空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案(一)

1、空间直角坐标系如图1,为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以。为原点，分别以射线OA,OC,OD的方向为正方向，以线段OA,OC,OD的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系,其中点。叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系、即右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向.二.空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组（x,v,z）来表示，有序实数组（x,v,z）叫做点M在此空间直角

2、坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）,其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标例1在空间直角坐标系中，作出点M（6,-2,4）.例2长方体ABCDAiBiCiDi中，|AB户a,|BC|=b,|CCi|=c,将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置（如图3）,分别写出长方体各顶点的坐标.变式i:棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。.在棱长均为2a的正四棱锥PABCD中，建立恰当的空间直角坐标系,写出正四棱锥P-ABC

3、D各顶点坐标;写出棱PB的中点M的坐标.解：连接AC,BD交于点O,连接PO,VP-ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.四边形ABCD为正方形，且PO,平面ABCD.，OA=/2=PA2OA2=2a2_pa2=42a.以。点为坐标原点，OA,OB,OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.(1)正四棱锥P-ABCD中各顶点坐标分别为A(V2a,0,0),B(0,J2a,0),C(英a,0,0),D(0,一也a,0),P(0,0,V2a).0+0、；，2a+00+2a(2);M为棱PB的中点，由中点坐标公式，得M(-,N2,广)，即M(0,乎a,岑a).例3在空间直角坐标系中，点

4、P(2,1,4).求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2,1,4)的对称点的坐标.解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为Pi(-2,1,-4).(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1,-4).(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x=2X2(2)=6,y=2X(1)1=3,z=2X(4)4=12,所以P3(6,3,-12).变式：1.写出点P(6,2,7)

5、在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P关于各坐标平面对称的点的坐标.解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A,B,C,点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A,B,C,由PAL平面xOy,PBL平面yOz,PC,平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6,2,0),点B(0,2,7),点C(6,0,7);根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A(6,2,7),B(6,2,7),C(6,2,-7).2.在棱长都为2的正三棱柱ABCAiBiCi中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABCAiBiCi各顶点的坐标.正解取BC,BiCi的中点分

6、别为O,Oi,连线OA,OOi,根据正三棱柱的几何性质，OA,OB,OOi两两互相垂直，且3八日|OA|=2-X2=V3,T,0),i.平面 a,以OA,OB,OOi所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABCAiBiCi各顶点的坐标分别为A(V3,0,0),B(0,i,0),C(0,Aih/3,0,2),Bi(0,i,2),Ci(0,i,2).空间向量在立体几何中的应用直线的方向向量与平面的法向量直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.2.线面关系的判定直线li的方向向量为 面a的法向量为ni=(xi,如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于

7、平面%那么称向量n垂直于记作n,a.此时把向量n叫做平面a的法向量.ei=(ai,bi,ci),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平yi,zi),平面B的法向量为n2=(x2,y2,z2). 如果11如2,那么如果1112,那么ei / e2eie2若 li / a ,则 ei ni若 li，a ,ei / ni若 all &ni / n2若 a & 贝 nin2；e2= ；eia2=入 n, b2=入 i, c2=入 i.:ei e2=0aiq2+ bib2+cic2= 0.ei ni = 0aixi + biyi + cizi = 0.ei - kni ai = kxi、bi

8、 = kyi、ci = kzi. ni = kn2 xi= kx2： yi = ky2： zi = kzz. ni - n2 - 0 xix2 + yiy2+ ziz2 = 0.3.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角_.一冗范围：两条异面直线所成的角8的取值范围是Q_=2.小，贝有 cos 8 = |cos(b |.U,直线与平面所成的角向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b,其夹角为(2)直线与平面所成的角范围：直线和平面所成的角8的取值范围是0宗.向量求法：设直线l的方向向量为a,平面的法向量为为9,a与u的夹角为小，则有sin0=|cos(|)|(3)二面角二面角的取值范围

9、是0,冗.二面角的向量求法：(i)若AB、CD分别是二面角0-1-B的两个面内与棱1垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图).（ii）设m、n2分别是二面角洲-B的两个面a、0的法向量，则向量n1与n2的火角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小（如图）.题型1空间向量的基本运算例1已知空间三点 AC.（1）求a和b的夹角解：-. A（-2, 0,A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB,b9;(2)若向量ka+b与ka2b互相垂直，求k的值.2),B(1,1,2),C(-3,0,4),a=AB,b=AC,(1) .cos 於a b 1+

10、0+0|a|b也x木用（，a和b的夹角为arccos 磊0 .a=(1,1,0),b=(1,0,2).AB=&, AF = 1M是线段EF的中点.结NE.贝U N孝，孝，0A(0,也，0), ME(0, 0, 1), 啦啦 1. NE =2， 2，.-半,1.NE = AM 且 NE 与 AM 不共线NE/AM. 丁 NE1 平面 BDE ,AM ?平面BDE ,AM /平面 BDE.(2)由(1)知 AM =*，1，: D他,0, 0),F电,也 1), (2):ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k1,k,2),ka2b=(k+2,k,4),H(ka+b)(ka-2b),.(k

11、1,k,2)(k+2,k,4)=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0,解一5.得k=5或2.题型2空间中的平行与垂直例2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，求证：（1）AM/平面BDE;（2）AM，平面BDF.ACABD = N,连证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设DF=(0,啦，1),LDF.同理 AMLBF.又 DFABF=F, /. AM AMDF=0,平面BDF.题型3空间的角的计算例3（2013苏锡常镇二模）如图，圆锥的高PO=4,底面半径OB=2,D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EFXDE.（1）求异面直线E

12、F与BD所成角的余弦值；（2）求二面角F-OD-E的正弦值.解：（1）以。为原点，底面上过。点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的线为y轴，OP所在的线为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,2,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,1,2).设F(xo,yo,0)(xo0,yo0),且x2+y2=4,则EF=(xo,yo1,2),DE=(0,1,。)，EFIDE,即EFlDE,则EFDE=yo1=0,故yo=1.F(3,1,0),EF=(弧0,2),BD=(0,2,2).设异面直线EF与BD所成角为a,贝U COS a =EF BD4/14|EF|BD|V7X2V27Z1 = 0,

13、 /3x1 + y1 = 0.Q由(1)知DC,平面ABC ,Ttcos -1 :CD BF2a0 =|CD| |BF| aV2a= 4 ，2 sin 8 = 4 .n11OD,(2)设平面ODF的法向量为m=(x，y1，z)则一mlOF,令x1=1,得y1=一3,平面ODF的一个法向量为m=(1,-3,0).设平面DEF的法向量为n2=(x2,y2,z)同理可得平面DEF的一个法向量为=1,0,乎.设二面角F-OD-E的平面角为B,则18sB|=n；湍2=，7=乎.sin(3=；42(翻折问题)例4.(2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD中，已知/A=45,/C=90,/

14、ADC=105,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD，平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点.(1)求证：DC,平面ABC;(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3)求二面角BEFA的余弦值.解：(1)V平面ABDL平面BDC,又AB1BD,.AB，平面BDC,故ABLDC,又:/C=90,dDC1BC,BCiABC平面ABC,DC?平面ABC,故DC,平面ABC.(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD=a,贝UBD=AB=2a,BC=3a,AD=2/2a,可得B(0,0,0),D(2a,3V3t1V3f0,0

15、),A(0,0,2a),C2a,玄a,0,F(a,0,a),CD=2a,一看a,0，BF=(a,0,a).设BF与平面ABC所成的角为(3)由(2)知FEL平面ABC,又BEi平面ABC,AEi平面ABC,FE1BE,FEAE,11/AEB为二面角BEFA的平面角.在AEB中，AE=BE=AC=万1aB2+BC2=#a,cos/AEB=AE；bE二B=_1即所求二面角b-EF-A的余弦为2AE,BE/17.课后巩固练习：1.(2013江苏卷)如图所示，在直三棱柱AiBiCi-ABC中，ABLAC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)

16、求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C(0,2,4),所以a1b=(2,0,4),CD=(1,1,-4).a1B,C1D183/10因为COSA1B,C1D=r-r=de,所以开面直线|/7B|C1D|.120 xJ810A1B与C1D所成角的余弦值为噜.(2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z),因为AD=(1,1,0),Aci=(0,2,4),所以n1AD=0,n1Aci=0,即x+y=0且y+2z=0,取z=1

17、,得x=2,y=2,所以，m=(2,2,1)是平面ADCi的一个法向量.取平面AAiB的一个法向量为n2=(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为9.,n1n222V5由18so匚硒=3,彳Sin”拳5因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为二二D、E分别2.(2013新课标全国卷II)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中,2是AB、BBi的中点，AAi=AC=CB=j-AB.(1)证明：BCi/平面AiCD;(2)求二面角DAiCE的正弦值.(1)证明：连结ACi交AiC于点F,则F为ACi中点.又D是AB中点，连结DF,则BCi/DF.因为DF1平面A1

18、CD,BCi?平面AiCD,所以BCi/平面AiCD.(2)由AC=CB=gAB得ACLBC.以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),Ai(2,0,2),CD=(1,1,0),CEn CD = 0,则n - CA1 = 0,X1 + y1 = 0, 2x1+2z1=0.CE = 0, r 可取 m = (2, 1, -2). CA1=0.6 nm =苛.即二面角D-A1C-E的=(0,2,1),cAi=(2,0,2).设n=(X1,y1，z1)是平面A1CD的法向量,可取n=(1,1,-1).m同理，设m为

19、平面A1CE的法向量，则mnm.3从而cosn,m=|n|m|=5，故sinn正弦值为(6.(2013重庆)如图所示，四棱锥PABCD中，PAL底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,冗一，/ACB=/ACD=,F为PC的中点，AF1PB.(1)求PA的长；(2)求二面角B-AF-D的正弦值.解：(1)如图，连结BD交AC于O,因为BC=CD,即ABCD为等腰三角形，又AC平分/BCD,故AC，BD.以。为坐标原点，OB、OC、AP的方向分别为x轴、y轴、z,、，八一一九_.一轴的正万向，建立空间直角坐标系Oxyz,则OC=CDcosw=1,而AC=4,得AO=AC-OC=3.又OD=CDsi

20、n?=故A(0,-3,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(-如0,0).因为PA，底面ABCD,可设P(0,3,z),由F为PC边中点，得F0,1,1,z一一一一一一z2又AF=0,2,2,第=(切，3,-z),因AF1PB,故AFPB=0,即6z2=0,z=2V3(舍去2出)，所以|PA|=2小.(2)由(1)知AD=(V3,3,0),AB=(V3,3,0),AF=(0,2,V3).设平面FAD的法向量为m=(x1,y1,z1)，平面FAB的法向量为n2=(x2,y2,z2).由mAD=0,mAF=0,n2 AFy3xi+3yi=0,7得因此可取ni=(3,3/3,-2).由n2

21、-AB=0,2yi+Wzi=0,=0,V3x2+3y2=0,得厂故可取n2=(3,瓜2).从而向量ni,n2的夹角的余弦值2y2+g2=0,“寸nin21为cosni,n2=-.-=-.|ni|n2|8故二面角B-AF-D的正弦值为乎.8(2013连云港调研)在三棱锥SABC中，底面是边长为2/3的正三角形，点S在底面ABC上的射影。恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45角.(1)若D为侧棱SB上一点，当能为何值时，CDAB;DB(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小.解：以。点为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知/SBO=45,SO=(0,0,0),

22、C(0,y30),A(0,-3,0),S(0,0,3),B(3,0,0).(1)设BD=2BS(0一3x3z=0,n2 SC=0,则解得3y3z= 0,x = z, y=43z,取 n2= (1,_ 5X0+1 x 0+ 1X1 近/12+12+(V3)2 - 15._155 .又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为5.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2,底面是边长为1的正方形,E、F分别是棱B1B、DA的中点.(1)求二面角D1-AE-C的大小；(2)求证：直线BF/平面AD1E.(1)解：以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、V、z轴建立空间直角

23、坐标系如图.则相应点的坐标分别为Di(0,0,2),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,1,1),.EDi=(0,0,2)(1,1,1)=(1,1,1),AE=(1,1,1)-(1,0,0)=(0,1,1),aC=(0,1,0)(1,0,0)=(1,1,0).设平面AED1、平面AEC的法向量分别为m=(a,b,1),n=(c,d,1).EDm=0,-a-b+1=0,a=2,ACn=0,由TT由AE-m=0b+1=0b=T,AE-n=0一c+d=0,c=1,TTd+1=0d=T,m-n2+1+1.m=(2,1,1),n=(1,-1,1),conn=my=mXy3:0,二面角DiAEC的

24、大小为90.(2)证明：取DDi的中点G,连结GB、GF.亦.E、F分别是棱BBi、AD的中点，.GF/AD1,BE/DiG且BE=DiG,二.四边形BEDiG为平行四边形，.DiE/BG.又DiE、DiAi平面ADiE,BG、GF平面ADiE,BG/平面ADiE,GF/平面ADiE.GF、GBi平面BGF,.平面BGF/平面ADiE.VBF平面ADiE,.直线BF/平面ADiE.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF/平面ADiE,可)(2013苏州调研)三棱柱ABCA1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,人科=是BC的中点.(1)求直线DBi与平面A

25、1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值.n A1D = x+ 2y 3z= 0, n 管1解：(1)由题意，A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),Ai(0,0,3),Bi(2,0,3),Ci(0,4,3).A?D=(1,2,3),Aci=(0,4,0).=4y = 0. x=3z,设平面AiCiD的一个法向量为n=(x,y,z).丫=0.令2=1,得x=(3,0,1).设直线DB1与平面AiCiD所成角为9,DB1 = (1, 2, 3),sinB=|cos 3X1+0X(2)+1X3,10X.1433535(2)设平面A1B1D的一

26、个法向量为 m = (a, AlBi=(2, 0, 0), V m - AuD = ai+ 2b- 3c=0 a= 0, 2b= 3c.令 c=2,得 b=(0, 3, 2).设二面角BiAiDCi的大小为a,b, c).m - ATBi = 2a= 0,|cosa |= cos|m, n | =|m n| |0X 3 + 3X0+2xl| 乖|m| m|D则 sin a = ；65345565.二面角BiAiDCi的正弦值为36555.(2013南通二模)如图，在三棱柱ABCAiBiCi中，AiB,平面ABC,ABAC,且AB=AC=AiB=2.(i)求棱AAi与BC所成的角的大小；(2)在

27、棱BiCi上确定一点P,使二面角PABAi的平面角的余弦值为川八5.解：(i)如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C(2,0,0),B(0,0),Ai(0,2,2),Bi(0,4,2),aAi=(0,2,2),BC=B7Ci=(2,2,0).cos一一AAiBC-4i.冗AAi,BC=Y丁=一2，故AAi与梭BC所成的角是3.(2)P为棱BiCi中点，设B7P=汨7Ci=(2入，2K0),则P(2A4-2A2).4-2A, 2),设平面PAB的法向量为ni=(x,y,z),AP=(2%一人耳0.niAP=0,入叶2y-入叶z=0,niAB=0.2y=0.故ni=(i,0,一N,=255,解得

28、人=i,即P为棱BiCi中点，其坐标为P(i,3,2).而平面ABA i的法向量是n2=(i, 0, 0),则cos nini n2 n2)=|ni| |n2ii+ %近六年高考题i.120i0高考北京理第i6题】(i4分)如图，正方形ABC刖四边形ACE所在的平面互相垂直，CEAQEF/AQAB=2,CE=EF=i.(i)求证：AF/平面BDE(2)求证：C4平面BDE求二面角A-BE-D的大小.，、，一，1，一，(II)【答案】设AC与BD交与点Go因为EF所以四边形AGEF为平行四边形.所以AFEG2AC,所以CE 平面ABCD.因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且C

29、E如图,以C为原点，建立空间直角坐标系 C-xyz.则C(0, 0,B (0,0).uur CFuuu _BE (0, 、.2,1)UUIT.DE (、2,0,1)uur uuuCFgBEuuur uuur1 0,CFgDE所以CFBE,CFDE .所以CFBDE.uur(III)由(II)知，CF(Y2,，2 )是平面bde的一个法向量22.设平面ABE的法向量n (x, y,z) ,uuu0, ngBE0.(x,y,z)g 2,0,0)(x,y,z)a。,2,1) 00所以x 0,且 z J2y,令 y 1,则 z J2 .所以 n (0,1,J2).unn从而 cos n,CFuuu n

30、gCF uuu- |n|CF|.3_ ，一 o因为二面角A BE D为锐角，所以二面角A BE D2的大小为一.62.12011高考北京理第16题】(共14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 平面 ABCD 底面 ABODES形，AB= 2 ,BAD= 60 .(D求证：BD 平面PAC若PA= PB ,求PB与ACf成角的余弦值； 当平面PBCt平面PDO直时，求PA勺长.3.12012高考北京理第16题】(本小题共14分)如图 1,在 RtAABC 中，/C=90 , BC=3, AC=6 , D, E 分别是 AC, AB 上的点, 且 DE / BC, DE=2, ADE 沿 D

31、E 折起到 A1DE 的位置，使 A1CLCD,如图 2. (I)求证：A1C，平面 BCDE ;(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由uuur rCM n cos-uuurr|CM|n|1 4 3 1 3 22,2CM与平面ABE所成角白大小45。4.12013高考北京理第17题】(本小题共14分)如图，在三棱柱ABO ABC中，AACC是边长为4的正方形.平面ABCL平面AACC,A五3,BG=5,(1)求证：AA，平面ABC(2)求二面角A1BCB的余弦值;(3)证明：在线段BC上存在点D,使得ADLAB,并求里的化BG【答案】解：(1)因为AAGC为正方形，所以AA1XAC因为平面AB(X平面AAGC,且AA垂直于这两个平面的交线AC所以AA，平面ABC(2)由知AAACAAAB由题知AB=3,