土木工程制图讲义换面法篇

1、王雷第四章 换面法4.1 换面法一、换面法的概念 如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？解决方法：更换投影面。 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。VHAB a babV1 a1b 1 二、新投影面的选择原则1有利于解题 如：新投影面 或 几何元素 (应熟练掌握特殊位置几何元素的特性) 2新投影面须垂直某一原投影面 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系VHAB a babV1 a1b 1 VHA aaaxX 更换一次投影面 旧投影体系 X VH 新投影体系V1HX

2、1 A点的两个投影：a， aA点的两个投影：a， a1VHXV1HX1 aaa1 axax1.三、点的投影变换规律新投影体系的建立V1 H X1V1a1ax1VHA aaaxXVHXV1HX1 aaa1 axax1.投影规律点的新投影和与保留投影的连线，必垂直 于新投影轴。 aa1 X1点的新投影到新投影轴的距离等于被代换 投影到旧投影轴的距离。a1ax1 = aaxV1 H X1V1a1ax1XVHaaaxVHXV1HX1aaX1H1Va1axax1ax1a1.作图步骤更换V面 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 在垂线上量取一段距离，使这段距离等于 被代替的投影到原投影轴的距离。更换H面 更

3、换两次投影面先把VV1， V1H，得到中间新投影体系:V1HX1 V1再把HH1， H1 V1，得到新投影体系: X2 H1按次序更换AaVH aaxXX1V1a1ax1H1X2ax2a1新投影体系的建立Oax2 aaXVHa1X1HV1X2V1H1a1axax1.作图方法 作图规律 a1a1 X2 轴 a1ax2 = aax1VHAB a bab四、换面法的四个基本作图问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB/V1。X1HV1V1a1b1空间分析： 换H面行吗？不行！作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。 a babXVH新投影轴的位置？b1

4、与ab平行。.a1X1a1b1VH aaXB bbA2.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：a babXVHX1HV1V1H1X2作图：X1V1a1b1X2H1二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a1b1.与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；a1b1 一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面空间分析： 在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！如果把平面内的一条直线变

5、换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。VH a b cabcABCXdD d V1X1c1b1 a1d1 a c babcXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HV1X1作 图：1.在平面内取一条水平线AD。dd2.将AD变换成新投影面的 垂直线。c1a1d1b1 反映平面对哪个投影面的夹角？.V1X1H1一次换面, 把一般位置平面变换成投影面垂直面；二次换面，把投影面垂直面变换成投影面平行面。空间分析：一次变换能否实现？为什么？作图方法： 经一次变换把ABC变换成辅助投影面的垂直面后，再选取一个新投影面，使其既垂直于辅助平面，又平行于ABC，这样，ABC在新投影面体

6、系中就成为辅助投影面P2的平行面了。 4. 把一般位置平面变换成投影面平行面a1b1X2V1H1ab a c bXVHc作 图：AB是水平线a1c1b1c1X2轴的位置？平面的实形.X1HV1.与其平行例：把 ABC变换成投影面平行面。b1X1V1H五、换面法的应用 作图:c1a1例1：试过点A作直线与已知直线BC垂直相交。Hc c b abXVHc c babXVd1dd 空间及投影分析： 当直线BC平行于某投影面时，由直角投影定理可知, 与BC垂直的直线在该投影面上的投影反映其垂直关系。 1.将直线BC转换成V1面的平行线;2.求出点A在V1面的投影a1;3.过a1作BC投影垂线，AD即为

7、所求。 讨论：有否其它变换方法？ 将点A及直线BC看成同一平面，将平面ABC换成新投影面平行面，则在该面上作出点A到BC距离。例1：试过点A作直线与已知直线BC垂直相交。求点A到已知直线BC距离。b1X1V1Hc1a1Hc b abXVHc c babXVd1ddHc c b abXVHc c babXV 此方法可解决同一平面内的定位、度量问题，如平行两直线距离、夹角，作角平分线等。 空间及投影分析 只有AB 与CD都平行于投影面即AB与C点构成的平面平行于投影面时，其投影的夹角才反映真实大小（60）因此, 需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。例2: 过C点作直线CD与AB相交成60

8、角。ab a c bXVHc60ABD Cabdc例2: 过C点作直线CD与AB相交成60角。 dX1HV1X2V1H1ab a c bXVHc作图：c1c1a1b1a1b1 几个解？两个解！60D点的投影如何返回？.1.将面ABC变换成V1面的垂面;2.将面ABC变换成H1面的平行面;d如何选择X2轴？3.过c1作c1d1与a1b成60角,得d1;4.将d1投影返回。dd1dd1d160ABD Cabdc 空间及投影分析 若平面P是投影面垂直面，则垂线KL就是该投影面的平行线，距离可直接求出。 aVXHkkpbacdbcdV1Kk1PLl1例3：求点K到平面P（ABCD）的距离。例3：求点K

9、到平面P（ABCD）的距离。V1X1HVXHp1k1l1llkk作图：abacdbcd1.将P面换成V1面的垂直面P1;与X1轴平行2.作出K点在V1面上的投影K1;3.过 K1点向P1面作垂线KL 即为所求距离。4.作出垂线KL的投影。 请注意L点的投影如何返回？pV1Kk1PLl1水平线cdbadacbVHX例4：求平面ABC和ABD的两面角。 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。空间及投影分析：在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。H1V1X2HV1X1cdbadacbd1c1a1

10、b1VHX作图：.1.将交线AB换成V1面的平行线;2.将交线AB换成H1面的垂直线;d13.角c1a1 (b1)d1即为所求。例4：求平面ABC和ABD的两面角。a1 b1c1空间及投影分析 交叉二直线间的距离即是它们之间公垂线的实长。若两交叉直线之一变换成新投影面垂直线时，公垂线必为该投影面的平行线，反映实长，且与另一直线投影垂直，据此可确定公垂线位置。例5: 求交叉二直线AB、CD 之间的距离及公垂线的投影。ab a c bXVHd dcAMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1例5: 求交叉二直线AB、CD 之间的距离及公垂线的投影。X1HV1ab a c bXVH作图：c1n1

11、c1 d1 a1db1m1X2H1 V1 dca1b1d1m1n1mn m n1.将直线CD经过两次换面变 成H1面的垂直线，得n1;2.作另一直线AB在H1面上的 投影a1b1;3.过n1作a1b1垂线m1n1，即为 公垂线实长；4.逆变换返回，求出公垂线 的投影；讨论： 如何求出点到直线的距离，如何求出两平行直线间距离？AMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1baabcd例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB 为水平线，求CD及MN的投影。MNmdnVHXHV1X1m1n1c1d1nm 空间及投影分析 当直线AB垂直于投影面时MN平行于投影面，这时它的投影m1n

12、1=MN, 且m1n1c1d1。作图：请注意各点的投影如何返回？求m点是难点。.MNcV1ACDNMc1d1a1m1b1n1Bd1c1n1.a1b1m1一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投影面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。三、点的变换规律是换面法的作图基础， 四个基本 问题是解题的基本作图方法 必需熟练掌握。 小 结 换面法的四个基本作图问题： 2.把一般位置直线变成投影面垂直线1.把一般位置直线变成投影面平行线3.把一般位置平面变成投影面垂直面4.把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面（需先在面内作一条投影面平行线）四、解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况