化工问题的建模与数学分析方法化工数学6-PPT课件

1、化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第六章 近似解析方法1、奇异摄动法2、试验函数法3、正交配置法第六章近似解析方法概论解析解与数值解的比较解析解由简单函数关系式直接给出的对应关系 结构简单，计算代价小 结果可靠，直观，便于应用 对一般问题难以得到数值解以大量数字对应方式给出的函数关系 适用性广，可处理复杂问题和大规模问题 依赖于计算工具和特定算法，代价较大第六章近似解析方法概论近似解析解准确解的近似解析表达式局部精确性较差，但整体规律性好形式简单而满足工程应用

2、容易得到数学问题的求解原则首先求准确解析解其次求近似解析解最后采用数值解第六章 近似解析方法摄动法1 摄动法摄动法将问题对小参数进行级数展开的求解方法正则摄动：小参数直接展开的方法奇异摄动：直接展开失效后采用的专门方法或改进方 法第六章 近似解析方法摄动法1、正则摄动与奇异摄动例1 最高次项含小参数的非线性代数方程的求解设得第六章 近似解析方法摄动法正则摄动只能得到一个根，因为直接展开失去了问题的非线性性质。第六章 近似解析方法摄动法如果作变换 y = u/ ，得然后对u 直接展开，得到另一个根第六章 近似解析方法摄动法准确解为当 0时，其两个根分别趋于y a和y 1 ，对应的两个摄动解分别称

3、为正则摄动解与奇异摄动解。第六章 近似解析方法摄动法例2 小参数位于非导数项中的情况设得第六章 近似解析方法摄动法近似解与准确解极为接近，这种情况下正则摄动法是奏效的。第六章 近似解析方法摄动法例3 方程最高阶导数乘小参数的情况当 0时，方程由二阶退化成一阶方程，近似解只能满足一个边值而难以同时满足两个边值。 第六章 近似解析方法摄动法直接展开得到取x =1处的边界条件 y0 (1) = ，y1 (1) = 0，得到 第六章 近似解析方法摄动法在 x =0 处因此，近似解不满足x =0 处的边值。第六章 近似解析方法摄动法分析： x =0 处存在一个边界层边界层的存在是小参数乘最高阶导数问题的

4、特征第六章 近似解析方法摄动法概念：渐近级数与收敛级数收敛级数：按变量展开的级数，如泰勒级数，三角级数，幂级数等，级数的精度随项数的增加而提高；渐近级数：按参数展开的级数系数yn(x)是由展开后的问题顺序解出的，因此级数不一定收敛，一般只取级数的23项。第六章 近似解析方法摄动法2、边界层方法基本思想：放大镜将空间边界层放大，使分布变平缓，突出边界层内的作用；慢镜头将时间尺度放大，使变化减缓，突出快速变化的过程。历史来源与发展：Prandtl边界层方程，Blasuis匹配方法，PLK方法第六章 近似解析方法摄动法边界层方法的求解步骤1、外解直接展开2、内解边界层放大3、匹配内解与外解的衔接4、

5、合成内解与外解的组合第六章 近似解析方法摄动法例31、外解第六章 近似解析方法摄动法2、内解边界层放大，定义内部坐标第六章 近似解析方法摄动法取1以保留二阶导数项，得令得第六章 近似解析方法摄动法解出0阶近似常数C由匹配条件确定第六章 近似解析方法摄动法3、匹配Prandtl匹配原理0阶近似的匹配方法得0阶内解第六章 近似解析方法摄动法4、合成加法合成法合成解外解内解公共部分高阶近似的匹配Van Dyke匹配原理 n项外解的m项内部展开 m项内解的n项外部展开 第六章 近似解析方法摄动法匹配后的两项近似内解合成后的两项近似解第六章 近似解析方法摄动法3、时间边界层刚性问题（stiff equs

6、)刚性问题：具有不同时间尺度的变化问题；特点：快步骤与慢步骤共存 拟稳态近似与定常态近似计算难点：数值振荡，多步Gear 方法奇异摄动：慢镜头分析，给出完整的结果第六章 近似解析方法摄动法例慢时间尺度解（0）拟稳态近似第六章 近似解析方法摄动法快时间尺度解定常态近似第六章 近似解析方法摄动法合成与匹配Von Dyke匹配原理例：催化剂的平行失活问题反应快、失活慢，二者均需要考虑第六章 近似解析方法摄动法无量纲化1、先求内解，内解可完全确定 第六章 近似解析方法摄动法令 第六章 近似解析方法摄动法得到两项近似内解 第六章 近似解析方法摄动法2、直接展开求外解，外解不满足初值，含任意常数3、内、外

7、解匹配确定外解任意常数得到外解第六章 近似解析方法摄动法第六章 近似解析方法摄动法4、合成含有快、慢尺度的统一解 第六章 近似解析方法摄动法第六章 近似解析方法摄动法4、移动的空间边界层问题 非线性色谱过程的浓度前沿非线性吸附效应与扩散效应之间的竞争作用移动的空间边界层的形成求解思路外解非线性色谱问题的激波解内解采用跟随激波的移动坐标系，放大边界层匹配与合成第六章 近似解析方法摄动法问题 第六章 近似解析方法摄动法1、外解由特征线法浓度激波位置xs由匹配条件确定 第六章 近似解析方法摄动法2、边界层内解积分得3、匹配第六章 近似解析方法摄动法由以上Prandtl匹配条件得激波间断关系解得激波轨

8、迹边界层内解第六章 近似解析方法摄动法第六章 近似解析方法摄动法4、0阶近似合成解第六章 近似解析方法试验函数法2 试验函数方法 思想：用已知的、含待定参数的简单函数近似代替准确解，用积分形式的方程或点近似方程代替微分方程，确定不定参数。以牺牲一些局部的精确性为代价，换取对问题整体规律性的把握，在一定的近似范围内解决问题。要点：试验函数的选择残差处理方法第六章 近似解析方法试验函数法1、试验函数与方程残差 例1 落石问题分析：下落速度从零增加到末速度第六章 近似解析方法试验函数法设试验函数为 是待定参数，代入方程得到残差 若要求在t=时刻方程成立，R()=0，得第六章 近似解析方法试验函数法由

9、准确解特点：方程只在一个点满足，近似解“八九不离十”例2 催化剂颗粒有效系数计算 第六章 近似解析方法试验函数法设试验函数要求方程积分满足，得第六章 近似解析方法试验函数法取s=0，r(y)=y ，得准确解 1 时，相差甚微（1%左右） ， 越大相差越大。原因：快速反应浓度分布空心化，偏离抛物分布。第六章 近似解析方法试验函数法改进，对于快速反应，采用以下蛋白型试验函数仍要求方程积分满足，确定参数xp第六章 近似解析方法试验函数法准确解 ，说明试验函数越接近真实，结果越准确。 例3 试井问题拭井：反求地层参数的工业试验方法，压力变化方程第六章 近似解析方法试验函数法第六章 近似解析方法试验函数

10、法分析：影响半径RR() ，漏斗型分布，拟稳态假设无穷远边值的有限化积分平均近似拟稳态试验函数第六章 近似解析方法试验函数法由边界条件影响半径为待定函数，代入积分的压力方程，得准确解第六章 近似解析方法试验函数法小结：试验函数法试验函数的选择尽可能接近真实事先满足初始与边界条件方程残差的处理 点近似 积分平均近似 加权积分近似第六章 近似解析方法试验函数法2、空间平均近似 例：球形颗粒上的不定常扩散 采用抛物型试验函数: 第六章 近似解析方法试验函数法代入方程，令空间积分为0，得系数A由初始条件确定，定义空间平均浓度，得由初值为0 第六章 近似解析方法试验函数法近似解与准确解的比较：长时间后准

11、确，短时间内偏离。原因：渗透区的存在，偏离抛物型试验函数。第六章 近似解析方法试验函数法第六章 近似解析方法试验函数法改进取渗透型试验函数由空间平均近似第六章 近似解析方法试验函数法短时间解准确解第六章 近似解析方法试验函数法3、边界层动量积分方法问题：Prandtl边界层方程，非线性PDE方程组y=0: u=v=0; y: u=U, v=0 x0: u=U, v=0第六章 近似解析方法试验函数法方法要点：在边界层内用积分形式的动量方程代替微分方程选择满足边界条件的多项式或其它函数为试验函数第六章 近似解析方法试验函数法1）边界层积分动量方程的推导边界层厚度(x)是一个待定的函数 第六章 近似

12、解析方法试验函数法2）试验函数的选取满足以下边界条件取第六章 近似解析方法试验函数法代入动量积分方程得到确定边界层厚度(x)的方程准确解第六章 近似解析方法试验函数法4、加权余量法（Galerkin方法） 残差加权积分为0的近似方法权函数的选择点近似积分平均近似矩量积分近似最小二乘近似第六章 近似解析方法试验函数法Galerkin方法 Galerkin方法应用最广，其物理基础为变分原理第六章 近似解析方法试验函数法例：催化剂有效系数计算取试验函数方程残差第六章 近似解析方法试验函数法由Galerkin方法n=2时第六章 近似解析方法试验函数法准确解0.446比较：空间平均近似法 =0.384

13、第六章 近似解析方法正交配置法3 正交配置法 Galerkin法的特点精度高积分计算量大改进用高斯积分公式进行Galerkin法的积分运算正交配置法（Finlayson 1972, Villadsen 1978)第六章 近似解析方法正交配置法1、以待定参数为未知量的正交配置法 例：催化剂颗粒问题设残差Galerkin法确定参数a 的方程第六章 近似解析方法正交配置法采用Gauss求积公式来计算Galerkin积分取N个Jacobi正交多项式的根为节点，得到 第六章 近似解析方法正交配置法上式是关于N个残差项RNj的线性代数方程组，由于 得到充分必要条件上式为N个节点上的配置方程，可定出N个参数

14、a。因此，当采用高斯积分公式来计算Galerkin积分时，Galerkin方法就成为高斯节点上的配置方法，二者的误差就是高斯积分误差，具有2N1阶代数精度。相应的方法称为正交配置法。第六章 近似解析方法正交配置法Jaccobi正交多项式的概念( 0,1)区间上的特征值问题的非零解N次正交多项式在(0,1)区间的N个根就是配置节点。例：催化剂有效系数的计算第六章 近似解析方法正交配置法用高斯积分公式来代替Galerkin积分公式计算残差，单点近似z1=1/3，仍取n=2, =3，解出 第六章 近似解析方法正交配置法正交配置解Galerkin方法0.463 差别源于高斯积分的微小误差。小结：Gal

15、erkin法：通过残差加权积分为零确定参数正交配置法：残差在正交节点上直接为零确定参数二则差别仅为高斯积分近似误差第六章 近似解析方法正交配置法2、以节点函数值为未知量的正交配置法取正交节点上的函数值yi=yi(x)为待定参数，代替ai，试验函数取为N次多项式Lagrangian插值函数第六章 近似解析方法正交配置法以节点函数值为待定参数，意义明确，插值函数已知，便于求导导数的离散第六章 近似解析方法正交配置法因此，对于任意的微分方程L(y)=0，采用正交配置法以后，就可以将其离散为配置节点xi上的N个代数方程L(yi)=0, i=1,2,N求出N个yi后，得解。例：圆柱形催化剂颗粒的内扩散问题，取 第六章 近似解析方法正交配置法试验函数节点残差第六章 近似解析方法正交配置法代入边界条件yN+1=1，得到 确定N个未知量的N个线性代数方程，数值求解。 第六章 近似解析方法正交配置法小结正交配置法是一种解析解与数值解相结合的试验函数方法，它以正交多项式的根为插值节点，以节点函数值为参数，通过节点残差为零的条件将微分方程化为N个代数