第1章-函数、极限、连续要点整理

1、第一章 函数、极限、连续一、极限的概念与性质一极限的定义!im Xn A0, 正整数N ,当n N时，有 A假设Xn存在极限有限数，有称Xn收敛，否则称 Xn发散 极限收敛 lim f (x) A n0, 正数X ,当x X时，有f(x) Alim f (x) A lim f (x) A nn 一函数收敛无穷极限叼mj(x)A0,正数，当 0 x x0，有 f (x) A函数点极限二极限的基本性质与两个重要极限 极限的基本性质极限的不等式性质设lim xn a, lim yn nnb,假设a b,则N,当n N时，有4% ;假设nN时，xnyn yn则a b收敛数列的有界性，收敛必有界；设数列

2、xn收敛，则数列xn有界，即存在常数M大于0,使xn2.函数极限的基本性质函数极限的 不等式性质；设lim f (x) A； lim g(x) B n xqn xq假设A B ,则存在大于0,当0 x x0, f (x) g(x)假设存在 大于0,使得当0 x x0 有f(x) g(x);则A B函数极限的 保号性；设lim f(x) A；假设A大于0,则存在 大于0,当0 x xq时，f(x)大于0；n xq假设存在 大于0,使得当0 x x0 有f (x) 0,则A 0存在极限的 函数局部有界性；设存在极限lim f (x) A,则f(x)在x0的空心领域0 x x0内有界，n x0即存在

3、 大于0, M大于0,使得0 x x0 时，f (x) M 在一个区间范围内3.数列极限与函数极限的关系假设lim f (x)xA,则 lim f (n)n假设lim f(x)x xoA,且lim xnx0nxnx0,则 lim nf (xn)4.两个重要的极限.sin xlim 1x 0 xlim (1 xl)x e xlim (1 -)n1lim (1 x)x ex 0二、极限存在性的判别 一夹逼定理假设存在N ,使得当n N时，有ynxnzn，且lim yn limZna ,则limXna数列无穷情况n n n nnn假设存在 0 ,使得当 0 x x0时，有 h(x) f (x) g

4、(x),又 lim h(x) lim g (x) A ;则X X0 x xolim f (x)= Ax xo函数区间点情况二单调有界 数列必收敛定理假设数列xn单调上升有上界，即xn 1 xnn 1,2,，并存在一个数 M ,使得对一切的n有xnM ,则xn收敛。即存在一个数 a , lim xn a ,且有xn a n假设数列xn单调下降有下界，即xn 1xn n 1,2,，并存在一个数m，使得对一切的n有xn m,则xn收敛，即存在一个数 a , lim xn a ,且xn a n(xn !xn)的部分数列和是4 i X ,故数列 的敛散性与级数(x0 i*口)的敛散性相同n 1n 1li

5、m f (x) A 注意分段函数；左右极限都存在 x xo三单侧极限与双侧极限的关系lim f(x) A lim f (x) Ax xox / 四证明一元函数 f(x)的极限不存在 常用的两种方法方法1,左右极限 至少有一个不存在，或者左右不相等方法2,运用数列极限与函数极限的关系，不存在或不一致 三、求极限的方法一运用极限的四则运算与哥指数运算法则求极限哥指数lim f(x)g(x)要判断与0、1的关系 x a；00, 1 ,0可以化为这两种形式a的空心邻域可导；g(x) 00?有界函数 0？有界函数二利用 洛必达法则 求未定式的极限 洛必达的定义要掌握好0与一形可以要运用洛必达法则，其他形

6、式0?;0 limf(x) lim g(x) 0 (或)；f(x)、g(x)在 xx ax alim f (x) = A ；则lim f(x) = A ；但是lim f (x)不存在，不能判定 lim f(x)不存在 x a g(x)x a g(x)x a g(x)x a g(x)如果 limf(x严)是 1 的未定式；limf(x严) elimg(x)lnf(x)elim g(x)(f(x) 1)三利用 函数的连续性 求极限设f(x)在x a连续，按定义则有lim f(x) f(a)x a四利用 变量替换法 和两个重要极限 求极限假设lim x 0,x X0lim x A, lim 1 x

7、f eAX X0 x xo五利用等价无穷小因子替换求极限乘除运算中使用等价无穷小因子替换，不能随意在极限的加减运算中使用2.除了熟练运用等价无穷小因子替换外，还要运用等价 无穷小的传递性质、运算性质，并结合洛必达法则，变量替换复原法简化计算过程六分别求左右极限求得函数的极限-1如x 0； ex、arctan -要分别求得左右极限求得函数极限； 可能左右不相等 的情况x七利用函数极限求数列极限lim f(x) A,则 xn ,有 lim f(xn) Axn八用适当放大缩小法求极限如n个正数之和不超过其中 最大数乘以n,不少于其中 最小数乘以n ；分子与分母同为正数，把 分母放大则分数值缩小；假设

8、干个正数的 乘积中，把小于1的因子略去则乘积放大，把 大于1的因子略去则乘积缩小 极限的不等式性质进行放大或缩小 积分的极限 可利用积分的性质进行放大或缩小九递归数列极限的求法an 1f(an)方法1,先证数列an收敛，单调有界 数列必收敛，然后设lim xn A,A f (A) n方法2,先设lim xn A,对递归方程取极限后解得A,再用某种方法证明lim x An nn n对于任意数列an ,假设满足an - A kan 1 - A , 0 k 1,则有Jm an A对于任意数列xn , lim xnA lim x2n lim x2n 1 A奇数项极限；偶数项极限nnn十利用导数定义求极

9、限十一利用泰勒公式求未定式的极限四、无穷小及其比较一无穷小与无穷大的定义1假设nlim xn 0 ,则称数列 xn为无穷小，记为xn (1)2假设lim f (x) 0,则称xx0时f(x)为无穷小，记为f(x)= (1)x xg二无穷小的有关性质lim f (x) A f (x) A (x),其中 lim (x) 0 x x0 x Xo无穷小(不为零)的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小有限个无穷小的代数和为无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小无穷大的运算 通常转化为无穷小 运算有界变量与无穷小的乘积是无穷小 无穷大不具备无穷小的运算性质，三无穷小阶的概念(x),(x)为无穷小，极限1假设0,则

10、称(x)与(x)在该极限过程中为 同阶无穷小2假设1,则称(x)与(x)在该极限过程中为 等价无穷小 (x) (x)3假设0, (x)比(x)高阶假设lim凶不存在，则(x), (x)(x)不可比较；假设lim尹l 0;(x)为k(x)(x)的k阶无穷小四等价无穷小的重要性质1(x) (x),/、 口(x)七七(x),且 lim 7存在 (x)lim上lim上(x)(x)2等价无穷小的传递性(x) (x)五常见的等价无穷小当x 0假设f(x)(x),则sin x lim 一 x 0 x-)x e xarcsin x x3 x sinx61 cosx1x2 ex 1 x3 x tanx x3 l

11、n(1 ax 1 xin a1log a(1 x) - - xln a (1x)ln(x1 x2) x当f(x) 1 ;善于运用in f (x) f (x) 1多运用六无穷小阶的比较与确定无穷小阶的方法.无穷小阶的比较lim fix)是确定同阶，等价或高阶的最基本方法x a g(x).确定无穷小阶 的方法lim f (x) 0,如何确定 “*)是乂 a的几阶无穷小 x a方法1,洛必达法则lim f(x)k A x a(x a)方法2,利用等价无穷小方法3,利用泰勒公式方法4,利用无穷小阶的运算性质当xa,(x), (x)分别是(x-a)的n阶与m阶无穷小，又lim h(x) A 0 x a1

12、(x) ?h(x)是(x - a)的n阶无穷小2(x)? (x)是(x-a)的n m阶无穷小3当n m,当(x)+ (x)是(x - a)的m阶无穷小， _(x)是x-a的n-m阶无穷小 (x)五、函数的连续性及其判断一连续性定义1假设lim f xf(x0),则称f x在点x0处连续x xo2假设lim f x0 x - f (x0) 0 ,则称f x在点x0处连续 x 030,0,使彳3当x-x0 ，恒有f x - f x 0,则称f x在点刈处连续4左连续，右连续5开区间(a,b)任一点连续，开区间连续6端点连续，闭区间连续7f x在点Xo处连续，在点Xo左右连续二间断点的定义与分类设f

13、 X在点Xo的空心领域有定义，且x = Xo不是f X的连续点，则称Xo是f X的间断点第一类间断点，左右极限均存在，相等为可去间断点；不等为跳跃间断点第二类间断点，左右极限至少有一个不存在；左右至少有一个为无穷大，无穷间断点三判断函数的 连续性和间断点的类型1连续性的四则运算法则，都连续2复合函数的连续性3反函数的连续性，连续且具有相同的单调性六、连续函数的性质*一连续函数的 局部保号性质；设f x在点X X0处连续，且f X0大于0或小于0，则存在 大于0,当X-Xo, f x大于0或小于0二有界闭区间上连续函数的性质1连续函数介值定理；设f x在a,b上连续，f a f b ,则对f a

14、与f b之间的任何数 ，必存在c (a,b),使得 f c2连续函数 零点存在性定理，设f x在a,b上连续，fa, f b异号，存在点c (a,b) , f c 0 同时考虑善用函数的 奇偶性、单调性、周期性；零点个数的问题3有界闭区间上 的连续函数的有界性；设 f x在a,b上连续，则f x在a,b上有界，即存在常数 M大于0,使得f x M4有界闭区间上连续函数存在最大值与最小值 (三)方程式根的存在性一连续函数介值定理的应用常考题型及其解题方法与技巧求0型或一型未定式的及极限、求0 或-型未定式的极限、求指数型 (1 ,0,0)未定式的极限、求含变限积分的不定式的极限、由极限确定函数式

15、中的 参数、求含参变量的极限、求n项和数列的极限、利用函数极限 求数列极限、无穷小的比较 和无穷小的阶 确实定、讨论函数的连续性与间断点的类型、有关 连续性性质 的命题11X 时要想到一换兀，或提公因子xa,令一=0进一步化简XX求极限遇到.a- .b要联想到平方差公式去根号善于运用eJ的形式；再运用等价无穷小当遇到xn, n时，要联想到x与1之间的关系；当遇到x2n, n , x与1之间的关系f (x)当f (0)=0时，运用f(0) limn,运用导数定义获得极限的形式，结合等价无穷小、洛必达法则 求极限x 0 x求极限可运用夹逼定理a xn b；善于缩小放大数列与函数之间的关系 先化解数

16、列形式引入函数 f (x)难点；判断单调性；判定值域范围Xnf(n),(n 1,2,3,.),则 lim Xn0,且Xn0,(n 1,2,3,.)n数列单调递减，且全为非负，则数列有极限；求极限时，可设极限为a,代入计算单调判断方式 为导数法或比较法Xn求极限过程中，把可以化为常数项的归类放边- 的极限通常采用通分；换元；提公因子；化成积或者商的形式；洛必达法则；常数项归边的方法当x 0,判断f(x)为x的多少阶无穷小，用xn极限中求常数时，要考虑 分类讨论 的情况；要判断 分子或分母是否符合洛必达法则的条件求存在积分的极限过程中，对积分的换元；变限要注意求极限过程中，对于 已给出某点函数值

17、或导数值时，优先采用 导数的定义 求极限lim f (x)-f(0)再考虑洛必达 x 0 x法则，以免没有考虑不可导的情形；也就是说，当求极限里边有f(x)时候，要考虑不可导的情形,就要凑形式时，化简时正负号的变化问题求方程f(x) g(x)的根的时候，转化为 F(x) f(x) g(x)=0的形式当已知两端点的值，求中间存在一根时，注意函数的形式，采取相加或相减消元难题limnlimnlimnlimnlimx 0当f (x)单调下降，则cos2n (arctan x);当1ln xex1x 2n2f f (x)单调上升x=0 时，lim n1,ln x1_ x_=1x 2cos2n (arc

18、tan x) =1 ；。时,cos一 nn!n-(M1ln(x -1lim cos2 一1n0为常数)lim n2 x -x2 0 f (t)dtx20 f出x2)x2 f x2 t dtx2 g (xt) dtxf (x) ln(1 x)n22limnn2 ln 2. _2sin 一 nlimnn22 e.一 2sin 一 nlimnn22 eM lim n 1M k 1 1lim - 0n k! n1ln(1 x)ln(1lim 一x 0ln(xx) ln( x . 1 x2)v 1 x2) ln(1limln(1 x) ln(x、1 x2)x)x2x 0 f (t)dtx2 f (x)x

19、2 0 f (t)dt2xf (x2)f - u du 0 xx 0 g(u)duxf(x) x limx 02limx-X 02 f (x2)2xf xx0 g(u)duln(1 x) x-2 xf(x)xf(x)xf(x)x2f(x2)2xf xxg(x)limx 0 xg xg(x)lim 3 J x 0 x 21 x lim x (1x)x1 lim ex limx1 cos2tt2dtlimx1.1 2 dt x t2 limx1 sin21t2dt limx1 cos2 t1 2 dtX tlimx2 cos- x 2limx已知wlx”t3解设f (x)bx2 ln(1x2)2-

20、出1,求常数a 0与b的值分类讨论，思路清晰3xa x2当a大于0时，f (x)在()上连续，当a等于0时,f (x)在 x0有定义，且f (x) =xx ；补充定义f (0)0, f(x)连续，从而当xo f(t)dt 可导limbx2 ln(1 x2)3x t0 . at2dt1 limix(1 x2)2x 0 bbx2lim 2 x 0bx2t3ln(1x2) 0 a t21dt lim2,a x 0b 1 bx2012, a已知数列xn:x0=25, xn = arctanxn 1 ；证明它有极限，并求其极限设 f (x) arctan xf(x)小于0,单调递减；数列单调递减，对于每

21、个都有xn大于0,因此极限存在，lim xnna ； a = arctan a ；=0设数列xn，1，由递推式xn ( xn2); xn 11,2,3，其中a大于0为常数，%是任意正数，试证limxn存 n一一.1 ,在，并求此极限，因为 xn 1(xn12xn-)；因此1xnxn1、a ， -(1xm2-a-)xn 11;因此有极限lim xnn设函数f (x)在a,b连续，且对任何x a,b总存在，y a,b ,使得f (y)1-|f(x)试证明存在使彳# f ( ) 0反证法、相矛盾假设存在a,b上f(x)处处不为零，则 f (x)在a,b上恒正或恒负。不失一般性，可设 f (x)在a,

22、b恒正，于是存在 xa,b 使得 f(x0) min f (x)0 o 由a,b题设条Xo存在y a,b使得_1 . _f(y)f(y) 21f(x)1，一 、一f(x0),与f(%)是最小值矛盾,2因此存在a,b使得f(设函数f(x)在()连续,则以T为周期的周期函数,求证方程f(x) f(X0在任何长度为的闭2区间至少有一个实根),考虑闭区间a,a ，做辅助函数F (x) f (x)2f (x ),则 F(a) f (a) 2由于f(x)的周期性，有F(a T) 2f (a ) f (a) f (a ) f(a)F(a) ； F(a T) F(a)20;因此方程 f (x)f(x ) 0在任何长度 2的闭区间至少有一个实根2设 f (x)nim n 2n2 nn xx ，且x4。求f (x)2时,22n xn 4n2 n HYPERLINK l bookmark23 o Current Document xx2n 1282n 34时,2 n2nxnx4xn x2I x4时，一4I2nxn因为 lim n 3 1, n即得f(x)limn2n xx 一4设y y(x)是由方程y2 xy0确定的满足解：有隐函数存在定理知，方程xn 32xy x