电磁场于电磁波指导书

1、第五章恒定磁场重点和难点该章重点及处理方法与静电场类似。但是磁感应强度 的定义需要 详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间 没有能量交换，电流元受 到的磁场力垂直于电流的流动 方向。说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于 1,而 且大多数媒 质的磁刀率接近1。讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。例如，静电场是无散场， 而恒定磁场是无旋场。在任何边界上电场 强度的切向分量是连续的， 而磁感应强度的法向分量是 连续的。重要公式F = q v BF = Idl BT = m B根据运动电荷受力根据电流元受力：根据电流环受力：真空中恒定磁场方程：积分形式：If? dl % I : B? dS = 0

2、微分形式：、B= 0J7 B =0已知电流分布求解电场强度：J(r)，1，A r) ofvB(r尸些J(川)dV毕奥萨伐定律4 兀 r -r*B .dl=.fl安培环路定律。Js(r )、sr r IA(r)=dS面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为Js (r ) (r-r s r-r3dSA(r Vldl_B(r) 41dl ()r-r4 二1r-r、2A二-aJ矢量磁位满足的微分方程：线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为无源区中标量磁位满足的微分方程：媒质中恒定磁场方程:积分形式：H, dl = IFB S = 0微分形式：H = J磁性能均匀线性各向同性的媒质场方程积分形式：-B?

3、dl 1 I - H dS = 0IB矢量磁位微分方程：矢量磁位微分方程的解场方程微分形式：= JA(r)=0产斗1V、BJ H -0恒定磁场边界条件1, Et =H2t。对于各向同性的线性媒质，Bit _ B2tKF一 J 2, Bm = B2n的线.媒质,n H1 n 1n2n对于各向同性5-1在均匀线性各向同性的非磁性与电媒质（即-中，当存在恒定电流时，试证磁感应强度应满足拉普拉0 0证在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由B - -0H 及 H 二 J,得B = % J对等式两边同时取旋度，得： E _ I oJ）斯方程，即2B二但是I J =0 ,考虑到恒等式 一一mA 2 A,得

4、可（可 B ） V AB= 0又知8二0,由上式求得、，B=05-2设两个半径相等的同轴电流环沿 x轴放置，如习题 试证在中点P处，磁感应强度沿x轴的变化率等于零d2 Bd 2dx2 =0图5-2所示即dx习题图5-2解 设电流环的半径为a,为了求解方便，将原题中坐标轴x换为坐标轴z,如图示。那么，中点P的坐标为（z,0, 0）,电流环位于-M处，电流环位于Z+i处。I 2 JI 2 JBir -r4”?3根据毕奥一沙伐定律，求得电流环在P点产生的磁感 应强度为(r y I dh = eAlad?)0exB ,y 听 0L- exH,y A0y*d XdH ,y 02y令y 0的区域中磁场强度

5、为H2,那么，在y =0的边界上，ey H 2 - Hi = J s1由此求得H7s0,因此2s0-exs0exBi吐 cos n4 二 r习题图5-12冗pDS /)1 12 :时，中心B值多大？ 解如习题 图5-12所示，载流线圈每边在中心0 处产生的磁感应强度为5-13若表面电流J s位于x二X)平面内，试证、B = ? %J (x-x)式中：(X - X )为在X ?处取极值的一维：函数 解 由安培环路定理得 知，B dI因I = J d S,再利用斯托克斯定理得由3函数的定义可知，一维(x x)函数的量纲为长度的倒数。因此，Js、： x_x,为体电流密度，即I = J d S = J

6、 s6(x-x)d Ss- B d S - %J S x-x , d S(恁B - % J s6(x xj)d S = 0上式对于任何表面都成立，因此被积函数为零，即B 二 J s x x5-14若位于圆柱坐标系中(ro, o)处的无限长线电流的、(r (-)、？ B=e zj ol ro电流为I ,方向与正Z轴一致，试证磁感应强度为解 由3函数的定义可知，00为二维3函数在ro圆柱坐标系中的表示，其量纲为面积的倒数。因此，ezi。-为位于r。,。处的z方向的电流密度。RH么由安培环路定律得知,-BAd = %1，即z oS再利用斯托克斯定理，? B d =评汉B)d S，求得r-B-e打一沙

7、八。0上式对于任何表面均成立，因此被积函数为零，即 z) 2a -习题图5-15戈提示：利用函数:在r处的奇点特性)。? r -r。-014_ ar45-15若无限长的半径为a的圆柱体中电流密度分布函 数j =ez(r1 24r), r dV% fJ(rF24a33求得5-16证明矢量磁位A满足的方程式i 2A -0j的解为已知=Ad (l r )r 一 r 1因此 2 A 二一v J r L 仁 r L 0 J rBx5-17已知空间y0区域为磁性媒质，其相对磁刀率-5000, y 0区域为空气。试求：当空气中的磁感应强度Bo =3x0.5 一 e y10)mT时，磁性媒质中的磁感应强度B

8、;当磁性媒质中的磁感应强度 B=10 - e yO.5)mT时，空气中的磁感应强度Bo。解根据题意，建立的直角坐 标如图5-17所示。 设磁性媒质中的磁感应B =exBx eyBy习题图5-17强度为已知在此边界上磁感因此By -10)8=055000% 9求得-102500, 应强度的法向分量连续，磁场强度的切向分量连续Bo = (ex0.002 ey0.5)mT5-18已知均匀绕制的长螺线管的匝数为N，长度为L ,半径为a,电流为I,如习题图5-18(a)所示。试求：螺线管内部中点o处的磁感应强度；LB 二 ez %INa2为了计算螺线管外的场强，可将螺线管看作为由N个同轴电流环组螺线管外

9、部P点的磁感应强度，图中d . . L,d . ? a4 z a习题图5-18习题图5-18(b)解 线线管可看作是线密度为一的圆柱面电流，如图 L习题图5-18(b)所示。由题5-9的结果得知，电流为 一dz i L J d的电流环在中点o处产生的磁感应强度为%INa2L a2 y23dz 二 ez 4 :利用高斯定理，同时考虑到J =0,求得 dz成。已知在xoy平面内，单个电流环I 在P r f |点产生的矢量磁位为I 22 J考虑到式中 r =牛 +a2 2ra s b fco S* , di = eAad?。_L_L 1 +R LI 芦%la 2A 口二 e k71ra ,那么因此a

10、sin j cos cos de斗丁4rA la2歹 er 2cosve 寸 sin vTT当电流环位于xoy平面时，=:,产=d,那么，在叩玮1处产生的磁感应强度为% la24d3考虑到d? .L,对于P点而言，可以认为每个电流 环均处于xoy平面内。因此，P点磁感应强度增加N倍，即%Nla2B = N B p = e 3-4d5-19 根据式（5-2-9 b）,证明 7 A = 0 o式（5-2-9 b）为4|r r dV4vJ rvjm1!J dV厂 Jr-d S但由电流连续性原理获知，耳铝d S= 0o因此，、A = 0 o5-20证明在边界上矢量磁位 A的切向分量是连续的 解已知磁通

11、G m与矢量磁位A的关系为类似证明磁场强度的切向分量是连续的方法，紧靠边界 作一个闭合矩 形方框。当方框面积趋近零时，穿过方框 的磁通门m也为零，那么求 得A dl = 0这样，由此获知入二A2t,即边界上矢量磁位A的切向分 量是连续的。5-21当磁导率为的磁棒插入电流为I的螺线管中，若单位长螺线管 的匝数为N,磁棒的半径为a,螺线管的内径为b(b a)。试求：r二 a及a :二r :二b区域中的磁感应强度B,磁场强度H及磁化强度P m ;磁棒中的磁化电流解根据题意，2b 2aBC螺线管中磁棒习题图5-22位置密度J及磁棒表面的表面磁化电流密度 Js于螺线管内壁，其长度为I。沿该矩形闭合回路积

12、分，由安培环路定律知;H dl 二 INI可以认为，螺线管中的磁场强度方向均与螺线管的轴线 平行，螺线管 外附近无漏磁。那么当矩形回路的 BC边 位于磁棒内时，若令磁棒内 的磁场强度为Hi,则上述闭合积分变为BC H id l 工 I NI 二 H J= ezIN因此，磁棒内的磁场强度为t：b=ezIN磁棒内的磁感应强度为Bj =：e/INRm =早一 H i 二 ez -1IN1 n磁棒内的磁化强度为若令磁棒与螺线管壁之间的磁场强度为H2,则上述闭合积分变为BC H 2 d l 工 INI 二 H 2 工 ezIN磁棒与螺线管壁之间的磁感应强度为B2 二 ez%IN磁棒与螺线管壁之间磁化强度

13、为c E0 2IJ1 1 0 . 11kleP - H - oIN =0u1 u磁棒中的磁化电流密度为J Rm 八-1)INez=0磁棒侧面的表面磁化电流密度为Js 二 Pim en 二 ez -1 IN eA eJ T IN5-22已知半径为a的铁氧体球内部的磁化强度Pm = ezPom,试求：球内磁化电流密度 J 及球面的表面磁化电流密度Js ；磁化电流在球心处产生的磁感应强度B。解球内磁化电流密度为J = Pm 八ezFOm =0球面的表面磁化电流密度为Js = P m en = ez Fom= er cost - e_, sin Fom二 e F0m sin :由题5-9的结果获知，位

14、于r处宽度为ad,的环行电 流Jsadr在球心产生的磁感应强度d B2lPJ I 2a3a(asin 日)d H 2a d B =e z那么，整个球面上磁化电流在球心产生的磁感应强度为UG工寄)235-23当磁矩为25Am 2的磁针位于磁感应强度B = 2T的均匀磁场中，试求磁针承受的最大转矩。TT解当磁矩方向与磁感应强度方向垂直，即夹角-时，磁针承受的转矩最大，因此磁针承受的最大转矩为mHTmax = Pm Bsin25 2 1 =50Nm2325-24已知体积为1m的均匀磁化棒的磁矩为10Am ,若棒内磁感应强度B二ez0.02T, ez为轴线方向。试求棒内磁场强度 解由磁化强度定义，求得棒内磁化强度为那么，棒内磁场强度为B0.02M弋 3尺 10 -10 A ez1.59 104 A/m05-25已知位于坐标原点的磁化球的半径为a,若球内的 磁化强度M二ez(Az2 B),式中A, B均为常数，试求球内及球面上的磁化电流解球内的磁化电流密度为jy= T 泊 ez Az2 B i=0因此，球内的磁化电流为零。球面上的表面磁化电流密度为J s = M en - A a cosn 2 +B(er cos 日- 岂 sin 日严 er二 e Aa2