空间直线与平面地方程及其位置关系

1、空间直线与平面的方程以及位置关系高天仪 20101105295数学科学学院数学与应用数学专业10级汉二班指导教师李树霞摘 要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数1空间直线的方程1.1直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点M。与一个非零向量V,那么通过点M。且与向量V平行的直 线l就被唯一确定，向量V叫直线l的方向向量.任何一个与直线l平行的非零向量都可以

2、作为直线l的方向向量.直线l过点M 0（X0, y0,Z0）,方向向量V = X,Y,Z.设M （x,y,z）为l上任意一(1.1-1 )点，OM0 = R , OM =r ,由于MM与v （非零向量）共线, 则 r 一 r0 =tv 即 r =r0 +tv叫做直线l的向量式参数方程，（其中t为参数）。如果设r0二d以2 ,= x,y,z又设V = X,Y,Z,那么(1.1-1 )式得(1.1-2 )x = xo Xt y = y0 +Yt z = Z0 + Zt(1.1-1 )叫做直线l的坐标式参数方程。消参数t即得x -x0 二 y - yo _ z - Zo(1.1-3)则(1.1-3)

3、叫做直线l的对称式方程或称直线l准方程。例1 求通过空间两点M1(x1, y1,z1) , M 2(x2, y2, z2)的直 线方程。解 WV = MiM2作为直线l的方向向量，设M(x,y,z)为 直线l上的任意点(如右图)，那么 r - OM - r2 - ri - X2 - X1 , y2 -yi,z2 - Z1,所以直线l的向量式参数方程为：r = r1 t(r2 -r1)；|x = X1 t(x2 - X1 ) y = y =(y2 y1) “=4 +t(Z2 乙)x -x1二 y - y _ Z-Z1x2 - x1y2 - y1Z2 一 乙坐标式参数方程为对称式方程为(1.1-4

4、 )(1.1-5 )(1.1-6 )方程(1.4-4 ) (1.4-5 ) (1.4-6 )都叫做直线l的两点式方程。1.1.1直线的方向数取直线l的方向向量为Vo =cosu,cosP,cos”,则直线的方程为r = ro +tv0 (参数方程)x = x0 + t cos 或y = yo +t cos P、z = Zo + t cos ?(1.1-7 )标准方程x -x _ y - yo _ z - Zocos： cos : cos(1.1-8 )由此可见参数t的几何意义：t为直线l上点M与点M o之间的距离.直线的几个问题I .直线的方向角与方向余弦：直线的方向向量的方向角与方向.H .

5、直线的方向数：直线的方向向量的分量X,Y,Z或与之成比例的一组数l,m,n 田.直线的方向余弦coscos P,cos?与方向数l,m,n之间的关系1mncos =二,cos,cos 222222222,1 m n, 1 m n1 m n空间直线的一般方程空间直线可以看作两个平面的交线。如果两个相交平面的方程分别为Ax+Biy+C1Z+D1 =0和 A2x+B2y+C2z + D2 =0 ( Ai、 Bi、 Ci与 A2、 B2、 C2 不成比例），则它们的交线是空间直线。该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平 面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程。所以方程组Ax + B1

6、y + C1z + D1 =0A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0(1.2-1 )就是这两个平面交线的方程。方程（1.2-1 ）称为空间苴线的二股方一程？.直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一，通常取简单的两平面来表示直线.x = az + c如 将一般方程（特殊的一般方程）化为，（直线的射影式方程）.j = bz + d直线一般方程与标准方程的互化标准方程化为一般方程.（方向数不全为零）一般方程化为标准方程般方程JAx By CzD1A2x B2y C2zD2=0（1）确定直线的两平面法向量 n1，n2的向量积n1父1为直线的一个方向（2）取方程组的一组/I解得直线l上一点

7、M 0（x0, y, z）化得直线标准方程x -x0B1C1B2C2y - y0 _ z - zC1C2A2A A B1A2B22空间平面的方程2.1空间平面的一般方程一个平面I是由垂直它的非零向量n和平面上的一个点 M唯一决定的。设n=(A,B,C)(不为零向量)表不垂直 I的方向，称n为I的法向量由于n为平面I的法向量，M(x o,y o,z )为I上一点，则对于空间中任意点M (x,y,z ), M在I上当且仅当MM n=0或OM n =OM n用坐标来表示，化为A(x -Xo) B( y - y0) C(z - 4)= 0令D = -(Ax。+By +Czo),则得到平面的方程Ax B

8、y Cz D =0这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示。(3.1.2 1)(3.1.2 2)反之，对于任何一个三元一次方程Ax+By+Cz + D=0 A,B,C 不全为 0,不妨设A0 ,则该方程又可写成A(x D) By Cz =0A作过点(-D,0,0),垂直于方向(A,B,C)的平面，则这个平面的方程就是所给出的 A方程，即一个三元一次方程表示一个平面。由此可以看出，经由坐标系，空间中的平面与一个四元数组(A,B,C,D)相对应。但是，这种对应不是一对一的，对于所有的k#0, (kA,kB,kC,kD)对应同一平面。由(3.1.2 2)表示的方程称为平面的一般方程。3.2

9、空间平面的法式方程1把(3.1.2 1)式两边同时与 九=或九= n1 , 一 相乘，符号的选取使得k(OM0 n)至0。这样为从原点指向平面I的单位向量p = (OMo n) -0为原点O与平面I的距离。此时可以得到I的另一种方程表示OMo n。= p , n0 =1 , 0Mp称为平面的法式方程，选取的 人称为法化因子。它的几何意义是：平面I是由所 有的满足OM在垂直于I的直线上投影向量为pn。的点M构成的。若以给平面I 的方程为Ax By Cz D =0则I的法式方程可以表示成 (Ax By Cz D) =01.一,一 一 一.、其中法化因子儿=, 一九正负号的选取要使得 W0O法式方程

10、常A2 B2 C2用来处理和点与平面的距离有关的问题空间平面的参数方程A(3.1.4 1)(3.1.4 2)从图(3.1.4 -2)中可以看出，平面I是由I上一点M0与两个不共线的与I平行的向量a,b (或者说是I上两个不共线的向量)所决定的。设 M0 (x0, y0,Z0) I , a =(a1，a2, a3), b =(”电0)，a,b 与 I 平行且 a* b #0。则空 问中任意一点M(x,y,z)在I上，当且仅当M；M ,a,b三向量共面。从而有实数k, m,使得M0M =ka+mb 或者 OM =OM0+ka + mb使用分量来表示，则可得到jx = x0 ka1 mb1 y =

11、y0+ka2 + mb2(3.1.4 3)z = z0 +ka3 + mb3我们称(3.1.4 -3)为平面的参数方程，其中参数为k和mi从(3.1.4 -3)中消去参数k,田可以得到关于x,y,z的三元一次方程x -xo y-yo z-zo a1a2a3=0bib2b3空间平面的截距式方程对于由方程Ax By Cz D = 0所表示白平面I。假设I过原点O,即(0,0,0)在I上当且仅当D = 0。若D=0,则平面I可用方程二+丫+孑=1(3.4 1)a b c表示，其中(a,0,0), (0,b,0) , (0,0,c)分别为I与三个坐标轴的交点坐标。则我们称(3.4 1)为平面的截距式方

12、程。3空间中直线与平面的位置关系已知直线l和平面a的方程为x xy yz -z0l :=,l m n二：Ax By Cz D =0.现在我们来讨论l，a ,l /a , l在1a上的充要条件。因为直线l的方向向量S=(l,m,n)与直线l平行，平面口的法向量N =(A, B,C)与平面垂直，所以有l _ 二 u SN = - m -.ABCl / ： m S N = lA mB nC = 0.如果S _L N时，l和a又有公共点,则l就整个落在a上了.因此有4t1A+mB+nC=0l在0（上u 3Ax0+By0+Cz0 + D=03.1空间直线与平面的交角设直线l和平面口的交角为8.当1口时，日=0;当l _Lot时，9 =土；其他2情况下，日等于l与它在a上的射影直线l所交的锐角.设中是l的方向向量S与a的法向量N之间的夹角，则有cos邛=cos（ 一9） =sin 0 或cos邛=cos（十日）= sine.因此在这两种情况下，都有sin9 = cosl =S NSN .已知直线l和平面口的方程为l：=4.Xl m n:Ax By Cz D = 0设l和u的交角为日，则sinS N Al Bm