解三角形正弦、余弦定理

1、实用标准文案(必修五)解三角形.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：正弦定理： a = -b = c = 2r 或变形： a : b: c = sin A : sin B :sin C . sin A sin B sin C(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 ,(从而进一步求出其他的边和角)两内角与其正弦值：在 ABC中，ABu sin A sin B ,.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题:2.余弦定理:a2 =b2 +c2 -2bccosAb2 =a2+c2-2accosB 或 c2 =b2 +a2 - 2bac

2、osCcosA = cosB =cosC =.222b c - a2bc222a c - b2acb2 a2 -c22ab(1)已知三边，求三个角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角注意: 正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；三角形可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；类型一：解三角形AC 在锐角 MBC中，BC = 1,B = 2A,则的值等于 , AC的取值范围cos A解析：设NA = e,= B=2e.由正弦定理得-AJm-bc,;. AC =1=/c=2. sin 2-sin - 2cos - co

3、s -由锐角 MBC 得 0 m28 90：= 0： 日 45,又 0 % 180 ： - 3 二：二 90 30二：二 60 ,故 30 ：二：二 45 - -2 :二 cos :二立， 22. AC = 2cos (、. 2, 3).1.在 ABC中，a=1,b = 43 , ZA=30 ,求 c 的值解析：文档实用标准文案举一反三：变式1:在 ABC中，已知C=1,b=J2 , B=45 ,求C和a变式2:已知 ABC中，a = J3，b=1, A=2B ,求角B及边C. 2变式 3:在 ABC 中，a = 2, A = 45, sinB=，求c 的值.3类型二：已知三角形面积解三角形1

4、.在 ABC中，A=120O,c b, a =而，Sabc =J3 ,求 b,Co变式 1.若在 ABC中，/A=60,b=1,S&BC = J3,则a + b + csin A sin B sin C变式2.已知三角形的一个角为 60 ,面积为10/3cm2 ,周长为20cm,求此三角形的各边文档实用标准文案长.类型三：判定三角形的形状三角形的形状的判定(1)根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦(余弦)定理实施边角转化，主要有两种途径：化边为角；化角为边。(2)判定三角形形状时，可利用 正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角 的形式.(3)解题中利用 AABC中A + B+C =U，以

5、及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin( A B) =sinC, cos( A B) - - cosC, tan(A B) - - tanC,sinC= cos ,cos2二sin C,tan2. cot。2.在 ABC中，若 2cosBsinA = sinC ,则4 ABC的形状一定是(D.等边三角形A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形.在 ABC中，bcosA= acosB ,则三角形的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形.在 ABC中，若 acosA+bcos B =ccosC,则 ABC的形状.在 ABC中，若lga-lgc=

6、lgsinB = -lgV2 ,且B为锐角，判定 ABC的形状。变式：在 ABC中，若 lg sin A - lg cos B - lg sin C = lg 2 ,则4 ABC的形状是(文档实用标准文案A.直角三角形 B .等边三角形 C .不能确定 D .等腰三角形类型四：证明三角形中的三角恒等式例：已知 ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c ,求证：a = bcosC + ccosB . TOC o 1-5 h z 思路点拨：恒等式的证明实际上就是化繁为简，可以化角为边，也可以化边为角解析：法一：利用余弦定理匕+ 必a2J+/一占*=b+c=+、= a右 ?心2M222d=左,

7、I. 1I.L-.法二：利用正弦定理.右=_三二：二二S1 二一二二一；1一二i二l 一、左，.二:二二一 t：S.举一反三：a bcosB cos A. TOC o 1-5 h z .在 ABC中，求证： -=c( -)b a b a2 c 2 A 3b-.在 ABC中，右 a cos 一+ccos =一 ,则求证：a+c = 2b 222. ABC的三个内角 A、B、C的对边分别是 a,b, c ,如果a2=b ( b+c),求证：A=2B文档实用标准文案解三角形综合练习.在 ABC中，若/ A ： / B ： / C=1 ： 2 ： 3,贝U a ： b ： c 等于（）A.1 ： 2

8、： 3B.3： 2 ： 1C.2： ,3 ： 1D.1：、3 ： 2.在 ABC中，/ A, / B的对边分别为 a,b,且/ A=60 , a=6,b = 4,那么满足条件的 4ABCC ）A.有一个B. 有两个C.不存在D. 不能确定个数.已知AABC中，NA,NB,NC的对边分别为a,b,c若a =c = J6+J2且NA= 75o ,则 TOC o 1-5 h z A.2B.4+ 273C.42展D.76-72.在 ABC中，A=60 , AC=16,其面积 S = 220，3 ,则 BC长为()A. 203B. a - 1-1a07.已知三角形的三边长分别为a、bCa2 +ab +b

9、2 ,则三角形的最大内角是（）文档A.135B.120C.60D.90实用标准文案.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A . 900 B . 1200 C . 1350D. 150.在 AABC 中，已知 sin A : sin B : sin C = 6: 5 : 4 ,则 1.三角形的一边长为14,这条边所对的角为 601另两边之比为8 : 5 ，则这个三角形 的面积为求三角形的边(角)问题(1)可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角 的形式.(2)解题中利用 AABC中A + B+C =u，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A B) =

10、sinC, cos(A B) = -cosC, tan(A B) = - tanC,.在 ABC中，已知 tan A -tan B =Jb ,求角 a.tan A tan B c.在 ABC中，设 a +c=2b, AC =，求sin B 的值。3.在 ABC中，内角 A B、C对边的边长分别是 a,b,c,已知c = 2,C= . 3(1)若 ABC 的面积等于 J3,求 a,b,； (2)若 sinC+sin(B A) = 2sin 2A ,求 ABC的面积.文档实用标准文案.在AABC中，A B C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知,222,b c -a =bc.(1)

11、求角A的大小;(2)若 sin2 A+sin2 B =sin2 C ,求角 B 的大小.已知A、B、C是MBC 三内角，向量m = (一1, %;3)n = (cosA,sin A),且m.n= 1。(1)求角A;(2)若1 sin 2Bcos2 B -sin2 B=-3,求 tanC o6.在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c ,若(1)求证:ZA=Z B;(2)求边长c的值;(3)若 AB +AC = J6 ,求 ABC的面积.文档实用标准文案在 MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos A = 25 , AB AC = 3. 25(I )求MBC的面积； (II )若b+c=6,求a的值.解三角形的应用求解三角形应用题的一般步骤：(1)分析：分析题意，弄清已知和所求；(2)建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；(3)求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义。.在奥运会垒土比赛前， C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒