近于定点，易于观察和验证。下面是可以按常规算法求极限的几道例题。【例6-8】求【例6-7】求（3）累次极限概念。问题：请考察下面三个符号，；讨论一下，它们所表达的是什么意思？有区别吗？定义（6-5）-累次极限概念（从二次推广到n次）。从几何直观考虑累次极限与重极限的区别。

6、 （4）累次极限与重极限之间的某些关系（i）重极限存在不意味着累次极限存在，例如：当自变量趋近于0时，其累次极限都不存在，但是重极限为0. 注：请从函数的图像观察一下上述现象产生的原因。（ii）累次都极限存在，变换顺序也可不相等。考察函数（自变量趋近于0）.（v）两个相互关联的结论： 若重极限与累次极限都存在，则它们不能不相等；反之，如累次极限存在且不相等，则重极限不能存在。（iv）累次极限存在且相等，重极限也可能不存在。其累次极限均为0，但重极限不存在。直观说明：如果两个累次极限不相等，那么从函数的图像可以看出，在接近z轴的时候，图像一定有断裂（或上下撕裂）的现象，重极限不可能存在。时，观察

7、函数例：当（iii）一个累次极限存在，另一个也可能不存在。例：考察函数1.计算下列极限（考虑累次极限，留作练习）： 2.判断 该极限是否存在，若认为不存在，请说明理由；若存在，极限是什么？ 3.讨论 的情况。附录-一点补充：关于累次极限和重极限的关系。 前面仅仅讨论了二元函数的累次极限与重极限之间的部分关系，并没有全面展开。但不妨碍自己探讨。 有同学提出：假设重极限和某个累次极限存在，是否这两个极限也必然是相等的。这是对的。下面给出证明。假设函数满足如下关系： 下面证明 。用反证法，假设 ，将推出矛盾 。记 由于重极限存在并且 ，存在 ，当 时， 。记因此有 由于 所以存在 ，先取定 。由（1

8、）式，可取 0,满足（1）再取 ，于是有下面关系式成立：这与 矛盾。注：以上，其实也证明了累次极限都存在，则这些极限都相等。 但是，一个累次极限与重极限存在（则相等），并不能推出另一个累次极限存在。可自行举例。（1）多元函数连续的定义（ 语言定义-定义6-6）即是 的聚点，并且属于，如果也就是元函数，设 是定义在 上的n（注：在二维空间情况下记为 ）则称函数在 点处是连续的。5.多元函数的连续性 对照一元函数函数连续的定义，可以看出，这里的多元函数连续定义，并没有本质区别。所不同的是，这里的点不是一个数，而是一个“多维点”，它是由n个数描述的。因此在具体分析多元函数连续性的时候，所要分析的情形

9、也可能复杂一些。 比如说，下面用函数增量的形式表述多元（这里以二元函数为例）函数的连续性，就会产生一些新的概念。记；。则二元函数 在点 处连续就是这里的被称为函数的全增量。注1：这里所谓函数的不连续点，与一元微积分中一样，不要求这个点属于定义域，只要求属于定义域的聚点集。不连续点也可能不是孤立点（例如一条线）。注2：如果多元函数在某个集合上有定义，并且该集合中的每个点都是函数的连续点，则称这个函数在该集合上是连续的（尽管在定义域外可能有不连续点）。（2）连续函数的某些性质（i）对四则运算的封闭性-初等函数的连续性。【例6-9】求（ii）有界闭集上的多元连续函数具有：最值性；一致连续性。（iii

10、）在连通集（区域）上的连续函数具有介值性。注：（ii）的证明，涉及到有界闭集的紧性-既满足有限覆盖性质（每个开覆盖都有有限子覆盖）。（iii）的证明，涉及到连续映射保持连通性，以及实数子集连通的充要条件是该子集是一个区间。注：考虑函数的连续性以及定义域的区域。复习题6-1（1）讨论在 时是否存在极限？若存在，其极限与k的取值是否相关？若不存在，请说明理由。习题6.1-6. 假设二元函数关于一个变量连续，关于另一个变量满足李普希斯条件。证明该函数是连续的。讨论：如果二元函数关于每个单个变量是连续函数，是否可以认为这个函数是连续的二元函数？6.2 偏导数与高阶偏导数1.偏导数2.高阶偏导数第六章第

11、二、三节作业题第二节：1;2（2,4,6）；3（2）；4；5；6；7;9（2，4）；10；12.第三节：1；2（3,5,6）；4；5（2）；6；8；11.1.偏导数（1）偏导数的定义与派生概念多元函数关于第i个自变量的偏增量、以及对第i个自变量的偏导数、可偏导。（以二元、三元函数为例）及其记号。偏导函数（i）在某点的偏导数记法：（ii）偏导函数的记法：等。（2）偏导数的几何意义（3）偏导数计算方法-将其它变量看做参数即可【例6-10】设 z=ln(x+lny)，求【例6-11】设 求【例6-12】设 验证【例6-13】求 的偏导数.【例6-14】设一金属平板在点(x,y)处的温度由 确定，其中

12、T的单位是，x,y的单位是m，求T在点(2,1)处沿x方向和y方向的变化率.2.高阶偏导-混合偏导（1）高阶偏导、二阶混合偏导、高阶混合偏导。（2）混合偏导与求导顺序无关的问题（证明略）例：成立的条件是相关的各阶偏导函数都连续。注意记法中的顺序关系：【例6-15】求函数 z=xsin(x+y)+ycos(x+y) 的二阶混合偏导数【例6-17】验证函数 满足方程注：拉普拉斯方程。关于6-16例题的计算和说明： 这里需要注意的是，无论是一阶偏导数的计算还是二阶混合偏导数的计算，涉及到（0,0）点，都需要按照偏导数的定义计算。 因为函数在（0，0）点的定义，不是直接根据解析表达式给出的。【例6-1

13、6】设函数求6.3全微分与高阶全微分1.一阶全微分概念2.一阶全微分的几何意义3.连续、可偏导、可微之间的关系4.计算与应用5.高阶全微分1.全微分（一阶）概念（1）回顾一元函数微分的定义。（2）全增量的代数解释：是关于的一个二元函数。注：思考一下这个二元函数的局部图像（注意自变量是 ）。例如函数 ，其全增量为这个函数的图像是一个越来越弯曲（随着 不断增大）的曲面。（3）全微分 的定义-可微与可微函数；由不难看出，这里的全微分是一个线性函数。但是它在一个局部区域，与二元函数 十分接近。令显然这是一个平面方程。经过曲面上的点换句话说，如果我们用全微分代替原来函数的全增量 ，就是在以一个平面代替原

14、来的曲面。而这个平面与曲面交于点 为了看的更清楚，先讨论这里的常数A和B是什么？如果可微，上述微分式中有：下面先将主要的关系陈列出来，再具体讨论。多元函数相比于一元函数，情况要复杂一些。3.连续、可偏导、可微之间的关系 现在起码知道，如果函数在这一点可微，已有两条曲面上曲线的切线在这个平面上了。(参见6.8.2)2.全微分的几何意义-贴近曲面的平面（图6-5）（1）过点 ，法向量为 的平面。（2）切平面概念（合理的要求是：曲面上曲线的切线在其切平面上）。注：前面讨论，已知这个平面就是用全微分代替全增量所得到的那个平面。注：能否认为上述平面就是曲面的切平面呢？（3+）函数连续+可偏导，不保证函数

15、可微；（4）偏导函数连续，则函数可微（逆命题不成立）。（已证明了） ；（1）连续不一定可偏导（与一元函数相似之处）；（2）可偏导不一定连续（与一元函数不同）；（3）可微必连续、可偏导，并且全微分必为说明：（i）关于（1）的例：连续，但关于y,在点（0,0）处不可偏导。（ii）关于结论（2）的例：考虑函数该函数在（0，0）处的两个偏导数都存在，但在该点不连续。也是关于两个自变量单独分别连续的例子。 分别考虑二维点沿着x=0和 趋近于（0，0）时的极限，可知函数在该点不连续。 二元函数由二维（平面）区域的取值所确定。而两个偏导数的存在仅仅由函数在与坐标轴平行的两条直线上的取值情况所决定，无法决定函

16、数的整体形态。（iii）结论（3）-可微的必要条件-的证明（定理6-5）。注意：如记（iii+）函数连续，且可偏导，但是不可微的例子。则【例6-18】证明函数在O(0,0)处存在偏导数，但却不可微.简述：注意到此外，在（0,0）点处的两个偏导数都是0，于是；显然，它没有确定的极限，当然也不能以0为极限。（iv）可微的充分条件-定理6-6的证明注：证明的关键点在于，由偏导函数的连续性，当时，所以 都是 的高阶无穷小。（iv+）可微推不出来偏导函数连续，考虑函数因为；。所以它显然是时，关于 的高阶无穷小。但是也显然在（0,0）点不连续。（5）微分中值公式与增量公式（i）微分中值公式只要函数可偏导（

17、有偏导函数），则其中 。 注：这个公式不意味函数可微。（ii）增量公式 当函数的偏导函数连续的时候，便有（见前面可微充分条件的讨论与符号说明）：这提供了近似计算的方法。在上面的证明中，附带得到如下结果：4.全微分的计算与应用注：关于四则运算的全微分计算公式，和一元函数微分计算公式在形式上完全一样，可自行验证。【例6-19】计算 在点(2,1)处的全微分.【例6-20】计算函数 的全微分. 下面本质上是求全微分函数（不仅是某点处的微分）：【例6-21】求下列函数的全微分：（iii）近似计算与误差估计【例6-22】求 的近似值.解：考虑函数 ，取定点为（1,2,3），然后代入微分公式。【例6-23

18、】利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是 现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=1000.1cm, T=20.004s，问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少？给出 的绝对误差估计 ，一般可以用全微分。这里可以更宽松些，令，则可得绝对误差估计。其相对误差估计为 。5.二阶与高阶全微分如果偏导数还可微，则有进一步，可以归纳定义高阶微分：从二阶全微分公式不难看出更高阶的全微分表示显然会比较繁复。 而且，显然多元函数的研究，将会和矩阵理论密切关联。因为矩阵，其实就是某种意义上的“高维”数。【例6-24】设 求附录. 讨论下面习题的解法（教材6-2第10题）：设函数：计算：6.4 多

19、元复合函数与隐函数的微分法1.链式法则2.全微分形式不变性3.隐函数存在定理的与隐函数求导法则第六章第四、五节作业题第四节：1(1,4);2(1);3;4(1,4);5;6(1,3);7(2);8;9(1)第五节：1(2，3);2;3(2);4.1 多元复合函数求导的链式法则多元复合函数情况复杂，基本类型大体可有四类。下面先将这几类情况做一简介。仅以二元函数为例，三元函数或一般n元函数可以类推。（1）（多套多型）：设于是复合函数为：（1）。（2）（一套多型）：设复合为（2）。（3）（多套一型）设复合函数为（4）（偏复合-或部分复合型）复合函数为（3）.（4）. 下面将证明“多套多型”的复合求导

20、公式，给出其它计算公式。并特别说明所谓“偏复合型”函数求导公式中的符号约定。设有函数假设所涉及的函数都是可微的。（1+）多套多型复合函数求导公式（矩阵表达）仅说明第一个分量等式的证明关键。记并注意到在每个点处都是存在的。因此可知，再利用全增量公式，可得【例6-25】（多套多型）的偏导数.求函数【例6-28】设 其中f (u)为可导函数，求（2+）“一套多型”-（2）式的求导公式这种情况与一元复合函数情况基本相同。但要注意这里的符号表示（全导符号）。（3+）多套一型-（3）式的求导公式（全导数）【例6-27】设 ，而 ，求全导数（4+）偏复合型-（4）式的求导公式首先对（4）式的含义做一些说明。

21、只是一个二元函数，但是在这里却是被看做一个三元函数。所以如下符号表示仅对 中出现的x求导，将u看做常数。换句话说，这里的三个变量， 在函数表达式 中，是被看做相互独立无关的。可类似考虑 类型的函数。【例6-26】设求而 所表示的，则是对对于有更多变元的偏复合型函数的求导公式，可类似得到。中所出现的所有x 求导。这里没有 ，仅仅是将函数中出现的y 看做常数。根据这样的约定，注意到微分 ，可得（4）式的求导公式：【例6-29】设求（v）复合函数的高阶导数 从计算角度讲，求具体函数高阶导已没有困难。无非是继续利用前面的各种计算公式。 但是在做一般讨论-即表述抽象函数高阶导数的公式时-其表达式还是会比

22、较复杂。因此有必要细心辨析。并且为了简化表式，有时也会引入一些新的符号。如【例6-30】设 具有二阶连续偏导数，求等等。2 一阶全微分形式不变性 与一元函数的微分形式不变性一样，多元函数的一阶全微分形式无论是由中间变量增量表示，还是由初始变量增量的表示，它们均可以由形式等式相互转化。例如对于（1）式，可验证其全微分有如下关系：【例6-31】设 其中 均有二阶导数，证明【例6-32】设 求注：设，利用；以及 ，便可同时求得两个偏导数。注：显然对于高阶微分，不具有类似的形式不变形。利用这个关系。可以简化某些偏导数计算过程。这个关系，便称为一阶全微分形式不变性。即无论是用中间变量还是初始变量表示。因

23、变量微分（在形式上）都是相等的， 附录1.为了简明和以后的应用，这里提前引入雅比各行列式与雅各比矩阵的概念和符号。设有向量值函数（其实也就是一组可以看做具有相同自变量的函数）：（1）记（i）向量值函数的雅各比矩阵则向量值函数可以简记为注：雅各比矩阵就相当于向量值映射的“导数”或“偏导”。所以这里才用偏导符号表示雅各比矩阵。下面表示的矩阵称为映射 关于 （或关于自变量 ）的雅各比矩阵也仅在这里这样表示，其它地方还是用标准符号。如果有映射关系 ，则有雅各比矩阵类似还有（注：雅各比矩阵对自变量个数没有限制）：（ii）雅各比行列式 如果雅各比矩阵是方阵，比如说是m乘m矩阵。如前面的则该矩阵的行列式便称

24、为雅各比行列式，并记为 附录2-讨论由方程组确定的隐函数偏导计算 设存在无法给出显示解析表达式的函数关系使得如下方程组成立（设方程组有可偏导的表达式）试利用方程组给出下列偏导数（的表达式）根据复合函数的偏导公式可以得到如下关系：于是得到两个二元方程组（用矩阵表示）分别为：很显然，两个方程组要是有唯一解，其充要条件是雅各比矩阵满秩，或它的行列式不为0， 即 利用雅各比矩阵，上述两个方程还可以表示为： 有了上述表示方式，再根据克莱姆法则，我们可以得到方程组的解是：注：记这里的系数矩阵（雅各比矩阵）的行列式为而方程组的解是：如果将上述两个方程组合并表示，得矩阵方程：由雅各比表示，表现出形式上的简明和

25、关系规律 如果记 ，引用我们关于向量映射偏导符号或雅各比矩阵，上述方程还可以表示为： 仔细观察上面给出隐函数偏导公式的表示规律，现在可以直接给出更一般的情况。设有函数组：确定了隐函数关系：如果这些函数都是可导的，则其导数公式为：注：这里当然要假设取倒数的行列式非0. 附录3-回顾-函数曲面的切平面： 讲解下一节内容之前，复习一下原来学过的知识。 在说明二元函数微分的几何意义时，我们曾经提到过函数 的图像所表示的曲面，在点 处的切平面由如下方程表示，于是该曲面在 点处切平面的法向量是3.隐函数存在定理及其求导法则 隐函数有多种表示形式，有一些显得挺复杂。并且在判断某些情况下是否存在隐函数关系，也

26、不是那么显然。这一节主要讨论两种情况：（1）由一个方程表示的多元函数关系；（2）由一组方程表示的多元（向量值）函数（分两种情况-二维向量值与一般m维向量值情况）。 对于这两种情况，证明都比较繁琐、复杂，所以我们不给出证明。仅给出直观解释。（1+）由方程确定隐函数的条件 下面讨论定理6-10（隐函数存在定理1），设有方程（1）也可以表示为： 。 于是问题在于是否存在某个函数关系使得。 一般来说，对这个问题的讨论，主要是限制在局部情况。假设有一点 ，使得其中，所要探讨的问题就是：是否存在 的一个邻域，在这个邻域内方程（1）确定里了 与 之间一个函数关系。下面从代数和几何直观这两个角度解释这个问题。

27、引入向量记号，则上述方程（i）代数解释-在某个区域内，给定一点代入方程（1），如果总可以求得唯一的一个 的值，比如说 ，使得 ，这便意味着在该区域内方程（1）确定了一个函数关系；反之，假设对于该区域内的某些 ，由方程（1）可以得到不少于两个 的值满足方程，或者没有 的值可满足方程，就意味着在该区域，方程（1）不能表示 与 之间的（隐）函数关系。（ii）几何解释-为了简明起见，我们假设方程（1）中只有两个变元x 与y。于是 表示三维空间中的一个曲面。而方程（1），其实就是这个曲面在xOy平面上的截痕，是一条曲线。而曲面在 点处切平面的法向量是这个向量不与y轴垂直的充要条件是：由此我们便得到“隐函

28、数存在定理1”：假设函数有连续偏导数， ，并且则在 的某个邻域内，由方程（1）确定唯一连续并有连续偏导数的函数 。 从直观上看，此时曲面的截痕，便给出一个y=f(x)类型的函数曲线。注：几何直观解释，并不是真正的证明。但是这个直观却是给出严格逻辑证明的基础。严格的逻辑语言（或者说代数）证明，主要用到具有连续导函数的函数性质的基本知识。但是对于高维情况（见后面的隐函数存在定理2、3），还需要某些线性代数知识。在上述条件下，不仅仅可以证明隐函数存在，还可证明该隐函数具有连续偏导数，这里不再详述。 而隐函数偏导数计算，我们前面根据隐函数求导的法则，已经详细讨论过此类计算。记函数就是由方程（1）所确定

29、的隐函数关系。代入（1）即附：在某本经济学教材中有如下一个推导显然与上面的公式（2）相差一个负号。 讨论一下，问题在哪里？（2）有了相关法则，计算基本是程序化的。两边分别对 求导，得【例6-33】验证方程 在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数y=f (x)，并求此函数的一阶导数在x=0的值.【例6-34】设 z=f (x,y)是由方程 所确定的隐函数，试求【例6-35】设 z=z (x,y)是由方程 所确定的隐函数，其中F有连续的偏导数，且aF1+bF20，证明（注：可由公式计算或利用链式法则-即复合还是隐式）（2+）由方程组确定的隐函数（映射）（1）设有如下方程组（1）

30、（这里是用向量的形式表示）： 探讨的问题是：其中的 ，在何种条件下可以表示为 的函数。如果记则（1）式可以记为于是问题就可以叙述为：是否存在一个向量值函数满足关系：当且仅当。（2）（3） 其相关的结论，与上面由一个方程给出的情况完全类似。特别是利用我们在这里引入的关于向量值映射偏导符号，其隐映射存在的条件在表示形式上，与上面定理的条件几乎完全一样。注：为了简明，自变量中的向量不再用转置表示。（iii）隐函数（隐映射）存在定理（多维映射） 如果点 是方程（8）的解，并且在该点处雅各比行列式不为0，即雅各比矩阵 满秩，则在该点的某领域内，由方程（8）可确定一组连续可偏导的函数 注：其偏导计算公式早

31、已讨论过了，不再重述。 尽管看上去定理的形式似乎比较复杂，但是在具体计算的时候，却并非那么繁琐。除非要判断某个定点附近是否存在隐函数，通常并不需要用雅各比行列式进行判断。求隐函数的偏导数，实际就是利用链式法则，按照隐函数求导的方式计算。一般也不必计算所有那些公式中的雅各比行列式，结果往往是在计算时自然得到的。【例6-36】设 求注：这里可按照两种程序计算。除了利用链式法则（公式），也可以利用求全微分的形式（由一阶全微分的形式不变性）得到所需方程组，求得偏导数。 小结： 学过本节，需要熟悉的是雅各比矩阵和雅各比行列式的组成方式（注：转置Nabla算子对数值函数的作用的结果，是一个数值函数的雅各比

32、矩阵）； 熟练运用链式法则计算多元复合函数的偏导； 熟悉隐函数偏导数的计算公式； 记住隐函数存在定理的基本条件（充分条件）。第五节：方向导数与梯度1.方向导数；2.多元函数的梯度1.方向导数与梯度 函数是在平面上定义的。从定点 出发，其四面八方有无穷多个方向。从任何一个方向引一条直线（路径），考察函数的变化率，对于现实来说也是很有意义的。 那么如何能够表示函数在定义域中任何一条过定点的直线上的变化率呢？考虑这个问题，就产生了方向导数的概念。 问题的提出：设二元函数 在点 处可微，显然函数关于两个自变量的偏导数都是存在的。但是，我们知道，偏导数仅仅是沿着与坐标轴平行的方向。（1）方向导数的定义与

33、记法设有射线 从定点出发，其方向向量为则该射线的参数表示为（ii）符号记法显然这里的 是点 到点 的距离 。（i）方向导数的定义-注意两个极限定义式的表示，后者有时不够明确，但是一般无影响（仅需注意 与 之比，分别是某特定夹角的余弦和正弦 ）。即（iii）与偏导数的区别-注意方向导数的定义，不是简单差商的极限。所做的商，其分母是距离。比如沿着横轴平行方向，从定点左侧所求的方向导数，与偏导数会相差一个符号。 提示：考虑在一元函数定义方向导数，会出现什么情况。方向导数存在但偏导数不存在的例子。考虑函数在（0,0）点处的情况。（iv）可微函数方向导数的存在性与计算公式。定理6-13（v）方向导数在高

34、维的推广以及计算公式。【例6-37】求函数 在点P(0,1)处沿着从点P(0,1)到点Q(-1,2)的方向的方向导数.（2）梯度概念 一个问题：从定义我们可以看出，方向导数的大小刻画了函数在给定方向向上“爬坡”的速率。那么在那个方向上爬坡的速率最高呢？根据前面导出的方向导数公式，有（1） 设n元函数函数是可微的，射线 的单位方向向量为如果引入向量值函数符号（注意在某点处取值的记法）则（1）式表示为向量的内积形式很显然，只有当方向向量与向量 同向时，方向导数最大。 指向了函数“爬坡”（其反方向是“下坡”）速率最高的方向。所以给这个向量一个很贴切的名称函数的梯度（注意：教材中将梯度表示为列向量，但

35、是有时却又疏忽，以行向量表示）。【例6-38】求函数 在点P(1,2,-1)处，分别沿着什么方向时方向导数取得最大值和最小值？并求出其最大值和最小值. 不难看出，当自变量增量总值（即与定点距离）固定时，沿梯度方向的全微分也是最大的。关于梯度符号与Nabla算子符号 的约定说明。 由于本教材中提到向量的时候，基本都是表示为列向量，所以我们在这里也将算子符号 由列向量的形式表示，即（假设函数有n个自变量）：我们还约定 这也还是Nabla算字符号，不过是以行向量的形式表示而已。下面说明其运用方式。 假设 与 分别是是n元数值函数和向量值映射。于是约定 并约定：称为函数 的海森矩阵。第六节：向量值函数

36、微分法1.概念；2.极限与连续；3.微分法（向量值函数）；4.多元函数的泰勒公式。6-6:1,3,5,66-7:1(2,3);2;3(2);46-8:1(2,4);2;3(2);4;5第六章6,7,8节作业题 前面我们曾经使用过向量值函数的符号和概念，事实上，向量值函数在现实中有大量的应用。其符号记法使得很多较复杂问题的表述简单化，给数学研究带来很多方便。 1.概念：一个从n维空间 的子集到m维空间 的映射，便称为一个向量值函数。 (1)符号约定：我们用如下一些符号表示向量空间中的点，并且也表示这些向量空间中的向量（列向量表示）：一个向量值函数（映射）实际上就是由m个n元函数的有序组（组成的列

37、向量），即记则向量值函数可以记为（2）线性映射与线性变换（i）线性映射的定义；（ii）线性变换的表示（矩阵的意义）-见例6-39。其中 称为 的分量函数。（iii）全微分与线性映射（变换）-从一维到高维。【例6-39】 就是一个 的线性向量值函数，其坐标函数为函数可写成2.向量值函数极限与连续（1）定义-分量式定义与整体式定义；（2）连续向量值映射的运算-线性运算与内积；（3）复合的连续性。3.向量值函数的微分法（1）向量值函数的偏导；（2）向量值函数的微分（全微分）注：自变量微分符号（向量），与距离的高阶无穷小；两定义的等价，简略说明。（i）分量式定义：（ii）整体式定义-正式定义（3）向量

38、值函数微分中的线性映射（矩阵A）是啥样？-雅各比矩阵（4）雅各比矩阵-向量值函数的导数（或偏导）；记法：雅各比矩阵的转置-向量值函数的梯度。【例6-40】设向量值函数 求f (x)在点O(0,0)处的微分df (x).或（5）向量值函数运算的微分（梯度）运算法则加减、内积、数乘（乘上数值函数）的微分： 注意：搞清这里面哪一个是矩阵，哪一个是向量。哪一个是行向量表示的，哪一个是列向量表示。 （6）复合映射的“导数”-链式法则【例6-41】求n元复合函数 y=f (Ax+b)的梯度，其中A是mn矩阵.【例6-42】设y=f (x)是n元函数，x是点x0的增量.求一元函数 的一阶导数 和二阶导数（7

39、）多元数值函数的海森（Hssian）矩阵注：类似于一元函数的二阶导数对于判断函数性质具有重要意义一样，海森矩阵也有着同样的意义。但是情况要复杂一些。涉及二次型（或对称矩阵理论）。注：这是对一个多元数值函数给出的定义。得到的矩阵称为海森矩阵。二阶偏导连续时，这个矩阵是对称的。 4.多元数值函数泰勒展开式 同一元函数一样，将一个多元超越函数用多元多项式函数近似，是极有意义的。但是，尽管可充分高阶偏导的函数确实也能高次展开，但形式相当繁复。一般来说，最常用来研究函数形态的，主要还是二阶展开，所以这里也仅仅证明一、二阶泰勒展开的结果。（1）一阶展开。设函数在某定点邻域内二阶可微则有【例6-43】设z=

40、z(x,y)是由方程 所确定的隐函数，且z(1,1)=2.求z(x,y)在点(1,1)处的带有皮亚诺余项的二阶泰勒公式.证明概述：设考察其拉格朗日型余项的一阶展开式即可。同法可证（2）二阶展开（皮阿诺余项）。设函数二阶导连续则有接续【例6-43】解：对方程 z3-3xy=5 两端求一阶全微分，得于是有从而因为 z(1,1)=2，所以求 z (x,y) 的二阶偏导数，易知由泰勒公式，得其中，第七节：多元函数的极值1.极值；2.最值；3.条件极值-拉格朗日乘数法。1.多元函数的极值（1）多元函数极值的相关定义-与一元函数基本一样，唯一不同的是涉及到的邻域是多维区域。在考察极值的时候，需要考虑得因素

41、更多一些。（2）多元函数取到极值的必要条件- 梯度为0（向量）的点，这样的点也被称为函数的驻点，极值点必必须是驻点，但驻点不见得是极值点。（3）多元函数极值判定的充分条件 一个多元函数的海森矩阵，相当于该函数的二阶导数。假设函数有连续二阶导数，利用二阶泰勒展开式。对梯度为0的点可以依据海森矩阵的正定、负定判断出所讨论的驻点是否为极小值点或极大值点。 但是，在海森矩阵是半正定，伙半负定的情况下，则需要进一步考察。没有确定的结论。 如果海森矩阵是不定的对称矩阵，则该驻点不是极值点。【例6-44】求函数 的极值.【例6-45】求函数 的极值.考虑一下为什么？2.最值问题-与一元函数的情况一样，对驻点

42、、可疑点以及边界点的函数取值进行比较。 但困难的是，多元函数定义域的边界点，是无穷集。想要搞清楚边界点处的情况，有时候比考虑内部的情况困难的多。 不过很多实际问题，最值比较容易判断。特别是仅有唯一驻点的时候。【例6-46】求函数 在区域上的最大值和最小值.接续【例6-46】解：解方程组得驻点在D的边界 上，函数 z 可写为一元函数求得它的驻点接续【例6-46】这样共有9个“可疑点”：计算它们的函数值得比较它们的函数值，得最大值为最小值为 z (0,0)=0【例6-47】有一宽为24cm的长方形铁板（图6-7(a)），把它两边折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？2

43、424-2xxx(a)(b)（图6-7）接续【例6-47】即解：设折起来的边长为 x cm，倾斜角为 (图6-7(b)，则梯形断面的下底长为24-2x，上底长为24-2x+2xcos ,高为 xsin ，所以断面面积24-2xxx图6-7(b)从而由于 上述方程组可化为解方程组，得 根据题意可知，断面面积的最大值一定存在，而 是问题定义区域内唯一的驻点，因此可以断定，当x=8cm， 时，就能使断面的面积最大，其最大断面面积是（3）条件极值-拉格朗日乘数法（i）几个概念 无条件极值（自由极值）与条件极值；目标函数与约束条件。（ii）拉格朗日乘数法 拉格朗日函数与拉格朗日乘子-及其记法多约束条件规

44、划问题：设有规划问题（单约束条件）：或简记为称为拉格朗日函数， 称为拉格朗日乘子（乘数）。相对应的拉格朗日函数：（iii）求解方法与解法根据的简单说明【例6-48】制作一个体积为V的无盖长方体，问如何制造才能使用料最省.【例6-49】已知 ，试在球面 的第一卦限内求一点，使 f (x,y,z)在此点取最大值.并由此证明：对任意正实数a,b,c，均有第八节：偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面；2.空间曲面的切平面和法向量。1.空间曲线的切线与法平面（1）空间曲线切线的几何定义（描述）-割线的极限位置-与平面曲线相同。（2）空间曲线切线的代数刻画（i）参数曲线-割线方向向量的极限（参量趋近

45、于定点）-切线的代数表示（参数形式）。（ii）一般方程曲线-可以某一个主变量为参数。（注:这里要假设总有一个雅各比行列式不为0。）。 考察两个曲面在交线上某一点处的法向量-对应函数的梯度-的向量积是什么？参见下节。总有一个雅各比不为0，那么就还有-另一个思路：【例6-52】求曲线 在 t =1处的切线及法平面方程2.空间曲面的切平面与法向量（1）几何描述 -曲面上所有过给定点的光滑曲线的切线所在的平面。（2）代数证明与求解 -将参数曲线代入曲面方程，对参变量求导，得到与曲线切线垂直的向量（曲面上任意过定点的曲线）。（3）空间曲线的法平面 -曲线切线的方向向量就是法平面的法向量。【例6-54】求曲面 xy+yz