6空间问题解答

1、 第八章 空间问题的解答81 按位移求解空间问题82 半空间体受重力和均布压力83 半空间体在边界上受法向集中力84 按应力求解空间问题85 等截面直杆的扭转86 扭转问题的薄膜比拟87 椭圆截面杆的扭转88 矩形截面杆的扭转85 等截面直杆的扭转例：图示为等截面直杆（不计体力），两端平面内受方向相反的两个力偶作用，取如图所示的坐标系，求应力分量。xyzMMo如何计算？用半逆解法由材料力学可知，杆件横截面上有剪应力zx、zy，其他应力分量为零，即x=y=z=xy=0，体力X=Y=Z=0将上述应力分量代入平衡微分方程：（1）（2）（3）由（1）、（2）可知，zx、 zy是x、y的函数由（3）得：

2、或写成：由微分理论可知，一定存在一个函数（x，y）使得：将上述表达式代入相容方程：边界条件1、杆件侧面：2、杆件端面（上端）：归纳： 等截面直杆的扭转问题最终归结为求应力函数（x，y），使它满足 且s=0，然后由下列公式求应力分量：求位移分量： （将应力分量代入物理方程）u0,v0,x,y,z是积分常数，代表刚体位移，k也是积分常数，若不计积分常数，则如果用柱坐标表示，则由此可得结论，每个横截面在xy面上的投影不改变形状，只是转过一个角度=kz，且单位长度的扭转角：86 扭转问题的薄膜比拟 薄膜在均匀压力下的挠度，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上是相似的，用薄膜来比拟扭杆，有助于寻求

3、扭转问题的解答 设有均匀薄膜，张在一个水平边界上，边界的形状与某扭杆横截面的边界形状相同，薄膜受均布荷载作用xxzoy薄膜在均布荷载作用下，只产生均匀拉力（张力T），其他内力为零从薄膜中取微小单元abcd，它在xy平面上的投影是一个矩形，矩形的边长分别为dx、dyxyoab边的拉力：TdyxxyoTabcdTTTz其在z轴上的投影：cd边的拉力：Tdy其在z轴上的投影：xxyoTabcdTTTzad边的拉力：Tdx其在z轴上的投影：bc边的拉力：Tdx其在z轴上的投影：单元abcd所受的压力：qdxdy建立单元的平衡方程：在边界上，薄膜的垂度 zs=0将 与 比较（1）形式相同 （2）边界条件

4、相同 所以，当薄膜的q/T = 扭杆的2Gk时，薄膜的垂度z就相当于扭杆的应力函数 这说明，当薄膜的垂度z与扭杆的应力函数时相当，薄膜与边界平面之间体积的两倍就等于扭矩在扭杆的横截面上，沿x方向的剪应力：薄膜沿y方向的斜率：如何求扭杆横截面上的最大剪应力？ 扭杆横截面上沿x方向的剪应力相当于薄膜沿y方向的斜率，由于x和y轴可以取在任意两个互相垂直的方向，所以扭杆横截面上某一点，沿任意方向的应力，等于薄膜在对于点，沿垂直方向的的斜率 只须求出对应薄膜的最大斜率，但要注意，最大剪应力与最大斜率所在的点相对应，方向相互垂直87 椭圆截面杆的扭转xyabBAo如图所示，横截面为椭圆边界的等截面柱，椭圆

5、的半轴为a，b因为椭圆的方程为：而应力函数在边界上的值为零，所以，可设：应力函数应满足三个条件：将应力函数代入当m等于此式时，应力函数满足基本方程将的表达式代入其中最后求得：应力函数：此时，应力函数满足所有条件应力分量如下：全应力：用薄膜比拟的方法计算最大应力 假想一张薄膜张在图示椭圆上，并受气体压力作用，由于薄膜的最大斜率发生在A、B点，且方向垂直与边界，所以可知，扭杆横截面上的最大剪应力也发生在A、B点，但方向与边界平行，将A、B点的坐标（0，b）或（0，-b）代入剪应力表达式：xyabBAo当a=b时，应力解答与材料力学中完全相同如何求变形和位移？单位长度扭转角：位移分量：求w：积分后得

6、：0为z方向的刚体位移，若不计刚体位移，则 此式表明，扭转时，杆件的横截面并不保持为平面，只有当a=b时，才有w=0，横截面才保持为平面88 矩形截面杆的扭转xyoa/2a/2b/2b/2如图所示，矩形截面杆，边长a，b 讨论狭长矩形 ab 由薄膜比拟，可知 可以推断，应力函数在绝大部分横截面上几乎与x无关，因为对应的薄膜几乎不受短边的约束，近似于柱面 即 边界条件：将的表达式代入位移分量如下：求最大剪应力由薄膜比拟可以推断出，最大剪应力发生在矩形截面的长边上（y=-b/2；y=b/2），其大小：单位长度的扭转角：对任意矩形杆（横截面的边长比值a/b为任意值），通过分析，可以将上述公式进行修正

7、：其中，和1只与比值a/b有关，其数值看P198 表 对狭长矩形截面杆，和1取1/3 很多薄璧杆的横截面，是由若干等宽的狭长矩形组成的，有直的，有弯的，如图所示： 由薄膜比拟可知，如果一个直的狭长矩形和弯的狭长矩形具有相同的长度a和宽度，则当这两个狭长矩形上的薄膜具有相同的张T并受相同的压力q时，两个薄膜的体积V和斜率i将没有多大的区别，因此一个弯的狭矩形截面可以用同宽，同长的直的狭矩形截面来代替，而不致引起多大的误差如何求薄璧杆的应力？ 用ai和bi代表扭杆中第i个狭长矩形的长和宽，Mi代表该矩形上承受的扭矩（整个横截面上扭矩的一部分），i代表矩形长边中点附近的剪应力，k代表扭杆的扭角 这些公式是近似的，因为没有考虑到两个矩形的过渡和连接的影响本章小结本章对空间问题基本方程的求解方法作了归纳，对一些典型的弹性力学空间问题进行了求解分析，学习这部分，要求掌握一些几点：（1）受荷载作用的弹性体中，其应力、应变和位移均是坐标的连续函数，若能求出物体内的应力函数和位移函数，就能得到物体中任一点的应力、应变和位移 （2）求物体内的6个应力分量、6个