第14讲线段之截长补短Ⅱ学生

1、第十三讲.线段之截长补短n【教学目标】.学习基本的几何证明思路，并能寻找已知与求证之间的关系；.培养观察能力，并能从动态图形中寻找线段间的和差关系；.学习“截长”或“补短”的方法来进行求解线段之间的关系，并能进行简单的应用；.培养处理动态几何的思维能力。【知识、方法梳理】：.截长补短解题法简介有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类 题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最 长的那条线段一分为二， 使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长

2、至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后,使之构成某种特定的三角形进行求解。.几种截长补短解题法类型.我们大致可把截长补短分为下面几种类型：类型a b c 类型a b kc对于类型，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型证明。对于，可以将 a b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30o的直角三角形等。.截长法：(1)过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 3.补短法(1)延长短边。(2)通过旋转等方式使两短边拼合

3、到一起。【典例精讲】例1.如图示，在ABC中,B 60,BAC、BCA的角平分线 AD、 CE相交于O。求证：ACAE CD。例2.如图,ABC 中，ABA 100o, BD 平分 ABC。求证：BC AD BD例3.已知 MAN , AC平分 MAN .(1)在图 1 中，若 MAN 120 , ABC ADC 90 .求证：AB AD AC .(2)图2中，若 MAN 120 , ABC ADC 180，则(1)中的结论是否仍然成立?例4.在 ABC中,ACB 90, AC BC ,直线 MN 经过点 C ,且 AD MN 于 D ,BE MN 于 E。(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位

4、置时，求证： DE AD BE(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证： DE AD BE(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系。DE AD BE例5.如图，已知在 ABC内,00CpBAC 60 , C 40,点 P、Q 分别在 BC、CA 上,并且AP、BQ分别是 BAC、 ABC的角平分线。求证： BQ AQ AB BP例6.如图示，在 ABC中，BC边的垂直平分线 DF交 BAC的外角平分线 AD于点D ,F为垂足，DE AB于E,并且AB AC。求证：BE AC AE。例 7.如图， ABC 中， BAC 90O

5、, AC 2AB, BO 为中线，AD 为高，OG AC,OE OB,点E在BC边上。求证：BC CE FG。A例8.已知在 ABC中， ABC 45 ,高AD所在的直线与高BE所在的直线交于点点F作FG / BC ,交直线AB于点G ,联结CF。(1)当 ABC是锐角三角形时(如图 1所示)，求证： AD FG CD ;(2)当 BAC是钝角时(如图2所示)，写出线段AD、CD、FG三者之间的数量关系，不必写出证明过程，直接写结论；当BE FE, BD 4时，求FG的长。【双基训练】.如图，AB AE, AB求证：DE 2AM。AE, AD AC , AD AC ,点 M 为 BC 的中点。

6、.如图，ABC中，CACB, CAB CBA 45O, CD 平分 ACB 交 AB 于 D,点E为BC的中点，CNAE 交 AB于 N, AE 交 CD 于 M。.求证：AE CN EN。【纵向应用】3.以Rt ABC两直角边AC , BC为边向形外作正方形 ACDE和BCFG ,分别过E , G作斜边AB所在直线的垂线段 EEi, GGi。证明：AB EE1 GG1。A04.已知，如图， 12, P为BN上一点，且PD BC于点D, AB BC 2BD。求证： BAP BCP 180o。B【横向拓展】.已知： ABC中，两条高 AD和BE相交于H ,两条边 垂足是 M , N。求证：AH

7、2MO , BH 2NO。.已知： ABC中，ABACBC,点D在BC上，点 BD BE AC, ADE的外接圆和 ABC的外接圆交于AND CBC和AC的中垂线相交于O,ABD ME在BA的延长线上，且点F 。求证：BF AF FCE练习题答案.【证明：延长 AM至点N ,使MN AM ,则四边形 CAN ANB又EAD BAC 180ABN BAN ANB 180 ABNBANCAN 180ABN BAC 180 ABNEAD又.BN AC AD , BA AE BNACW ADENA DE. DE 2 AMABNC是平行四边形。工OMc-、/2.【证明】：设 CD与AE相交于点M由题可知

8、 ABC为等腰直角三角形。.CN AE, CABCCAEACDB 45, CA CB. CAM 0CN AMCBN,CMBN又. CE EB,DCE B45CEF0 EBN. EN EF AF EF CN【纵向应用】EN ,即 AE CN EN3.【提示】过点C作CH垂直AB,垂足为点H。则可得 AEEm CAH，所以EE1 AH ,同理可得GG1 HB。4.【分析】：证两个角白W口是 180,可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP EAP ,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。【证明】：过点P作PE垂直BA的延长线于点 E,如图112,且 PD BC, PE PDE图1DCPE

9、 PDBP BPBE BDBEBE AB AEPE PDPEA PDCAE DCPAE PCD.BAP BCP 1800在 Rt BPE 与 Rt BPD 中,Rt BPE Rt BPD , . AB BC 2BD AB BD DC BDAB DC BE 即 DC在 Rt APE 与 Rt CPD 中,Rt APE Rt CPD ,又 BAP PAE 1800,【横向拓展】.【提示】CO到G使OG CO连结证明一：（加倍法一一作出 OM , ON的2倍）连结并延长AG, BG。则 BG/OM, BG 2MO , AG/ ON, AG 2NO。因为四边形 AGBH是平行四边形，所以 AH BG 2MO, BH AG 2NO。证明二：（折半法一一作出 AH , BH的一半）分别取 AH , BH的中