结构力学力法的计算（122页）

1、第七章 力 法7-1 超静定结构的组成和超静定次数的确定7-2 力法的基本原理7-3 采用力法解超静定结构举例7-4 力法的简化计算7-5 温度变化及有弹性支座时结构的计算7-6 超静定结构的位移计算及力法计算的校核 第二篇 超静定结构11. 从几何构造分析的角度来看，超静定结构是具有多余约束的几何不变体系。7-1 超静定结构的组成和超静定次数的确定一. 超静定结构的组成 2. 从静力学的角度来看，若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一地确定，还要补充位移协调条件。超静定结构具有如下特征：2 如下图所示的单跨静定梁，若只满足平衡条件，支座 B 处的竖向反力可以是任

2、意值。 若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多组解答。 ABEI , l3二. 结构的超静定次数的确定结构的超静定次数n = 结构中多余约束的数目n 通常使用的方法是拆除多余约束法 (或切断多余联系法），即将原结构变成为静定结构所必须拆除（或切断）的多余约束（或联系）的总数目n。1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；为了确定结构的超静定次数n：一般规则为：2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；43）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件，相当 于去掉三个约束；举例说明：n = 2n = 2多跨静定梁单跨悬臂梁4）将梁式杆上的一个刚结点改为一个简单铰结点，相当于去掉一个约束

3、。a)原结构b)5n=2n=2n=2b)原结构静定多跨梁简支刚架悬臂刚架6n=2d)原结构n=3c)原结构内部超静定7n=3 不能把原结构拆成几何可变体系。此外，要把超静定结构的多余约束全部拆除完。f)原结构n=1e)原结构897-2 力法的基本原理 求解任何一个超静定结构，除应满足平衡条件外，还必须满足位移协调条件。一. 一次超静定结构的力法计算1. 力法的基本体系和基本未知量 如下图示单跨超静定梁，去掉支座B的链杆，用相应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构。EIFPABl/2l/210+AB基本结构FPAB基本体系AB11EIFP

4、（BV=0）ABl/2l/2原结构1PFPABAB112. 力法方程力法方程为:基本结构的位移=原结构的位移原结构B截面竖向位移因为:所以力法方程可写为:12讨论：3）系数及自由项的物理意义： 基本结构在FP 作用下沿X1方向的位移。1）力法方程的实质是位移协调方程。2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位移。 基本结构在 作用下沿X1方向的位移。133. 力法计算lABl/2图BFPAMP 图1) 求系数及自由项:143) 作内力图:2) 求未知力X1 :FS 图ABAM 图B15思考题:EIFPABl/2l/2（ =0）基本体系基本

5、结构BEIFPAl/2l/2（ = 0）原结构如何计算?AB16二. 多次超静定结构的力法计算原结构基本体系FP 下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力 分别作用下的位移图。ABCDABCDX1X3X2BH = 0,BV = 0,B = 0。FPBH = 0,BV = 0,B = 0。17ABCD21113122ABCD1232ABCD2313332PABCD1P3PFP18力法方程为: 根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的物理意义。主系数：11，22，33 恒大于零,永远为正值。副系数：ij ( ij ) 可能大于，等于或小于零。 i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。19

6、 由位移互等定理：ij= ji，即12= 21，23= 32， 31= 13。 作 图及 MP 图，求出力法方程的系数和自由项，解方程求出力法未知量 ，然后根据下式求最后内力为：20 对于任意一个n次超静定结构，已知n个位移条件时，其力法的一般（典型）方程为:这是一个关于基本未知量 的n元一次的线性方程组。 解此线性方程组，可求得n次超静定结构的基本未知量 （ ）。21写成矩阵形式为:即:上三角下三角主对角线:主系数(位移) ,正值。副系数(位移) ，任意值。自由项:任意值。22三. 超静定结构在支座移动时的力法计算 超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解力法的解题思路很有帮助。与静定结构不

7、同，超静定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形，而且有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动时力法的解题思路。原结构（受X1及支座转角共同作用）（只有X1作用，支座转角 对杆端A无影响）ABEI lB基本体系IIX1AEI lX1ABEI l基本体系I23（受 X1 及支座转角共同作用）解：1）选两种不同的基本体系进行求解,如下图示:2）力法的典型方程:位移条件:力法方程:（只有 X1 作用，支座转角 对杆端A无影响）B基本体系 IIX1AEI lABEI l基本体系 IX1243）求系数和自由项:4）求未知力X1 :AB图lAB图125?5）作内力图: 在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如

8、下图示，则力法方程成为：ABAB 图ABM 图26小结：2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。为基本体系的支座位移。为基本体系由 产生的支座反力；1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可能保留有支座移动，也可能没有支座移动。应当尽量取无支座移动的基本体系。27例7-2-1 写出图示刚架的在支座发生移动时的力法方程,并求出方程中的自由项iC。解:1）分别取两种不同的基本体系如下图示:原结构ACEI lEI l28基本体系 I基本体系 II2）建立力法的典型方程:讨论力法的典型方程的系数及自由项的物

9、理意义。CH = 0；CV = 0。baCABX1X2bA = 。CABX1X2293）求系数和自由项:本例主要讨论自由项的求法，其余计算略去。基本体系 IlBCl10图AlBCl01图lAl30基本体系 IIABC1图llABC图111317-3 采用力法求解超静定结构举例一. 多跨连续梁lllABCDEIEIEI原结构 , 。例7-3-1 试求图示多跨连续梁的在均布荷载作用下的内力, 并作 M 图和 图。32ABCD基本体系: 静定的多跨连续梁X2 采用力法求解连续梁的内力，选取的基本体系时最好是将杆件在中间支座处的刚结点改变为铰结点，如下图所示。解:?1. 确定多跨连续梁结构的超静定次数

10、,选取基本体系:容易确定此结构的超静定次数为 2 次。X133原结构的位移连续条件为:ABCD 铰 B 左右截面相对转角等于零。 铰 C 左右截面相对转角等于零。2111222P =0ABCDABCD1P12342. 力法的典型方程为: 方程各系数示于上页图中。讨论方程和系数的物理意义。3. 求方程中的系数和自由项:(i )作 图， 图及 MP 图见下页图示。下述弯矩图具有一个共同特征：弯矩图的局部化。35ABCD1图ABCD1图(ii)计算系数和自由项:ABCDMP 图364.求解基本未知量:解方程得：5. 作多跨连续梁的最后内力图:1) 根据下式求各截面的最后M 值，然后画最后M 图。将系

11、数和自由项代入力法方程：37FSABFSBAABlAB杆：2) 根据M 图求各杆剪力，并画 图。M 图ABCD38BCFSBCFSCBl很容易求得CD杆剪力为:BC杆：FS 图ABCD39二. 超静定刚架例7-3-1 求作图示超静定刚架的M图。ABCE1I1 lE2I2 l原结构X2基本体系X1CAB1. 确定此刚架结构的超静定次数,选取基本体系:解: 容易确定此结构的超静定次数为2次。选取基本体系如上图所示。402. 力法的典型方程为：3. 求方程中的系数和自由项:(i) 作 图、 图及 MP 图见下页图示。(ii) 采用图乘法计算系数和自由项:41ABC11 图E1I1 lE2I2 lAB

12、C1E1I1 lE2I2 l 图ABCMP 图42ABC11图E1I1 lE2I2 lABC1E1I1 lE2I2 l图43将求得的系数代入力法方程就得到：解方程得：4. 求解基本未知量:44刚架的弯矩图为：可见，柱AB相当于在横梁BC的B端提供了固定约束。5. 作刚架的最后内力图:讨论：1）当 ，即 E1I1 很小或 E2I2 很大，则：M 图ABCCB452）当 k = 1 ，即 E1I1 = E2I2 ，则刚架的弯矩图如图a)所示。3）当 ，即 E1I1 很大或 E2I2 很小。由于柱AB的抗弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当于简支梁，其 M 图如图b)所示。ABCa) M 图

13、ABCb) M 图46 在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆抗弯刚度 EI 的比值 k 有关，而与杆件抗弯刚度 EI 的绝对值无关。 结论： 如果荷载不变，调整杆件间的抗弯刚度 的比值 k ，结构的内力可以进行重新分配。47三.超静定桁架 以下图示超静定桁架为例,讨论两种基本体系的处理方法。除注明者外，其余各杆刚度为EA。原结构E1A1FPaa经判定为一次超静定桁架.48基本体系I：力法的典型方程为： 力法方程的物理意义是： 基本结构在荷载和多余未知力 X1的共同作用下，杆件AB切口处左右两侧截面的相对水平位移等于零。基本结构中包括杆件AB。X1X1切断杆件AB基本体系IFPABX1aa49

14、基本体系II：力法的典型方程为： 力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和多余未知力X1的共同作用下，结点A，B的相对水平位移等于杆件AB的伸长，但符号相反。基本结构中不包括杆件AB。X1X1去除杆件ABAB基本体系IIX1FPaa50例7-3-2 求上图示超静定桁架中各个杆件的轴力，其中各杆EA相同。解:1. 确定此桁架结构的超静定次数,选取基本体系:FPABX1aa 经判定此结构为 1次超静定桁架。切断杆件AB，选取基本体系I。基本体系I512. 力法的典型方程为：3. 求方程中的系数和自由项:(i) 求得各杆 及FNP 标于图中。 ABaa1111图ABFPaaFPFP000FNP 图52

15、(ii) 计算系数和自由项:4. 求解基本未知量:53FN 图5. 采用叠加法,求桁架中各个杆件的轴力 ：54四.排架:单层工业厂房结构的计算简图.E1I1E2I2E1I1E2I2EA 单层单跨工业厂房此时可以忽略链杆的轴向变形的影响.55例7-3-3 求作图示排架的M图。原结构EIEIEA EIEA 6m2m 排架结构在求解时，通常切断链杆得到力法的基本结构。这样，MP 图和 图局部化，求解力法方程的系数比较简单。单层双跨排架5kN/m56解 ：2. 力法的典型方程为: 方程的物理意义：横梁切口处左右截面的相对水平位移等于零。基本体系5kN/m1. 确定此桁架结构的超静定次数,选取基本体系:

16、 经判定此结构为二次超静定排架。切断两根链杆，选取基本体系如图。573. 求方程中的系数和自由项:(i) 作 图, 图及 MP 图，如下图所示。66 图2图28858(ii) 采用图乘法，计算系数和自由项:5kN/mMP 图5966 图28图28605. 作最后弯矩图M 图:M 图 (kN m)4. 求解基本未知量:1.475m45.7525.584.675.4418.6761五.单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图1) 一端固定,一端铰支的梁:AB图1ABAM 图 FS 图ABAAEI lAB62ABEI, l2) 一端固定,一端铰支的梁:M 图ABFS 图ABAB图l63ABX1X23) 两端

17、固定的梁:ABEI, lAAB1 图AB1图64ABEI, lAABM 图1AEIXlq=（ ）4) 一端固定,一端定向滑支的梁: FS 图AB 图AB11ABM 图65ABEI, lABX1X25) 两端固定的梁:ABl图AB1图66依据3)，很容易得到右图示内力图。6) 两端固定的梁: ABEI, lBABM图FS图BAABM 图 FS 图AB677-4 力法的简化计算一.力法简化计算的思路 若结构的超静定次数为n，则在荷载作用下的力法的典型方程为：68写成矩阵形式为:即:上三角下三角主对角线:主系数(位移) ,正值。副系数(位移) ，任意值。自由项:任意值。69 上述力法的典型方程中，主

18、系数ij （ i = j）恒大于零，副系数ij（ i j）则可能大于零,等于零或小于零，即可取任意值。 若能使全部副系数ij 等于零，则方程组解耦，力法的典型方程变为： 即便不能使全部副系数等于零，若能使大部分副系数等于零，则力法计算也将大大简化。所以，力法简化计算的目的：使尽可能多的副系数等于零。70二.非对称结构的简化计算 对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 图及 MP 图局部化，以简化方程系数的计算。所以，取基本体系时应考虑这一因素。选取多跨静定梁为基本结构ADCBBCDX2X3X1A超静定多跨连续梁71选取悬臂梁为基本体系选取悬臂刚架为基本体系X2X1EA EA 72三.对称结构的简

19、化计算 对称结构：结构的几何形状,支承条件,杆件的材料性质及杆件的刚度均关于某个轴对称就称为对称结构。用力法解对称结构，应取对称的基本结构，只有这样才能简化计算。1. 对称结构在对称荷载作用下:al/2aFPFPl/2EI1 hEI1 h原结构EI2FPFP基本体系FP aFPFP(对称）FP aMP 图73X1，X2对称的未知力X3反对称的未知力根据 ，MP 图的对称性或反对称性可知：于是，原力法方程变为：（对称）11图（对称）hh图l/2（反对称）l/2图74结论：对称结构在对称荷载作用下，其反对称的未知力为零，只有对称的未知力。2. 对称结构在反对称荷载作用下:al/2aFPFPl/2E

20、I1 hEI1 h原结构EI2FPFP（反对称）FP aFP aMP 图FPFP基本体系75根据 ，MP 图的对称性或反对称性可知：于是，原力法方程变为：l/2（对称）11图（对称）hh图（反对称）l/2图76 对于前两个方程所组成的方程组，因其右端项为零，且系数行列式的值通常不等于零，即:结论：对称结构在反对称荷载作用下，其对称未知力为零，只有反对称未知力。于是，方程组只有零解：X1= 0，X2= 0。773. 奇数跨或偶数跨对称结构的处理 若对称结构是奇数跨，则存在与对称轴相交之截面。切开该截面，则未知力分为两组：对称未知力和反对称未知力。若荷载对称或反对称，则按前述方法处理。X1, X2

21、为对称未知力; X3为反对称未知力。78 若对称结构是偶数跨，则不存在与对称轴相交之截面，此时应根据荷载情况分别处理：1）对称荷载:对称结构在该对称荷载作用下，其内力和位移均对称。FPFPFP原结构FP基本体系79 2）反对称荷载:对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移均反对称。FPFP原结构FP基本体系FP804. 非对称荷载的处理 对称结构通常作用有非对称荷载，处理方法为：1）非对称荷载:分解为对称荷载和反对称荷载分别计算，然后叠加两种情况的结果。aaEI1EI1对称荷载aaFP/2FP /2EI1EI1反对称荷载EI2al/2FPl/2EI1EI1原结构FP/2FP /2=+EI2EI

22、2812）非对称荷载:荷载不分解，只取对称基本体系。al/2FPl/2EI1 hEI1 h原结构FP基本体系FPFpaMP图EI2对称82根据 ，MP图的对称性或反对称性可知：于是，原力法方程变为：l/2（对称）11图（对称）hh图（反对称）l/2图835. 组合未知力（广义未知力）结合下图示刚架进行说明。EI1原结构EI2EI1hl/2l/2EI1基本体系EI2EI1X1X2X1X284力法方程为：X1=1lMP图X1=1(对称)图X2=12lX2=1ll图(反对称)85 在上题中，X1 实质上是对称结构在对称荷载作用下产生的未知力，而 X2 则是反对称荷载产生的未知力。EI1对称荷载EI2

23、EI1l/2l/2X1X1q/2EI1反对称荷载EI2EI1l/2l/2X2X2q/2q/286四. 举例例7-4-1 如右图所示刚架结构，讨论用力法简化计算。 利用对称性:将荷载分解为对称荷载和反对称荷载。在对称结点荷载作用下，由于不考虑杆件的轴向变形，其M 等于零。在反对称结点荷载作用下，只有一个未知量 X1。原结构FPEIEIEIEI2EI2EI单跨双层刚架直接求解:超静定次数?解：87FP/2EIEI对称荷载EIEI2EI2EIFP/2ABFN = - FP/2EIEI反对称荷载EIEI2EI2EIFP/2FP/2+X2= 0X1= 0X4 0X3= 0FP/2FP/288 将荷载分为

24、两组：第一组荷载关于x和y 轴都对称，见图b)。第二组荷载关于y 轴对称，关于x 轴反对称，见下页图c)。例7-4-2 如图所示对称结构，各杆EI相同，讨论力法的简化计算。 利用对称性直接求解:超静定次数?解：y2FPFPFPb）2FPFPFPxFN= -FPFN= -2FPFN= -FPM = 0aaaAB04FP2FP2FPa）89 由于不考虑杆件的轴向变形，如上图 b) 所示荷载作用下各杆弯矩等于零，如图c)所示。 荷载关于x轴反对称，切开与x轴相交的截面，未知力分为两组：对称未知力X1，X2以及反对称未知力X3。所以对称未知力X1，X2等于零，只有反对称未知力X3，如图d)所示。X1=

25、 0X1= 02FPFPFPd）2FPFPFPyxX3 0X2= 0X3 0X2= 0y2FPFPFPc）2FPFPFPx907-5 温度变化及有弹性支座时结构的计算一. 温度变化时结构的力法计算 下面通过例题进行说明。例7-5-1 图示刚架，混凝土浇筑时温度为15。，到冬季时室外温度为-35 。，室内温度保持不变，求作刚架的 M 图。各杆 EI 相同，线膨胀系数为 。原结构8m6m0.6m0.4m91 经判定此刚架结构为一次超静定。切断一根支座链杆，选取基本体系如下图所示。1. 确定此刚架结构的超静定次数,选取基本体系:解：2. 力法的典型方程为:3. 求方程中的系数和自由项:(i) 作 图

26、和 图，如下图所示。基本体系X10.6m0.4m92温度改变值：所以：(ii) 采用图乘法计算系数和自由项:66图934. 求解基本未知量:94 超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件抗弯刚度EI成正比。5. 作最后弯矩图 M 图:可以靠增大结构中杆件的截面尺寸来抵抗温度变化引起的内力吗？不能。M 图95扭转弹性支座M二. 具有弹性支座时结构的力法计算 弹性支座可分为拉压弹性支座和扭转弹性支座两类，如下图所示。FP拉压弹性支座96解：容易确定此刚架为一次超静定。将拉压弹簧与杆端C分开，取基本体系如下图示。其中：例7-5-2 求作下图所示具有弹性支座刚架的 M 图。基本体系X11.

27、 确定此刚架结构的超静定次数，选取基本体系:2. 力法的典型方程为:ABEI lEI l原结构CABEI lEI lC973. 求方程中的系数和自由项:(ii) 采用图乘法计算系数和自由项:(i) 作 图和 图，如下图所示。ABCMP 图ABC图ll98 若基本体系保留有弹性支座，则求方程的系数比较繁琐，应尽量避免。详见下面的例题。4. 求解基本未知量:5. 作最后弯矩图 M 图:ABC0.1590.0455(ql2)M 图99例7-5-3 求下图所示具有弹性支座单跨梁的 M 图。解：ABEI la) 原结构b) 基本体系1. 确定此单跨梁结构的超静定次数，选取基本体系:容易确定此单跨梁为一次

28、超静定结构。取基本体系如下图示。其中：2. 力法的典型方程为:ABEI lX11003. 求方程中的系数和自由项:AB 产生的变形图(ii) 采用图乘法计算系数和自由项:(i) 作 图和 图，如下图所示。AB1图ABMP 图101AB1图ABMP 图AB荷载产生的变形图1024. 求解基本未知量:5. 作最后弯矩图 M 图:ABM 图1037-6 超静定结构的位移计算及力法计算的校核一. 超静定结构的位移计算 用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以加在任意选定的基本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行。 对于任意一个超静定结构，所选取的各种基本体系在

29、外因（荷载作用，温度变化，支座移动及制造误差等）以及多余未知力 共同作用下，其内力和变形与原结构的完全相同。所以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。为什么 ?104例7-6-1 求两端固定的梁中点竖向位移CV ，EI为常数。解：1) 单位荷载加在原结构上：原结构ABl/2l/2Cl/8CABCABl/8 图M 图12y1y2l/81052) 单位荷载加在基本体系I上基本体系IABCAACBCB1l/4图M图12y1y2ql2/241063）单位荷载加在基本体系II上基本体系IIABCCABCAB1l/2图M图21y2y1107例7-6-2 求图示刚架结点水平位移DH，结构 M 图及各杆 E

30、I 如图示。单位荷载分别可加在四种基本体系上。显然加在基本体系I上时计算最简单（见下页图）。2EI2EI7kN/m3EI6m6mACDBACDB14.431.557.630.623.4M图(kN.m)解：108X17kN/mACDB基本体系IACDB1图6X2X367kN/mCDB基本体系IIX1X2X3CDBAA1图109图67kN/mCDB基本体系IVX3X1X2CDBAA16图37kN/mCDB基本体系IIIX3X2X1CDBAA133110二. 温度变化及支座移动时的位移计算1. 温度变化时的位移计算 a) 原结构8m6m0.6m0.4mABCDb) M 图94.4EI94.4EI 如图a)所示结构的 M 图已求出，如图b)所示，欲求D结点的水平位